高中数学_函数图象与性质_知识点总结_精选习题详细答案

1、 课程星级：知能梳理一、函数的定义、定义域、值域设是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中的每一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数，通常记为在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合称为函数的值域。函数的三要素：定义域、值域和对应法则二、函数的性质（一）函数的有界性设函数f(x)的定义域为D， 数集XÌD。 如果存在数K1， 使对任一xÎX， 有f(x)£K1， 则称函数f(x)在X上有上界， 而称K1为函数f(x)在X上的一个上界。 图形特点是y=f(x)的图形在直线y=

2、K1的下方。 如果存在数K2， 使对任一xÎX， 有f(x)³ K2， 则称函数f(x)在X上有下界， 而称K2为函数f(x)在X上的一个下界。 图形特点是， 函数y=f(x)的图形在直线y=K2的上方。 如果存在正数M， 使对任一xÎX， 有| f(x) |£M， 则称函数f(x)在X上有界; 图形特点是， 函数y=f(x)的图形在直线y= - M和y = M的之间。如果这样的M不存在， 则称函数f(x)在X上无界。函数f(x)无界， 就是说对任何M， 总存在x1ÎX， 使| f(x) | > M。例如（1） f(x)=sin x在(-

3、¥， +¥)上是有界的： |sin x|£1。 （2） 函数在开区间(0， 1)内是无上界的。 或者说它在(0， 1)内有下界，无上界。 这是因为， 对于任一M>1， 总有x1： ， 使， 所以函数无上界。 （3）函数在(1， 2)内是有界的。（二）函数的单调性（1）设函数y = f(x)的定义域为D， 区间I ÌD。 如果对于区间I上任意两点x1及x2， 当x1<x2时， 恒有 f(x1)< f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调增加的。 如果对于区间I上任意两点x1及x2， 当x1<x2时， 恒有 f(x1)> f

4、(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调减少的。 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。 举例：函数y = x2在区间(-¥， 0上是单调增加的， 在区间0， +¥)上是单调减少的， 在（-¥， +¥）上不是单调的。（2）证明方法和步骤：设元：设是给定区间上任意两个值，且；作差：；变形：（如因式分解、配方等）；定号：即；根据定义下结论。（3）二次函数的单调性：对函数，当时函数在对称轴的左侧单调减小，右侧单调增加；当时函数在对称轴的左侧单调增加，右侧单调减小。（4）复合函数的单调性：复合函数在区间具有单调性的规律见下表：增 减 增 减 增 减 增 减

5、减 增 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”。（5）函数的单调性的应用：判断函数的单调性；比较大小；解不等式；求最值（值域）。需要更多内容，见文档最后表格介绍。在淘.宝.上搜.索.“高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)”（三）函数的奇偶性（1）设函数f(x)的定义域D关于原点对称(即若xÎD， 则-xÎD)。 如果对于任一xÎD， 有f(-x) = f(x)，则称f(x)为偶函数。 如果对于任一xÎD， 有f(-x) = -f(x)，则称f(x)为奇函数。 举例： y=x2， y=cos x 都是偶函数。 y=x3

6、， y=sin x都是奇函数， y=sin x+cos x是非奇非偶函数。（2）一个函数是奇函数或偶函数的一个必须具备的必要的条件是：这个函数的定义域是关于原点对称的实数。可知，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么这个函数就不具有奇偶性。（3）判断函数的奇偶性的等价命题：若对于定义域内任意一个x，有f(x)-f(-x)=0成立，或（f(x)0）成立，则f(x)为偶函数。若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(x)=;若对于定义域内任意一个x，有f(x)+f(-x)=0成立，或（f(x)0）成立，则f(x)为奇函数。（4）在几个函数的共同定义域上，若f i(x)为奇函数，g i(x)是偶函数，

7、可知以下几个结论：f1(x)+f2(x)是奇函数，g1(x)。+g2(x)是偶函数，f1(x) f2(x2)是偶函数，g1(x)。g2(x)是偶函数，f(x)g(x)是奇函数。（5）偶函数的图形关于y轴对称， 奇函数的图形关于原点对称。（6）函数奇偶性的判定中”六点”： 勿忘定义域；勿忘化简解析式；勿忘分段讨论；勿忘分类讨论；勿忘等价性；勿忘个别值的特殊性。需要更多内容，见文档最后表格介绍。在淘.宝.上搜.索.“高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)”（7）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：定义法：先求定义域，看是否关于原点对称

8、; 再判断或 是否恒成立。利用函数奇偶性定义的等价形式：， 或（）。图像法：奇函数的图象关于原点对称。反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数。偶函数的图象关于轴对称。反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数为偶函数。赋值法（8）函数奇偶性的性质：奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反。即：奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性。如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数。若为偶函数，则。若奇函数定义域中含有0，则必有。故是为奇函数的既不

9、充分也不必要条件。定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”。既奇又偶函数有无穷多个（，定义域是关于原点对称的任意一个数集）。常用结论：(1)奇偶性满足下列性质：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇。（四）函数的周期性（1） 对于函数，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正

