子主题三 不定方程的背后

1、子主题三 不定方程的背后学习目标结合实际背景理解不定方程，主要是二元一次不定方程的涵义，认识到不定方程的解法与一元一次的方程的联系与区别，能够用列举法求出简单的二元一次不定方程的正整数解经历从具体问题得到不定方程（二元一次方程）概念的过程，类比一元一次方程的解法得到二元一次不定方程、三元一次不定方程的解法，进一步理解和掌握探究问题的基本办法和步骤，提高探究问题的能力 在探究活动中，进一步认识到方程作为刻画现实世界数量关系的价值，增强合作交流意识和利用已有知识、方法进行自主探究意识与能力，提高学习数学的兴趣重难点分析不定方程概念和不定方程的解法不定方程也是“含有未知量的等式”，学习不定方程的概念

2、重点是让学生理解方程就是一种刻画现实世界数量关系的一种数学模型，形成一种事物之间是联系和可以互相转化的意识；解二元一次不定方程可以利用一元一次方程的各种诸如移项、两边同做某个运算等变形手段，不同的是，二元一次不定方程的解的个数不唯一，在遇到具体问题时可以结合现实意义以列举法的形式给出不定方程的解的确定性和不定性一个不定方程的解具有确定性，所谓确定性，指的是不定方程把一个现实情境中的不同量间的等量关系确定了出来；然而，不定方程的解有具有不定性，因为这里不再关注具体的数值解，而是关注不同量的关系，这是进入初中后，数学视角的一次重要改变对于大多数思维仍然处于“具体运算阶段”的初一学生来说，完成这一转

3、变是困难的，可以通过一些具体的不定方程，主要是二元一次不定方程的多个数值解让学生理解让学生通过“一个二元一次不定方程的一个未知量的值决定了另一个未知量的值”理解“确定性”；通过“一个二元一次不定方程有多个解，遇到具体情形做出合理的选择就可以了”来理解“不定性” 活动建议方案s不定方程的背后活动建议方案一、活动流程框图课题引入卡车运煤问题几个趣味问题二、活动过程2.1活动任务学生通过小组合作解决一些二元一次不定方程问题，理解不定方程的概念，认识到方程的实质是表示了不同量之间的等量关系，在数学中可以借助方程等式变形手段完成这些量间的相互转化，进而解决问题本探究子主题设计以下两个活动：2.2活动1：

4、卡车运煤问题活动内容第一步：提出探究任务出示问题情境（卡车问题，见媒体资源），请同学解决第二步：分组探究小组对上述问题进行探究，可以给出如下小组建议：第一，每位同学首先独立思考，然后把自己解决问题的方法、困惑和启示与小组交流；第二，试着把卡车问题用方程表示，比较这一方程与前面学习的方程的联系与区别，思考这类方程的解法；第三，各组记录自己的探究过程，特别是同组同学有争议或者最有启发的地方，与全班交流第三步：集体交流选择12个小组的同学汇报自己的探究结果，全班讨论，老师带领全班同学做出总结，建议从如下几个方面做出总结：第一，不定方程的概念：象上面方程那样，如果一个方程未知数的个数一个，这样的方程叫

5、做不定方程，最早对不定方程进行研究的数学家是丢番图，所以不定方程又叫做丢番图方程第二，不定方程的作用：一个不定方程的作用在于未知量之间的关系表达了出来，第三，二元不等方程的解：对于一个二元一次不等方程来说，给出其中一个未知量的值，就可以得到另一个量的值，两者之间是一一对应的，两个值共同构成了一个二元一次不等方程的解；在许多情形下，我们经常用特定的方法（如列举法）得到符合现实要求的不定方程的解参考资料1不定方程在方程（组）中，未知数的个数多于方程个数的方程（组）叫做不定方程（组）由于第一个大量研究不定方程的数学家是丢番图，所以不定方程又叫做丢番图方程如方程“”就是一个不定方程，对于每一个y 的值

6、，x必有一个相应的值与它对应如y=1时，x=2；y=2时，x=0.5，可见，不定方程的解有无穷多组2最早的不定方程世界上最早提出不定方程的，是我国古代的数学著作九章算术西方数学界传统认为，最早研究不定方程的是巴比伦人丢番图事实上，他要比九章算术晚两百多年九章算术“方程”部分内提出这样一个问题：“今有五家共井，甲二绠不足如乙一绠；乙三绠不足如丙一绠；丙四绠不足如丁一绠；丁五绠不足如戊一绠；戊六绠不足如甲一绠；各得所不足一绠皆逮问：井深绠长各几何？”意思是说五家人共用一井，甲用绳量井深，绳子的二倍尚不够，所缺恰好等于乙绳长，乙用绳子的三倍尚不够，所缺恰与丙之绳长一致，依次类推，问井深绳子各多少这事

