数学 圆中的分类讨论习题

1、细说圆中的分类讨论题-之两解情况由于圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，还具有旋转不变性,有许多问题需要分类讨论,分类讨论是一种同学们应该掌握并且相当重要的数学思想，对于锻炼同学们的缜密思维和分析问题能力异常的重要，但同学们在遇到分类讨论题时易出现漏解情况,这就要求同学们在解题时一要读懂题意，明白题干的要求，二要有顺序步骤的做。先从几个方面举例说明如下:一、根据点与圆的位置分类例、点P是圆O所在平面上一定点，点P到圆上的最大距离和最短距离分别为和，则该圆的半径为。分析：根据点和圆的位置关系，这个点P与圆有两种位置关系。分为点在圆内和点在圆外两种情况。解：过点P和圆心O作直线分别与圆O相交于A、

2、B两点。PA、PB分别表示圆上各点到点P的最长距离和最短距离。（1）当点P在圆内时，如图1所示，直径；（2）当点P在圆外时，如图2所示，直径；所以，圆O的直径为2或6。二、三角形与圆心的位置关系例：已知内接于圆O，则的度数为_。分析：因点A的位置不确定。所以点A和圆心O可能在BC的同侧，也可能在BC的异侧。也可分析为圆心在的内部和外部两种情况。解：（1）当点A和圆心O在BC的同侧时，如图3， 图3 图4（2）当点A和圆心O在BC的异侧时，如图4，所以的度数是或。练习：已知圆内接中，AB=AC，圆心O到BC的距离为3cm，圆的半径为6cm,求腰长AB。（两种情况如图5、图6） 图5 图6三、角与

3、圆心的位置关系例3:在半径为1的O中，弦AB、AC的长分别为和，则BAC的度数是_。分析：角与圆心的位置关系为圆心在角内部和外部两种情况。解：如图7，当圆心在BAC内部时，连接AO并延长交O于E在RtABE中，由勾股定理得：,所以BAE30°同理，在RtCAE中，ECAC，所以EAC45°，当圆心O在BAC的外部时（BAC'），由轴对称性可知： 所以BAC为75°或15° 四、圆中两平行弦与圆心的位置关系例4. 圆O的直径为10cm，弦AB/CD，AB=6cm，求AB和CD的距离。分析：题中的弦AB、CD都比圆O中的直径小，所以AB和CD可能在圆

4、心的同侧，也可能在圆心的异侧。解：（1）当AB、CD在圆心的同侧时，如图8，过点O作交AB于点M，交CD于N，连结OB、OD，得，然后由勾股定理求得：，故AB和CD的距离为1cm。（2）当在圆心的异侧时，如图9，仍可求得。故AB和CD的距离为7cm。所以AB和CD的距离为1cm和7cm。五、弦所对的圆周角有两种情况例5：半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为，那么这条弦所对的圆周角的度数等于_。分析：弦所对的圆周角有两种情况：（1）弦所对的圆周角的顶点在优弧上；（2）弦所对的圆周角的顶点在劣弧上。解：故应填60°或120°。练习：一条弦分圆周为3：5两部分，则这条弦所对的圆周

5、角的度数为 。 六、圆与圆的位置关系例6、已知圆和圆相内切，圆心距为，圆半径为，求圆的半径。分析：根据两圆相内切的特点：圆心距等于大圆半径减去小圆半径。但该题的条件中没有给定谁是大圆，谁是小圆。这时可把圆看成大圆，也可把圆看成小圆。解：（1）当圆是大圆时，则圆的半径等于大圆半径4cm减去圆心距1cm，求得圆的半径为3cm。（2）当圆是小圆时，则圆的半径等于小圆半径4cm加上圆心距1cm，求得圆的半径为5cm。所以圆的半径是3cm或5cm。例7、两圆相切，半径分别为4cm和6cm，求两圆的圆心距 。分析：此题中的两圆相切没有说明是内切还是外切，所以应该分两种情况考虑。解：（1）当两圆内切时，两圆