10、周期。周期函数的图形特点： 在函数的定义域内， 每个长度为T的区间上， 函数的图形有相同的形状。（2）常见结论 (约定a>0) ，则的周期T=a；，或或，或,则的周期T=2a（五）函数的对称性偶函数关于y（即x=0）轴对称，偶函数有关系式 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式探讨：（1）函数关于对称也可以写成 或 简证：设点在上，通过可知，即点上，而点与点关于x=a对称。得证。若写成：，函数关于直线 对称（2）函数关于点对称 或 简证：设点在上，即，通过可知，所以，所以点也在上，而点与关于对称。得证。若写成：，函数关于点 对称（3）函数关于点对称:假设函数关于对称，即关于任一个值，都

11、有两个y值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于对称。但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于对称，比如圆它会关于y=0对称。需要更多内容，见文档最后表格介绍。在淘.宝.上搜.索.“高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)”精讲精练【例】 下列判断正确的是（ ）A. 函数是奇函数 B. 函数是偶函数C. 函数是非奇非偶函数 D. 函数既是奇函数又是偶函数答案：C 选项A中的而有意义，非关于原点对称，选项B中的而有意义，非关于原点对称，选项D中的函数仅为偶函数【例】已知函数 判断函数的单调性，并证明； 求函数的最大值和最小值解： 设任取且 即 在上为增函数.

12、由知，在上为增函数，则 【例】一已知为偶函数，为奇函数，且有+， 求,.解：为偶函数，为奇函数，,不妨用-代换+= 中的,即显见+即可消去, 求出函数再代入求出需要更多内容，见文档最后表格介绍。在淘.宝.上搜.索.“高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)”【例】在R上定义的函数是偶函数，且.若在区间上是减函数，则 ( )A.在区间上是增函数，在区间上是减函数B.在区间上是增函数，在区间上是减函数C.在区间上是减函数，在区间上是增函数D.在区间上是减函数，在区间上是增函数答案：B解：由可知图象关于对称.又因为为偶函数图象关于对称，可得到为周期函数且最小正周期为2，结合在区间上是

13、减函数，可得如右草图.故选B【例】定义在R上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为（ D ） A.0 B.1C.3D.5 答案：D解：， ，则可能为5，选D.【例】已知函数的图象关于直线和都对称，且当时，.求的值.解： 的图象关于直线对称，即，同样，满足，知是以4为周期的函数.，同时还知是偶函数，所以.【例】已知函数yf (x)是定义在上的周期函数，周期T=5，函数是奇函数又知yf (x)在0,1上是一次函数，在1,4上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值. 证明：；求的解析式；求在4,9上的解析式.解：f (x)是以为周期的周期函数，又

14、是奇函数，当时，由题意可设，由得，是奇函数，又知yf (x)在0,1上是一次函数，可设，而，当时，f (x)=-3x，从而当时，故时，f (x)= -3x，.当时，有，0. 当时，【例】已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间0,2上是增函数,则( ). A. B. C. D. 答案：D解：因为满足,所以,所以函数是以8为周期的周期函数, 则,又因为在R上是奇函数， ,得,而由得,又因为在区间0,2上是增函数,所以,所以,即,故选D.考点:本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想和数形结合的思想解答问题.需要更多内容，见文档最后表格介绍。在淘.宝.上搜.索.“高考复习

15、资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)”【例】已知,对一切实数、都成立，且,求证为偶函数。证明：令=0, 则已知等式变为在中令=0则2=2 0 =1 为偶函数。【例】奇函数在定义域（-1，1）内递减，求满足的实数的取值范围。解：由得，为奇函数，又在（-1，1）内递减， 【例】设是定义在R上的奇函数，其图象关于直线对称。证明是周期函数。证明：由的图象关于直线对称，得，又是定义在R上的奇函数，所以，则由周期函数的定义可知4是它的一个周期。总结：一般地，,均可断定函数的周期为2T。【例】已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的，都满足：。判断的奇偶性，并证明你的结论。解：令，则，得；

16、 令，则，得；令，得，得因此函数为奇函数。总结：赋值是解决多变量抽象函数的重要手段。【例】已知函数对任意实数x，y，均有，且当时，求在区间2，1上的值域。解：设，则，当时，即，为增函数在条件中，令yx，则，再令xy0，则， ，故，为奇函数，又，的值域为4，2。【例】设是定义在上的函数，对任意，恒有，当时，有 求证：，且当时，； 证明：在上单调递减解： 令得 当时，有， 当时，有， ，又 设且 又 在上单调递减.需要更多内容，见文档最后表格介绍。在淘.宝.上搜.索.“高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)”【例】设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数m、n，总有，且时。（1）

17、证明：f(0)=1，且x<0时f(x)>1；（2）证明：f(x)在R 上单调递减；（ 3 ）设，若，确定a 的范围。（4）试举出一个满足条件的函数解：（1）证明：令，已知时，设，即当x<0时f(x)>1（2），则f(x)在R 上单调递减。（3）f(x)在R上单调递减 （单位圆内部分） （一条直线）（4）如【例】已知函数满足定义域在上的函数，对于任意的，都有，当且仅当时，成立，（1）设，求证；（2）设，若，试比较与的大小；（3）解关于的不等式分析：本题是以对数函数为模型的抽象函数，可以参考对数函数的基本性质解题证明：（1），（2），即当且仅当时，成立，当时，（3）令代入得，关于的