7、实上就是一个不定方程，如果我们分别设甲、乙等绳长为x、y，就得到一个五元一次方程组：2x+y = 3yz = 4z+w=5w十u=6ux这个方程组的答案不难得到九章算术原书附有答案：井深七丈二尺一寸，甲乙丙丁戊绠长分别为二丈六尺五，一丈九尺一，一丈四尺八，一丈二尺九，七尺六寸活动组织方式活动主要采用小组合作探究的方式教师提出活动任务，并适当引导、启发；学生在独立思考的基础上进行小组合作探究，完成探究任务；全班交流、总结，师生共同提炼探究结果活动评价方式活动主要采用小组合作探究的方式教师提出活动任务，并适当引导、启发；学生在独立思考的基础上进行小组合作探究，完成探究任务；全班交流、总结，师生共同

8、提炼探究结果所需学习资源不定方程.doc卡车问题.swf巧装乒乓球.jpg巧装乒乓球（答案）.doc如何选用汽车.jpg如何选用汽车（答案）.doc所需学习时间15分钟2.3活动2：几个趣味问题活动内容第一步：提出探究任务出示几个趣味：租船问题、蟋蟀与蜘蛛问题、百鸡问题（见媒体资源），请同学解决第二步：分组探究小组对上述问题进行探究，可以给出如下小组建议：第一，每位同学首先独立思考，然后把自己解决问题的方法、困惑和启示与小组交流；第二，试着每个问题用不定方程表示，根据实际情形给出答案，试着总结解决这类方程的方法；第三，百鸡问题与另外两个问题相比有何不同，解题方法能否从前面的问题中获得借鉴；第四

9、，各组记录自己的探究过程，特别是同组同学有争议或者最有启发的地方，与全班交流第三步：集体交流选择23个小组的同学汇报自己的探究结果，全班讨论，老师带领全班同学做出总结，建议从如下几个方面进行总结：第一，二元一次不定方程的解法：可以把一个未知量通过等式性质用另一个量表示出来；在结合具体情形写出所有符合实际情况的解；第二，三元一次不等方程的解法：与二元一次不定方程的解类似参考资料张邱建与张邱建算经张邱建，北魏清河（今邢台市清河县）人,约公元5世纪，著名的大数学家。他从小聪明好学，酷爱算术。一生从事数学研究，造诣很深。“百鸡问题”是中古时期，关于不定方程整数的典型问题，邱建对此有精湛和独到的见解。著

10、有张邱建算经3卷。后世学者北周甄鸾、唐李淳风相继为该书作了注释。刘孝孙为算经撰了细草。算经的体例为问答式，条理精密，文词古雅，是中国古代数学史上的杰作，也是世界数学资料库中的一份遗产。张丘建算经现传本有92问，比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算，各种等差数列问题的解决、某些不定方程问题求解等。“百鸡问题”是张邱建算经中的一个世界著名的不定方程问题，它给出了由三个未知量的两个方程组成的不定方程组的解。百鸡问题是：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁母雏各几何。”张邱建给出的解法也很简单先进，解法只有15个字：“鸡翁每增四，鸡母每减七，鸡雏每益三，

11、即得”这个解法怎么来的呢？用代数方法来说明这一点： 设公鸡为x只，母鸡y只，小鸡z只，则有：变形可得：解得：为了得到正整数解，令：当t=1，2，3时，即得到三组整数解：，自张邱建以後，中国数学家对百鸡问题的研究不断深入，百鸡问题也几乎成了不定方程的代名词，从宋代到清代围绕百鸡问题的数学研究取得了很好的成就。张邱建算经中的“百鸡问题”是世界上首次提出的三元一次不定方程及其一种解法，它是我国乃至全世界古代数学史中的一个奇葩这比欧州发现和研究这个问题要早一千多年活动组织方式活动主要采用小组合作探究的方式教师提出活动任务，并适当引导、启发；学生在独立思考的基础上进行小组合作探究，完成探究任务；全班交流

12、、总结，师生共同提炼探究结果活动评价方式所有活动都完成后，师、生对探究活动进行过程性评价和效果性评价，包括学生自评和教师评价学生完成效果测试，并根据过程性学习评价表和效果测试对自己的探究过程和结果进行自评；教师根据学生的探究过程、汇报和交流的情况，并参考学生自评的过程性学习评价表，以及学生完成的效果测试的情况对学生进行评价所需学习资源蜘蛛.jpg蟋蟀.jpg蜘蛛与蟋蟀（答案）.doc租船问题.jpg租船问题（答案）.doc数字问题.doc如何使钱正好用完.doc百鸡问题.swf张邱建算经.jpg买水果.swf买笔问题.doc宿舍问题.doc所需学习时间25分钟媒体资源学习评价“丢藩都方程”过程性学习评价表学习效果测试 姓名_用不定方程的方法解决下面各题：1）. 2元和5元纸币一共有30元，问2元和5元纸币共多少张？2）. 一个工人将100颗弹子装入两种盒子中，每个大盒子装12颗，小盒子装5颗，恰好装完，已知盒子数大于10，两种盒子各有多少？3）. 一次数学竞赛准备了22只铅笔作为奖品发给一、二等奖的学生，原计划发给一等奖每人6只，二等奖每人3只，后来改为一等奖每人9只，二等奖每人4只，一、二等奖的