疑难规律方法 第三章概率

1、.1辨析频率与概率概率与频率虽只有一字之差，但意义大不一样，同时二者之间又有一定的联络下面和同学们一起认识一下这对“孪生兄弟一、频率与概率的区别频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，它的值等于随机事件发生的次数与试验总次数的比频率是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到的某事件发生的频率不一定一样而概率是一个确定的值，是客观存在的，与每次试验无关，与试验次数也无关例1 连续抛掷一枚硬币10次，落地后正面向上出现了6次，设“抛一次硬币，正面向上为事件A，那么以下说法正确的有_PA；PA；再连续抛掷该硬币10次，落地后出现正面的次数还是6；事件A发生的频率为；无论哪一次抛，硬币落地后正

2、面向上的概率一样解析正确在一次试验中，事件A发生的概率为，再连续抛掷该硬币10次，落地后出现正面的次数不确定答案点评频率的随机性和概率确实定性是二者的本质区别二、频率与概率的联络1在大量重复进展同一试验时，频率总是在某个常数附近摆动由于事件的随机性，有时候频率也可能出现偏离该“常数较大的情形，但随着试验次数的增加，这种情形出现的可能性会减小概率是频率的稳定值，可看作是频率在理论上的平均值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小2在实际问题中，某些随机事件的概率往往难以确切的得到，因此我们常常通过大量的重复试验，用随机事件发生的频率来估计概率例2 一个不透明的袋中装有大小质地一样的红、白两种

3、颜色的小球，某学习小组做摸球试验，每次从袋中摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸试验的部分数据如下表：摸球次数306090120150180210270300摸到红球的次数6253138455367摸到红球的频率0.3000.2471将表格补充完好；所求频率保存3位小数2估计从中随机摸一个球，求摸到红球的概率P.保存2位小数解1第二行依次填：18,74.第三行依次填：0.200,0.278,0.258,0.253,0.250，0.252，0.248.2由1知，虽然抽取次数不同，所得频率值不同，但随试验次数的增加，频率在常数0.250附近摆动，故P0.25.点评只有当频率值在某一常数附近摆动时

4、，才能将此常数近似看作该事件发生的概率现实生活中很多事件的概率是难以确切得到的，鉴于随机事件的发生带有随机性的同时又存在一定的规律性，故一般通过大量的重复试验，用随机事件的频率来估计概率.2概率加法公式应用点拨概率的加法公式是计算概率的一个最根本的公式，根据它可以计算一些复杂事件的概率概率的加法公式可推广为假设事件A1，A2，An彼此互斥两两互斥，那么PA1A2AnPA1PA2PAn，即彼此互斥事件和的概率等于各个事件发生的概率之和用此公式时，同学们首先要判断事件是否互斥，假如事件不互斥，就不能用此公式下面举例说明概率加法公式的应用一、计算互斥事件和的概率例1 由经历得知，某市某大型超市付款处

5、排队等候付款的人数及其概率如下表：排队人数012345人以上概率0.100.160.300.30.100.04求：1至多2人排队的概率；2至少2人排队的概率解1记“没有人排队为事件A，“1人排队为事件B，“2人排队为事件C，那么A，B，C彼此互斥PABCPAPBPC0.100.160.300.56.2记“至少2人排队为事件D，“少于2人排队为事件AB，那么事件D与事件AB是对立事件，那么PDP1PAPB10.100.160.74.点评应用概率加法公式求概率的前提有两个：一是所求事件是几个事件的和，二是这几个事件彼此互斥在应用概率加法公式前，一定要弄清各事件之间的关系，把一个事件分拆为几个彼此互

6、斥的事件的和，再应用公式求解所求概率二、求解“至少与“至多型问题例2 甲、乙、丙、丁四人同时参加一等级考试，恰有1人过关事件A的概率为0.198，恰有2人过关事件B的概率为0.38，恰有3人过关事件C的概率为0.302,4人都过关事件D的概率为0.084.求：1至少有2人过关的概率P1；2至多有3人过关的概率P2.分析“至少有2人过关即事件BCD.“至多有3人过关即事件A，B，C与事件“4人均未过关的并事件，其对立事件为D.注意“4人均未过关这种可能情况解由条件知，事件A，B，C，D彼此互斥1P1PBCDPBPCPD0.766.2P2P1PD10.0840.916.点评处理“至多“至少型问题，

7、既可以分情况讨论，也可以从反面考虑，即借助对立事件的概率间接求解当事件包含的情况较多时，常利用PA1P求PA三、列方程求解概率问题例3 某班级同学的血型分别为A型、B型、AB型、O型，从中任取一名同学，其血型为AB型的概率为0.09，为A型或O型的概率为0.61，为B型或O型的概率为0.6，试求任取一人，血型为A型、B型、O型的概率各是多少？分析设出所求事件的概率，将题中涉及到的事件用所求事件表示出来，借助这些事件的概率及公式，列方程求解即可解记“任取一人，血型为A型，“任取一人，血型为B型，“任取一人，血型为AB型，“任取一人，血型为O型分别为事件E，F，G，H，显然事件E，F，G，H两两互