6、心的距离等于大圆半径减去小圆半径，即。（2）当两圆外切时，两圆心的距离等于大圆半径加上小圆半径，即。所以两圆的圆心距是2cm或10cm。例8、相交两圆半径分别为5 cm 和4cm ，公共弦长6cm，则两圆的圆心距等于_分析：注意两圆心在公共弦长两侧和同侧两种情况补充： 1、弦所对弧的优劣情况不确定已知横截面直径为100cm的圆形下水道，如果水面宽AB为80cm，求下水道中水的最大深度。20cm或80cm2、如图3，AB是圆O的弦，AC是圆O的切线，则弦AB所对的圆周角等于_。分析：因弦AB所对的圆周角的顶点未确定。可能在这个弦切角所夹的弧上，也可能在这个弦切角所夹的弧以外的弧上。解：（1）当这

7、个圆周角的顶点在弦 切角所夹的弧上时，求得这个圆周角为。（2）当所求的圆周角的顶点在弦切角所夹的弧以外的弧上时，求得这个圆周角为。所以弦AB所对的圆周角等于或。 3、已知圆和圆相内切，圆心距为，圆半径为，求圆的半径。分析：根据两圆相内切的特点：圆心距等于大圆半径减去小圆半径。但该题的条件中没有给定谁是大圆，谁是小圆。这时可把圆看成大圆，也可把圆看成小圆。解：（1）当圆是大圆时，则圆的半径等于大圆半径4cm减去圆心距1cm，求得圆的半径为3cm。（2）当圆是小圆时，则圆的半径等于小圆半径4cm加上圆心距1cm，求得圆的半径为5cm。所以圆的半径是3cm或5cm。4、相交两圆的半径分别为8和5，公

8、共弦为8，这两个圆的圆心距等于_。分析：因两圆的半径都大于公共弦长的一半，所以两圆的圆心可能在公共弦的同侧，也可能在公共弦的异侧。解：（1）当两圆的圆心在公共弦的同侧时，如图6，设AB是公共弦，交AB于点C，则，由勾股定理解得，故。图6（2）当两圆的圆心在公共弦的异侧时，如图7，可求得。故。所以这两圆的圆心距为或。5、过不在O上的一点A，作O的割线，交O于B、C，且AB·AC64，OA10，则O的半径R为_。解：依题意，点A与O的位置关系有两种：（1）点A在O内，如图1，延长AO交O于F，则由相交弦定理得：所以（负值已舍去）（2）点A在O外，如图2，此时由割线定理得：所以（负值已舍去

9、）故O的半径R为或6。6、如图8，在平面直角坐标系中，P是经过O（0，0），A（0，2），B（2，0）的圆上的一个动点（P与O、B不重合），则OAB_度，OPB_度。解：依题意可知AOB是等腰直角三角形，所以OAB45°当动点P在上时，OPBOAB45°当动点P在上时，OPB180°45°135°故OPB为45°或135°。7、已知半径为4和的两圆相交，公共弦长为4，则两圆的圆心距为_。分析：相交两圆圆心的位置有在公共弦的同侧和异侧两种情况。解：如图9、图10，在中，在中，（1）当圆心在公共弦AB的同侧时，如图9（2）当圆心

10、在公共弦AB的异侧时，如图10，8、已知在直径AB为13的半圆上有一点C，CDAB，垂足为D，且CD6，求AD的长.分析：由于6，即CDAB，所以点D在直径上的位置有两种情况：解：（1）如图3，当点D和点A在圆心O的同旁时（ADBD）在RtCOD中，OD，则ADOAOD4；ODABC图4OABCD图3（2）如图4，当点D和点A在圆心的两旁时（ADBD）.同理可求OD，则ADAOOD9.故所求的AD的长为4或9.点评：图形的位置关系是几何研究的重要方面，应考虑到图形所有可能情况，全面性地思考问题如：本例中，由于圆的轴对称性，相同长度的弦位置往往不止一个本题可以拓展到整圆：已知：O的半径为5，AB为直径，弦CDAB，CD=6，则AE= (1或9)9、两圆的半径分别为4和2，如果它们的两条公切线互相垂直，求两圆的圆心距。这种情况。解：（1）当内公切线与外公切线垂直时，如图11，AB切于A，切于B，EF切于E，切于F，ABEF于D。由切线定理，得： 所以故有（2）当内公切线垂直时，如图12，作，交点为E，则（3）当外公切线垂直时，如图13，作于G，则10、如图,在平面直角坐标系中,已知C的半径为r,直线l:,与x轴、y轴分别交于A、B两点. （1）当r=1.5时，将C从点C与坐标原点重合开始, 沿y轴向下运动,当C与直线l相切时,点C移动的距离是 6.5或1.5（2）