曲面积分精解

1、第一节 第一类曲面积分内容要点 一、 第一类曲面积分的概念与性质定义1 设曲面是光滑的, 函数在上有界, 把任意分成n小块(同时也表示第i小块曲面的面积),在上任取一点作乘积并作和 如果当各小块曲面的直径的最大值时, 这和式的极限存在, 则称此极限值为在上第一类曲面积分或对面积的曲面积分，记为 (4.2)其中称为被积函数，称为积分曲面.二、对面积的曲面积分的计算法 (4.3)例题选讲例1 计算曲面积分 其中是球面被平面截出的顶部.解 的方程为在面上的投影区域又利用极坐标故有 例2（E01）计算 其中为平面被柱面所截得的部分.解 积分曲面其投影域故 例3（E02）计算其中是由平面及所围四面体的整

2、个边界曲面.解 如图(见系统演示)，注意到在上，被积函数故上式右端前三项积分等于零.在上，所以从而其中是在面上的投影区域.例4计算 其中为抛物面解 根据抛物面对称性,及函数关于坐标面对称,有例5 计算 其中是圆柱面平面及所围成的空间立体的表面.解 在面上得投影域于是 将投影到面上，得投影域 所以 例6（E03）计算 为内接于球面的八面体表面.解 被积函数关于三个坐标面和原点均对称.积分曲面也具有对称性,故原积分其中在面上的投影为而所以例7（E04）求球面含在圆柱体内部的那部分面积.解 由对称性知，所求曲面面积是第一卦限上面积的4倍.的投影区域曲面方程故所以 例8 设有一颗地球同步轨道卫星, 距

3、地面的高度为km，运行的角速度与地球自转的角速度相同. 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径km).解 取地心为坐标原点，地心到通讯卫星重心的连线为轴，建立如图坐标系.卫星覆盖的曲面是上半球面倍半顶角为的圆锥面所截得的部分. 的方程为它在面上的投影区域于是通讯卫星的覆盖面积为将代入上式得 由此得这颗通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为 由以上结果可知，卫星覆盖了全球三分之一以上的面积，故使用三颗相隔角度的通讯卫星就可以覆盖几乎地球全部表面.课堂练习1.当是面内的一个闭区域时, 曲面积分与二重积分有什么关系?2.计算, 其中为锥面被平面和所截得的部分. 3. 求半径为的球的表面

4、积.第二节 第二类曲面积分二、第二类曲面积分的概念与性质 定义1 设为光滑的有向曲面, 其上任一点处的单位法向量 又设其中函数在上有界, 则函数 则上的第一类曲面积分 (5.5)称为函数在有向曲面上的第二类曲面积分. 三、第二类曲面积分的计算法设光滑曲面：，与平行于轴的直线至多交于一点，它在面上的投影区域为, 则. (5.9)上式右端取“+”号或“-”号要根据是锐角还是钝角而定.例题选讲第二类曲面积分的计算法例1 (E01) 计算曲面积分 其中是长方体的整个表面的外侧.解 如图(见系统演示), 把有向曲面分成六部分.除外，其余四片曲面在面上的投影值为零,因此类似地可得于是所求曲面积分为例2 (

5、E02) 计算其中是球面外侧在的部分.解 把分成和两部分利用极坐标例3 (E03) 计算其中是旋转抛物面介于平面及之间的部分的下侧.解 在曲面上，有 课堂练习1.当是面内的一个闭区域时, 曲面积分与二重积分有什么关系?2.计算曲面积分其中为平面所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.第三节 高斯公式 通量与散度内容要点 一、高斯公式定理1设空间闭区域由分片光滑的闭曲面围成，函数、在上具有一阶连续偏导数，则有公式 (6.1)这里是的整个边界曲面的外侧, 是上点处的法向量的方向余弦. (6.1)式称为高斯公式.若曲面与平行于坐标轴的直线的交点多余两个，可用光滑曲面将有界闭区域分割成若干个小区域，使得

