多元微分习题课

1、多元函数微积分复习课在实际生活中，会遇到依赖于两个或两个以上自变量的多元函数本章在一元函数微积分的基础上介绍多元函数微积分多元函数微积分和一元函数微积分有很多相似的问题，也有很多不同的问题，需要大家在学习中注意一、内容提要1.二元函数（1）二元函数：设是平面上的一个非空点集，如果有一个对应规律，使每一个点都对应于惟一确定的值，则称为上的二元函数.记做，其中称为自变量，函数也称为因变量，称为该函数的定义域.自变量多于一个的函数统称为多元函数.（2）二元函数的几何意义：函数的几何图形一般在空间直角坐标系中表示一张曲面，而其定义域就是此曲面在坐标面上的投影.2. 二元函数的极限与连续（1）二元函数的

2、极限设函数在点的某个邻域内有定义（在点处可以无定义），如果当点以任意方式趋向于点时，相应的函数值无限接近于一个确定的常数，则称当 时，函数以为极限，记作或 .（2）二元函数的连续性 在一点连续的两个等价的定义定义1 设有二元函数,如果=,则称二元函数在点处连续.定义2 设(称为函数的全增量),若,则称二元函数在点处连续. 如果在区域内的每一点都连续，则称在区域上连续.如果在点不连续，则称点是二元函数的不连续点或间断点.3.偏导数（1）二元函数的两个偏导数定义如下：（2）偏导数的计算从偏导数的定义可以看出，求的偏导数并不需要用新方法，因为这里只有一个自变量在变动，另一个自变量被看作是固定的，所以

3、仍旧可用一元函数的微分法.求时，只要把暂时看作常量而对求导数；求时，只要把暂时看作常量而对求导数.4.高阶偏导数（1）的四个二阶偏导数如下: , , , .二阶以及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.（2）混合偏导数与次序无关的定理如果函数的两个混合偏导数在点连续，则在点处，有.5.全微分（1）定义.（2）全微分在近似计算中的应用6.复合函数的偏导数设函数在点处有偏导数，函数在相应点处有连续偏导数，则复合函数在点处有偏导数，且, .7.隐函数的偏导数设方程确定了是的函数，且，连续及，则 , , 一般地,求由方程确定的隐函数的偏导数,对方程两边同时求偏导更为方便.8. 二元函数的极值与驻点（1）极

4、值存在的必要条件设函数在点的某个邻域内有定义，且存在一阶偏导数，如果是极值点，则必有 .即可导函数的极值点必定为驻点，但是函数的驻点却不一定是极值点.（2）极值存在的充分条件设函数在点的某个邻域内具有二阶连续偏导数，且是驻点.设，,，则当时，点是极值点，且当时，点是极大值点；当时，点是极小值点；当时，点不是极值点；当时，点有可能是极值点也可能不是极值点.（3）条件极值与拉格朗日乘数法求函数在满足约束条件下的条件极值，其常用方法是拉格朗日乘数法，具体步骤如下：构造拉格朗日函数 ,其中为待定常数，称其为拉格朗日乘数.求四元函数的驻点，即列方程组求出上述方程组的解，那么驻点有可能是极值点； 判别求出

5、的点是否是极值点，通常由实际问题的实际意义来确定.对于多于三个自变量的函数或多于一个约束条件的情形也有类似的结果.9二重积分（1）定义设二元函数是定义在有界闭区域上的连续有界函数，如果极限存在，且该极限的值与区域的分割方法和的选取无关，则称此极限为函数在闭区域上的二重积分，记为，即.（2）几何意义表示曲面在区域上所对应的曲顶柱体各部分体积的代数和.（3）二重积分的性质 线性：设为常数，则有.可加性：设积分区域可分割成为、两部分，则有.积分的比较性质：若，其中，则.积分的估值性质： 设，其中，而为常数，则 （其中表示区域的面积）.积分中值定理：若在有界闭区域上连续，则在上至少存在一点，使得.10

6、. 二重积分的计算（1）二重积分在直角坐标系下的计算直角坐标系下的面积元素.若为:,则.若: ,则.（2）二重积分在极坐标系下的计算极坐标系下的面积元素，极坐标与直角坐标的关系设区域为：，则.设区域为：0，则.设区域为：002所确定，从而得.11. 二重积分的应用二重积分在几何学中可用于求空间中立体的体积，在物理学中可用于求平面薄片的质量、重心、转动惯量等二、解题指导1 二元函数定义域例1 求下列函数的定义域并画出定义域的图形.（1）； （2） .解 （1）要使函数有意义，需满足条件 即 .因此定义域为与围成的部分，包括曲线(图1) .图1 图2（2）要使函数有意义，需满足条件 即 定义域如图

