二项式系数的性质

1、X主讲教师：唐 红二项式定理及展开式二项式定理及展开式: :nnnrrnrnnnnnnnnbCbaCbaCbaCaCba2221110+=+-LL）（二项式展开式：二项式系数二项式系数），（nrCrnL210=通通 项项rrnrnrbaCT-+=1复习回顾复习回顾九章算术九章算术杨辉杨辉详解九章算法详解九章算法中记载的表中记载的表 这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261 年所著的详解九章算法一书里就已经出现了，在这本书里，记载着类似右面的表：杨辉三角杨辉三角:表中除表中除“1”以外的每一个以外的每一个数都等于它肩上的两个数之和数都等于它肩上的两个数之和(a+b)1(a+b)2(a+

2、b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)611rrrnnnCCC- -+ += =+ +1101CC02C12C22C03C13C23C33C14C04C34C24C44C05C15C25C35C45C55C66C36C46C56C26C16C06C二二 项项 式式 系系 数数 的的 性性 质质111211331146411510 10511615 20 1561二项式系数表 当当n= 6时时,其图象是其图象是7个孤立点个孤立点f（r）r63O615201nnnnnnCCCCba，展开式的二项式系数是）（L210+nrfrCrn，其定义域是），（为自变量的函数可看成是以从函数的角度看，L210

3、 与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数相等的两个二项式系数相等性质性质1 1：对称性：对称性性质性质2 2：增减性与最大：增减性与最大值值mnnmnCC- -= =二二 项项 式式 系系 数数 的的 性性 质质111211331146411510 10511615 20 1561f（r）r63O6152012nr =因为因为1(1)(2)(2)(1)(1)(1)!kknnn nnn kn kn kCCkkk- +- +- +=-L 当当 时，二项式系数是逐渐增大时，二项式系数是逐渐增大的。有对称性知它的后半部分是逐渐减的。有对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取的最大值。

4、小的，且在中间取的最大值。12nk+knC所以所以 相对于相对于 的增减情况由的增减情况由 决定决定(1)n kk- +1knC-f（r）rO615201372122n-20103035O7f（r）n为奇数122n+当当n是偶数时，中间的一项是偶数时，中间的一项 取得最大值取得最大值 ；2nnC当当n是奇数时，中间的两项是奇数时，中间的两项 和和 相等，且同时取得相等，且同时取得最大值。最大值。 21+ +nnC21- -nnC634n为偶数性质性质3 3：各二项式系数的和：各二项式系数的和 也就是说也就是说, (a+b), (a+b)n n的的展开式中的各个二项式系展开式中的各个二项式系数的

5、和为数的和为2 2n n？2n赋值法赋值法=+nnnnnCCCCL210（nnnrrnnnnnxCxCxCxCCx12210+=+LL）令x=1，二二 项项 式式 系系 数数 的的 性性 质质2 2、在、在(a(ab)b)1010展开式中，二项式系数最展开式中，二项式系数最大大的项是的项是( ).( ).1 1、在、在(a(ab)b)2020展开式中，与第五项二项式展开式中，与第五项二项式系数相同的项是系数相同的项是( ).( ).A课堂练习课堂练习: :A.A.第第6 6项项 B.B.第第7 7项项C.C.第第6 6项和第项和第7 7项项 D.D.第第5 5项和第项和第7 7项项CA.A.第

6、第1515项项 B.B.第第1616项项 C.C.第第1717项项 D.D.第第1818项项例例1 1 证明：在证明：在(a(ab)b)n n展开式中展开式中, ,奇数项的二项奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. .例 题 选 讲例 题 选 讲小结：小结：求解二项式系数和时，灵活运用赋值求解二项式系数和时，灵活运用赋值 法可以使问题简单化。通常选取赋值法可以使问题简单化。通常选取赋值 时取时取1 1，1 1。证明：在展开式nnnrrnrnnnnnnnnbCbaCbaCbaCaCba2221110+=+-LL）（中，令 则得 1,1ab= -01

7、23(1 1)( 1)nnnnnnnnCCCCC-=-+-+ -L就是 02130()()nnnnCCCC=+-+LL0213nnnnCCCC+=+LL已知已知(2x+1)10=a0 x10+ a1x9+ a2x8+a9x+ a10,(1)求求a0+ a1+ a2+ +a9+ a10的值的值(2)求求a0+ a2+ a4+ + a10的值的值变式练习：变式练习：103）（132110+解：依题意解：依题意, n , n 为偶数，且为偶数，且例 题 选 讲例 题 选 讲例例2 2 已知已知 展开式中只有第六展开式中只有第六项系数最大，求第五项及有理项。项系数最大，求第五项及有理项。 nxx+43110612=+nn45201043210101rrrrrrxcxxcT-+=21004105=xcT10955145,210,x9518 , 4 , 0100 xTTTrr=即项为有理项，、时，展开式中的第作业作业: :P122习题习题10.4 7(1), 9,1