6、围成每个小区域的闭曲面满足定理的条件，从而高斯公式仍是成立的.此外，根据两类曲面积分之间的关系，高斯公式也可表为 二、通量与散度一般地，设有向量场,其中函数、有一阶连续偏导数，是场内的一片有向曲面，是曲面的单位法向量. 则沿曲面的第二类曲面积分称为向量场通过曲面流向指定侧的通量. 而称为向量场的散度，记为，即. (6.5)例题选讲利用高斯公式计算例1（E01）计算曲面积分其中为柱面及平面所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧（图10-6-2）.解 利用高斯公式，得原式=（利用柱面坐标）例2（E02）计算 其中为旋转抛物面在部分的外侧.解 作辅助平面 则平面与曲面围成空间有界闭区域由高斯公式得例

7、3（E03）计算 其中为锥面, 为此曲面外法线向量的方向余弦.解 补充平面取的上侧，则构成封闭曲面，设其所围成空间区域为 于是而 故 例4（E04）证明: 若为包围有界域的光滑曲面, 则其中为函数沿曲面的外法线方向的方向导数，,在上具有一阶和二阶连续偏导数，符号称为拉普拉斯算子. 这个公式称为格林第一公式.证 因为，其中是在点处的外法线的方向余弦，于是将上式右端移至左端即得所要证明的等式.通量与散度例5（E05）求向量场的流量(1) 穿过圆锥的底(向上);(2) 穿过此圆锥的侧表面（向外）.解 设及分别为此圆锥的面，侧面及全表面，则穿过全表面向外的流量(1) 穿过底面向上的流量(2) 穿过侧表

8、面向外的流量课堂练习1.利用高斯公式计算其中为球面的外侧.第四节 斯托克斯公式 环流量与旋度斯托克斯公式是格林公式的推广，格林公式建立了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的联系，而斯托克斯公式则建立了沿空间曲面的曲面积分与沿的边界曲线的曲线积分之间的联系.分布图示 斯托克斯公式 例1 例2 例3 空间曲线积分与路径无关的条件 三元函数的全微分求积 环流量与旋度 例4 例5 例6 斯托克斯公式的向量形式 向量微分算子 内容小结课堂练习 习题11-7返回内容要点一、斯托克斯公式定理1 设为分段光滑的空间有向闭曲线，是以为边界的分片光滑的有向曲面，的正向与的侧符合右手规则，函数在包含曲

9、面在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式 (7.1)公式(7.1)称为斯托克斯公式.为了便于记忆，斯托克斯公式常写成如下形式：利用两类曲面积分之间的关系，斯托克斯公式也可写成 二、空间曲线积分与路径无关的条件三、环流量与旋度设向量场则沿场中某一封闭的有向曲线C上的曲线积分称为向量场沿曲线C按所取方向的环流量. 而向量函数 称为向量场的旋度，记为，即旋度也可以写成如下便于记忆的形式：. 四、向量微分算子：例题选讲利用斯托克斯公式计算例1（E01）计算曲线积分 其中是平面被三坐标面所截成的三角形的整个边界, 它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则.解 按斯托克斯公式，有由于的法向量的三个方向余弦都为正，再由对称性知:所以 例2 计算曲线积分 其中是平面截立方体：的表面所得的接痕，从轴的正向看法，取逆时针方向.解 取为题设平面的上侧被所围成部分，则该平面的法向量即原式例3（E02）计算 式中是此曲线是顺着如下方向前进的: 由它所包围在球面上的最小区域保持在左方.解 由斯托克斯公式，有原式(利用对称性)例4 求矢量场在点处的散度及旋度. 解 故 故例5（E03）设 求gradu； div(gradu)；rot(gradu).解 因为有二阶连续导数,故二阶混合偏导数与求导次序无关,故注：一般地，如果是一单值函数，我们称向量场=gradu 为势量场或保守场