8、斥故解得所以任取一人，血型为A型、B型、O型的概率分别为0.31、0.3、0.3.点评此题很好地应用了全体事件的和为必然事件这一点挖掘题目中的隐含条件并合理利用是解决某些问题的关键，同学们应注重这种才能的培养.3随机事件的概率结论1概率大的随机事件不一定意味着肯定发生在一次试验中，概率大的随机事件的发生不一定优于概率小的随机事件的发生释义对于概率的大小问题，只能说明相对于同一随机事件而言，概率大的发生的可能性大，概率小的发生的可能性小例1在一次试验中，随机事件A发生的概率是0.3，随机事件B发生的概率是0.7，你认为假如做一次试验，可能出现B不发生A发生的现象吗？为什么？解这是可能的因为随机事

9、件B的发生概率大于随机事件A的发生概率，但并不意味着在一次试验中随机事件B的发生一定优于随机事件A的发生，随机事件的发生是不确定的结语结论1实现实际生活中小概率事件发生的可能性对于概率问题，必须注意的是概率是相对于大量重复试验的前提下得到的理论值，但在少数的有限试验中，概率不一样的随机事件发生的可能性无法确定结论2概率是由宏大数据统计后得出的结论，是一种大的整体的趋势；而频率是数据统计的结果，是一种详细的趋势和规律概率可以看作频率在理论上的期望值释义概率与频率的关系是整体与详细、理论与理论、战略与战术的关系，频率随着随机事件次数的增加会趋向于概率在处理详细的随机事件时，用概率作指导，以频率为根

10、据例2在某次射击比赛中，甲运发动在决赛中以0.2环的微弱优势战胜了乙运发动，摘得该项的金牌下表是两人在参赛前训练中击中10环以上的次数统计：甲运发动：射击次数n102050100200500击中10环以上的次数m9174492179450击中10环以上的频率乙运发动：射击次数n102050100200500击中10环以上的次数m8194493177453击中10环以上的频率请根据以上表格中的数据答复以下问题：1分别计算出两位运发动击中10环以上的频率；2根据1中计算的结果预测两位运发动在该比赛中每次击中10环以上的概率解1两运发动击中10环以上的频率分别为：甲：0.9,0.85,0.88,0.

11、92,0.895,0.9；乙：0.8,0.95,0.88,0.93,0.885,0.906；2由1中的数据可知两位运发动击中10环以上的频率都集中在0.9这个数的附近，所以可以预测两位运发动在该比赛中每次击中10环以上的概率为0.9，即两人的实力相当结语结论2实现频率与概率既有联络又有区别，频率随着随机事件的试验次数的不断增加而趋向于概率结论3两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立释义对立事件是互斥事件的一个特例，两个互斥事件不一定是对立事件，而两个对立事件必为互斥事件例3一个不透明的袋中装入4个白球与4个黑球，从中任意摸出3个球1可能发生哪些事件？2指出其中每个事件的互斥事件；3事件“至少摸出

12、1个白球是哪几个事件的和事件？它的对立事件是哪个事件？解1以白球或黑球的个数作为讨论标准，可能发生以下事件：摸出3个白球，记为事件A；摸出2个白球，1个黑球，记为事件B；摸出1个白球，2个黑球，记为事件C；摸出3个黑球，记为事件D；2事件A，B，C，D彼此互斥；3“至少摸出1个白球的事件为A，B，C的和事件，即“至少摸出1个白球的对立事件是D.结语结论3实现对立事件与互斥事件的联络与区别特别在解答一些问题时，在把复杂事件加以分解的事件个数不是太多的情况下，可以把所有的事件罗列下来，结合互斥事件与对立事件的概念加以辨析.4点击互斥事件一、互斥事件、对立事件的概念1“互斥事件和“对立事件都是就两个

13、事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，也就是说互斥事件至多有一个发生，也有可能两个都不发生，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件因此，对立事件必须是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，也就是说对立事件是互斥事件的充分不必要条件2从集合的角度理解：两个互斥事件对应的根本领件所组成的集合的交集为空集，并集可能是全集，也可能不是全集；当A，B是对立事件时，其交集为空集，并集是全集3互斥事件之间的关系中的“不能同时发生表达了分类讨论的原那么“不重复，而“不遗漏那么表如今所有互斥事件的和是整个事件必然事件二、例题点击1互斥事件、对立事件的判断例1从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，

14、那么互斥但不对立的事件是A至少有1个红球与都是红球B至少有1个黑球与至少有1个红球C恰有1个黑球与恰有2个红球D至少有1个黑球与都是红球解析“从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球这一事件共包含3个根本领件：红，红，黑，黑，红，黑，故恰有1个黑球与恰有2个红球互斥但不对立，所以选C.答案C评注借助于列举根本领件，结合定义，易判断出互斥与对立事件2互斥事件的计算例2袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中任取1只，有放回地抽取3次，求3只颜色不全一样的概率解记“3只颜色全一样为事件A，那么所求事件为A的对立事件因为“3只颜色全一样又可分为“3只全是红球事件B“3只全是黄球事件C“3只全是白球

