24一元二次方程根与系数的关系 (2)

1、2.4 一元二次方程的根与一元二次方程的根与系数的关系系数的关系1.1. 填表填表 方程 x1, x2 x1+ x2 x1. x2 x2-3x+2=0 X2-2x-3=0 X2-5x +4=0问题：你发现这些一元二次方程的问题：你发现这些一元二次方程的根与系数有什么规律？根与系数有什么规律？ 当二次项系数为当二次项系数为1 1时时x x2 2+ +pxpx+ +q q=0=0的两根为的两根为x x1, x2则有则有qPxxxx2121.2,132-1,32-31,454 方程x1x2xx21xx21.01692 xx01432 xx02732 xx31313291311343131-23732

2、2、填表、填表说一说，你又有什么发现？说一说，你又有什么发现？ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且a=0 ）的两根为x1、x2，则则 x x1 1.x.x2 2与系数与系数a a，b b，c c 的关系：的关系：042 acbabxx21acxx21x1+x2=-b+ b2-4ac2a+-b- b2-4ac2ax1x2=-b+ b2-4ac2a2-4ac2ax1=-b+b2-4ac2ax2=-b-b2-4ac2a=-2b2a=(-b+ b2-4ac)(-b- b2-4ac)4a2=4ac4a2=b2-(b2-4ac)4a2=caabax2+bx+c=0（a0 , ）的x1+x2， x1.x

3、2与系数a，b，c 的关系是： x1+x2=- x1.x2= 042 acb一元二次方程根与系数的关系是法国数学家一元二次方程根与系数的关系是法国数学家“韦韦达达”发现的发现的,所以我们又称之为韦达定理所以我们又称之为韦达定理.（1 1）x x2 2-3x+1=0-3x+1=0（2 2）3x3x2 2-2x=2-2x=2（3 3）2x2x2 2+3x=0+3x=0（4 4）3x3x2 2=1=1下列方程两根的和与两根的积各是下列方程两根的和与两根的积各是多少多少? ?（不解方程）（不解方程）设设x x1 1.x.x2 2是是方程方程5x x2 2-7x-3=0-7x-3=0的两个根，利用根的两

4、个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。与系数的关系，求下列各式的值。（1 1） x12+x22 （2）（）（ x1+1）（）（x2+1）（3 3） + （4） + （5 5） x12x2+x1x22 （6） （ x1-x2）2x x1 1x x2 2x x1 1x x2 21 1x x2 2x x1 11 1（7）x13x2x1x23变式：变式：已知长方形的相邻两边长是一个一元二已知长方形的相邻两边长是一个一元二次方程次方程x2-12x+9=0的两个根，求这个的两个根，求这个长方形的周长与面积。长方形的周长与面积。x x2 2+kx-4=0+kx-4=0的一个根是的一个根是-4-4，求它的

5、另一个根及求它的另一个根及k k的值。的值。答：方程的另一个根是 k的值是7。解解:设方程的另一根为了设方程的另一根为了 ,则则x22442422xxk7212kx21练习练习：（1）若关于）若关于x的方程的方程2x25xn0的一个根是的一个根是2，求它的另一个根及，求它的另一个根及n的值。的值。（2）若关于）若关于x的方程的方程x2kx60的一个根是的一个根是2，求它的另一个根及，求它的另一个根及k的值。的值。 利用利用根与系数的关系，求作一个一根与系数的关系，求作一个一元二次方程，使它的两根为元二次方程，使它的两根为2 2和和3.3.的二次项系数的二次项系数是是3 3，它的两个根分别是，它

6、的两个根分别是 ，1 1。写出这。写出这个方程。个方程。31的二次项系的二次项系数是数是2 2，常数项是，常数项是-14-14，它的一个根是，它的一个根是-7-7。写出这个方程。写出这个方程。思考题：在解方程在解方程 +px+q=0时，甲同学看错了时，甲同学看错了p，解得方程，解得方程根为根为1与与-3；乙同学看错了；乙同学看错了q，解得方程的根为解得方程的根为4与与-2，你认为，你认为方程中的方程中的p= ，q= 。 2x2x例题例题4：设：设x1，x2是方程是方程2x23xm0的的两个根，且两个根，且8x12x27，求，求m的值。的值。例题例题5：已知关于：已知关于x的一元二次方程的一元二

7、次方程x2（2k+1）xk2-20有两个不相等的实数有两个不相等的实数根，且方程的两根的平方和比两根之积根，且方程的两根的平方和比两根之积的的3倍少倍少10，求，求k的值。的值。 1 1、以方程、以方程X X2 2+3X+2=0+3X+2=0的两个根的相反数的两个根的相反数为根的方程是（为根的方程是（ ） A、y y2 2+3y-2=0 B+3y-2=0 B、y y2 23y+2=0 3y+2=0 C、y y2 2+3y+2=0 D+3y+2=0 D、y y2 23y-2=03y-2=0此题还有其他解法吗？此题还有其他解法吗？B换元法换元法：设设y=-x，则，则x=-y，将其代入，将其代入X2+3X+2=0，得得y23y+2=0 ，即为所求方程。，即为所求方程。拓展提升：拓展提升：1、一元二次方程的一般形、一元二次方程的一般形式式 。ax2bxc=0 (a0