7、2所示.小结 多元函数的定义域的求法与一元函数的定义域的求法完全相同即先考虑三种情况：分母不为零；偶次根式的被开方式不小于零；要使对数函数，某些三角函数与反三角函数有意义.再建立不等式组，求出其公共部分就是多元函数的定义域.如果多元函数是几个函数的代数和或几个函数的乘积，其定义域就是这些函数定义域的公共部分.2 多元函数的偏导数例2设 ，求解法一求函数在一点处的偏导数是指函数的偏导函数在一点处的值可先将看作常数，对求偏导数，然后代入，从而解法二先将二元函数转化为一元函数，再对求导数，由于，则，从而说明以上两种解法中解法一较为常用，解法二较简单例3 设，求 ，.解法一 令 ，原式可写成，由复合函

8、数求导法则，得，即=，=. 解法二 利用一元函数求导法则求偏导，可直接求出两个偏导数 ，.即= ，=.例4 设，求 ，.解 此题为抽象函数，所以只能用多元函数求导法则.令 , , 则 ，于是=+=+ =+ =+（），= =（）.小结 求二元复合函数偏导数，对于函数关系具体给出时，一般将一个变量看成常量，可直接对另一个变量求偏导，但求带有抽象函数符号的复合函数偏导数时，必须使用复合函数的求导公式.其关键在于正确识别复合函数的中间变量与自变量的关系.3隐函数的偏导数例5 设 ，求 ，.解法一 用公式法，设=， 则 ，=；=.解法二 方程两端求导，由于方程有三个变量，故只有两个变量是独立的，所以求

9、，时，将看作，的函数.方程两端对求偏导数，得 即 =；方程两端对求偏导数，得 即 =.解法三 利用全微分求 ，.方程两边求全微分，利用微分形式不变性，则 ， =，因此 =，=.小结 用公式法求隐函数的偏导数时，将看成是三个自变量，的函数，即，处于同等地位.方程两边对求偏导数时，是自变量，是，的函数，它们的地位是不同的.4 函数的极值与最值例 6求函数的极值分析求函数极值问题可以用列表的方法，比较清晰，一目了然解（1）求偏导数， ，；（2）解方程组 , 得驻点（0，0）及（2，2）；（3）列表判定极值点驻点ABC结论极大值42+不是极值例7 某公司要用不锈钢板做成一个体积为8的有盖长方体水箱问水

10、箱的长、宽、高如何设计，才能使用料最省？解法一 用条件极值求问题的解.设长方体的长，宽，高分别为，.依题意，有 ， 令 =+，由 解得驻点（）.根据实际问题，最小值一定存在，且驻点惟一.因此，当水箱的长、宽、高分别为2时，才能使用料最省.解法二 将条件极值转化为无条件极值. 设长方体的长，宽，高分别为，.依题意，有 ， 消去，得面积函数 ， ，.由 得驻点 （），根据实际问题，最小值一定存在，且驻点惟一.因此，（）为的最小值点，即当水箱的长、宽、高分别为2时，才能使用料最省.小结 求条件极值时，可以化为无条件极值去解决，或用拉格朗日乘数法.条件极值一般都是解决某些最大、最小值问题.在实际问题中

11、，往往根据问题本身就可以判定最大（最小）值是否存在，并不需要比较复杂的条件（充分条件）去判断.5二重积分例8 计算 其中由直线，和曲线所围成. 图3解 画出区域的图形如图3所示，求出边界曲线的交点坐标（，2）, （1，1）, （2，2），视区域为型区域：于是 = 1D2D图4= . 分析：若视区域为型区域，此时就必须用直线将分和两部分（图4）.其中 由此得 =+=+ =+=+=.显然，先对积分后对积分要麻烦得多，所以恰当地选择积分次序是化二重积分为二次积分的关键步骤. 例9 已知 =+ 改变积分次序.1D2D 22xy-=图5 解 积分区域，其中 画出积分区域的图形（图5），改变为先对积分后对积分， 此时 因此=+ = . 例10 计算二重积分，其中区域.解 该