大四毕业论文浅谈数学创造性思维的价值

1、 浅谈数学创造性思维的价值 数学与应用数学专业学生 许卫国 指导老师 郭英新 摘要： 本文结合数学分析，高等代数，解析几何，数学模型，实变函数等有关内容，解释了数学中三种创造性思维及应用价值，这三种创造性思维分别是创新思维（创优机智），逆向思维，发散思维。其中，创新思维主要介绍了数学模型的思想；从在教学中注意培养反方向的思考与训练、级数收敛逆向求极限、间接展开，逆向转化介绍了逆向思维；从不同角度分析问题、几何旋转，结论不同，发展学生发散思维方面介绍了发散思维。关键词：创新思维，逆向思维，发散思维, 拓展Shallowly discusses the mathematics creative t

2、hought the value Student majoring in Mathematics and applied mathematics Xuweiguo Tutor GuoyingxinAbstract: This article unifies the mathematical analysis, the advanced algebra, the analytic geometry, the mathematical model, the real variable function and so on the related content, explained in math

3、ematics three kinds of creative thought and the application value, these three kinds of creative thought respectively is innovates the thought (to improve quality quick-wittedly), the negative thinking, disperses the thought. Among them, the innovation thought mainly introduced the mathematical mode

4、l thought; From pays attention to the raise reversed direction in the teaching the ponder and the training,级数收敛 the reversion asks the limit, indirectly to launch, the reversion transformation introduced the negative thinking; From the different angle analysis question, the geometry revolve, the con

5、clusion was different, develops the student to disperse the thought aspect to introduce dispersed the thought. Key word: The innovation thought, the negative thinking, disperses the thought, the development Key words:The innovation thought, the negative thinking, disperses the thought, the developme

6、nt继全国科技创新大会之后，党的十六届五中全会把着力自主创新提高到了实现科学发展，推动民族振兴的战略地位“立足科学发展，着力自主创新，完善体制机制，促进社会和谐”。走中国特色的自主创新之路，建设创新型国家，这是我们党综合分析国际形势和国内发展阶段提出的重大指导方针，是推动我国经济社会发展转入科学发展轨道的正确选择。我国“神州”六号载人飞船试验成功就是我国人民自强不息、自主创新的又一辉煌篇章。一个没有创新能力的民族难以屹立于世界民族之林，创新的关键是人才，人才的成长靠教育。数学创造性思维不仅存在于数学家的创造活动中，也存在于学生的学习活动中。这是因为学生学习的数学知识虽然是前人创造性思维的结果。

7、但学生作为学习的主体处于再发现的地位，学习生活实质上仍然具有数学发现和创造的性质。因此，采用开放式教学方法。在教学中充分揭示思维过程是培养数学创造性思维的重要途径。在大学四年数学专业的学习过程中，同学们应努力培养自己的创造性思维，培养提高自主创新能力，因为创新能力是一个民族进步的灵魂，创造性思维是一切创新的核心。 本文结合大学5门专业课浅谈了3种创造性思维：创新思维，逆向思维，发散思维。（一） 创新思维中共中央 国务院在深化教育改革，全面发展推进素质教育中指出实施素质教育，就是全面贯彻党的教育方针，重点培养学生的创新精神和实践能力，著名数学家怀特海曾说：“数学就是对于模式的研究”。数学模型，对

8、于现实世界的某个特定的目的，在做了一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，并通过数学语言表达出来的一个数学结构，数学中的各种基本概念。培养学生运用数学建模解决实际问题的能力，关键把实际问题抽象为数学问题。在数学模型中，创优机智的培养，是创新思维的体现，例如：优化模型。例1 ： 建立不允许缺货的生产销售存储模型。设生产速率为常数k，销售速率为常数r，rk，在每个生产周期T内，开始的一段时间（0tT0） 一边生产一边销售，后来的一段时间（T0tT）只销售不生产，画出储存量q(t)的图形，设每次生产准备费为c1。单位时间每件产品贮存费为c2，以总费用最小为目标确定最优生产期。讨论：kr和kr的情况。

9、解：（1）贮存量q(t)的图形如右图： 则一个周期T内总费用为： =c1+c2*s=c1+c2*=c1+c2*=c1+c2*故单位时间内总费用c(t)= +c2*要c(t)达最小的最优周期令=+c2* =0故=(1):当kr时，=相当于不考虑生产情况(2)：当kr时，因为产量被销售抵销，无法形成。例2：微分模型（经济增长模型）为了适用于不同的对象，可将产量函数Q(t)折算成现金，仍用Q(t)表示。考虑到物价上升因素我们记物价上升指数为P(t).（设P(0)=1）则产品表面价值y(t)，实际价值Q(t)和物价指数P(t)之间满足y(t)= Q(t)*P(t)（1） 导出y(t)，Q(t)，P(t

10、)的相对增长率之间关系并作解释（2） 设雇佣工人数目为L(t),每个工人工资W(t),企业的利润简化为从产品的收入y(t)中扣除工人工资和固定成本。利用道格拉斯生产函数讨论，企业应雇佣多少人使利润最大？解：（1）由y(t)= Q(t)*P(t)得： =* P(t)+*Q(t) 即=+则=+即表面价值y(t)的增长率等于实际价值增长率与物价指数增长率之和(2)解：设固定成本为C(t)则企业利润R(t)=y(t)-L(t).W(t)-C(t)把y(t)= Q(t)*P(t)及Q(t)=a*代入即得R(T)关于L(t)的函数.JL(t)=R(t)=a* *P(t)-L(t)*W(t)-C(t)两边对

11、L求导：=r*a* * *P(t)+(1-r)*a* *P(t)+a* * *-W(t)-L(t)*-而=0则=r*a* * * P(t)- W(t)令=0则 =K(t)=K(t)易验证：L=0则J在利润最大总之，在数学模型中，不少内容是创新思维，大家不妨进一步探讨。（二） 逆向思维逆向思维是数学创造性思维的一个重要组成部分，是进行思维训练的载体。加强从正向思维转向逆向思维的培养，能有效地提高学生思维能力和创新意识。一、 在教学中注意培养反方向的思考与训练 例1证明：在（-，+）上不存在可微函数f(x)满足f(f(x)=-3x+3 证明：若存在可微函数f(x)满足f(f(x)= -3x+3则=

12、2x-3（*）则从-3x+3=x可得x1=1,x2=3,即f(f(x)有且仅有两个不动点x1=1,x2=3若f(1)=1,则由（*）可知=-1矛盾。因此由推论：若定义在（-，+）上f(x)，若f(f(x) 有且仅有两个不动点a,b(ab)则只存在两种情况：（1）a和b都是f(x)的不动点（2）f(a)=b,f(b)=a故f(1)=3,f(3)=1在由（*）可得(x=3)*(x=1)=-1 (x=1)* (x=3)=3矛盾，因而在（-，+）上不存在可微函数f(x)满足f(f(x)= -3x+3 例2证明：不存在证明：若=A，因为-=2 所以2=（-）=A-A=0所以=0，所以=（1-）=1所以=

13、1。但=2取极限得A=0矛盾。从而不存在。例3设f(x)C0，1,=0, ,=1则x0(0,1),使4证明：若不然，x(0,1),有4，则 C0，1有1=4 =4+4 =2（2-2+1）取=得 1=1矛盾，所以则x0(0,1),使4二、 级数收敛逆向求极限例1 =0 证明： 令=则=* =* =*=01 收敛，故=0例2证明=0（a1）证明：取令=则=*= = =（相当于=0） =01 收敛，从而=0 三、间接展开，逆向转化 例1 f(x)= 展成幂级数的形式 解：因为当1时，=1-+-+-+- 有幂级数的性质知，当1时， f(x)=f(0)+ = = =*即=*（*）易知幂级数（*）当x=1

14、时收敛，故在x=1连续。从而当x-1,1时，=*例2 f(x)=ln(1+x)展成幂级数展开式解：因为当1时= =1- x+-+-+由幂级数的性质知：当1时 f(x)=f(0)+= 即ln(1+x)= 易知幂级数（*）当x=1时收敛，当x=-1时发散，故 = 因此，当x(-1,时 ln(1+x)= 四、加强逆定理教学例如：鲁津定理、叶果洛夫定理等（三） 发散思维培养学生的教学发散性思维的必要性在于发散性思维的特性和教学的本质所在。发散性思维是指从同一来源材料探索不同答案、从不同方面寻求答案的思维过程，它富于联想，思路宽广。善于分解组合和引申推广，从不同角度寻求解决问题的各种可能的途径，培养学生

15、的数学创造性思维的一个重要环节就是加强学生数学的发散性思维的训练。一、从不同角度分析问题例1 计算n级行列式= 解法1：三角化法 将第1行乘以（-1）加到其他各行上得=x+(n-1)a解法2：加边法xa时= =（1+） =x+(n-1)a x=a时=0 解法3：递推法 将的最后一列看成是两个数的和，即 = =+ （x-a）+=(x-a)+a由此，得递推公式=(x-a)+a以此递推下去，得=（x-a）(x-a)+a+a=+2a=+3a=+(n-1)a=x+(n-1)a=x+(n-1)a 解法4：拆项法 将中的每一个元素均看成两数之和，即= =+ =+na =x+(n-1)a 二、几何旋转，结论不同，发展学生发散思维例1 将椭圆L：，z=0分别绕长轴（即x轴）与短轴（即y轴）旋转，求所得旋转曲面方程解：因为旋转轴是x轴，同各坐标就是x，在方程中保留坐标x不变，用代y，便得将椭圆L绕其长轴（即x轴）旋转的曲面方程为=1（1）同样将椭圆L绕其短轴（即y轴）旋转的曲面方程为=1（2）曲面（1）叫长形旋转椭球面，曲面（2）叫扁形旋转椭球面例2 将双曲线L：=1，x=0分别绕虚轴（即z轴）旋转的旋转曲面方程为=1（1）绕实