15、事件D，且它们彼此互斥，故3只颜色全一样即为事件BCD，由于红球、黄球、白球的个数一样，故有PBPCPD，所以PAPBCDPBPCPD，因此有P1.答3只颜色不全一样的概率是.评注此题可将所求事件转化为彼此互斥的事件的和，但比较费事，故转化为其对立事件求解，表达了“正难那么反的思想注意“3只颜色全一样可分为三个彼此互斥的根本领件，它的对立事件为“3只颜色不全一样.5解古典概型的几个注意解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特点：1有限性：做一次试验，可能出现的结果为有限个，即只有有限个不同的根本领件2等可能性：每个根本领件发生的可能性是相等的其计算公式PA也比较简单，但是这类问题的解法多样，技巧

16、性强，下面说一下在解题中需要注意的几个问题注意1有限性和等可能性例1掷两枚均匀的硬币，求出现一正一反的概率分析这个试验的根本领件所有可能结果共有4种：正，正，正，反，反，正，反，反，事件A“出现一正一反的所有可能结果为：正，反，反，正解PA.评注均匀硬币在抛掷过程中出现正、反面的概率是相等的，并且试验结果是有限个注意2计算根本领件的数目时，必须做到不重不漏例2从1,2,3,4,5这5个数字中任取三个不同的数字，求以下事件的概率：1A三个数字中不含1和5；2B三个数字中含1或5分析这个试验的所有可能结果为：1,2,3，1,2,4，1,2,5，1,3,4，1,3,5，1,4,5，2,3,4，2,3

17、,5，2,4,5，3,4,5，共10种解1事件A为2,3,4，故PA.2事件B的所有可能结果为：1,2,3，1,2,4，1,2,5，1,3,4，1,3,5，1,4,5，2,3,5，2,4,5，3,4,5，共9种故PB.评注在计算事件数目时，要做到不重不漏，如B中可分为含1的：1,2,3，1,2,4，1,2,5，1,3,4，1,3,5，1,4,5含5的：1,2,5，1,3,5，2,3,5，3,4,5，1,4,5，2,4,5在归于集合B中时，1,2,5，1,3,5，1,4,5这三个不能重复计算注意3利用事件间的关系例3有3个完全一样的小球a，b，c，随机放入甲、乙两个盒子中，求两个盒子都不空的概率

18、分析先分析三个小球随机放入甲、乙两个盒子的根本领件，再确定两个盒子都不空的对立事件是至少有一个盒子为空所包含事件，从而确定该事件的概率解a，b，c三个小球随机放入甲、乙两个盒子的根本领件为：甲盒a，b，ca，baa，cb，cbc空乙盒空cb，cbac，aa，ba，b，c两个盒子都不空的对立事件是至少有一个盒子为空，所包含事件：甲盒子a，b，c，乙盒子空；甲盒子空，乙盒子a，b，c，共两个，故P1.评注在求解较复杂事件的概率时，可将其分解为几个互斥的简单事件的和事件，由公式PA1A2AnPA1PA2PAn求得或采用正难那么反的原那么，转化为其对立事件，再用公式PA1P求得.6走出解几何概型的几个

19、误区几何概型和古典概型是概率中典型的问题，几何概型和古典概型有共同点，也有很多不一样的地方我们在求解几何概型问题时，经常会出现一些典型的错误下面用详细的例子帮你走出误区一、假设PA0，那么A未必是不可能事件；假设PA1，那么A未必是必然事件例1有一个底面是圆形的容器，底面圆半径是一枚硬币半径的10倍，如今把这枚硬币随机地扔进容器，求硬币与底面恰好相切的概率解记“硬币与底面圆相切为事件A，由题意知所求问题是以面积为测度的几何概型的概率问题，事件A对应的面积可以认为是0，故PA0.点评在古典概型中，PA0A是不可能事件；而在几何概型PA0，那么A未必是不可能事件；PA1，A也未必是必然事件二、背景

20、相似的问题，当试验的角度不同时，其概率不一样例21在直角三角形ABC中，A90°，ABAC，过点A作一射线交线段BC于点M，求BMAB的概率2在等腰直角三角形ABC中，A90°，在线段BC上取一点M，求BMAB的概率解1记“过点A作一射线交线段BC于点M，使BMAB为事件，由于是过点A作一射线交线段BC于点M，所以射线在BAC内是等可能出现的，又当ABBM时BAM67.5°，所以P.2设ABAC1，那么BC，设“在线段BC上取一点M，使BMAB为事件，那么P.点评几何概型有关问题，有的背景相似，试验的角度不同时，其概率是不一样的三、错用测度类型例3在区间0,2中随

21、机地取出两个数，求两数之和小于1的概率错解两数之和小于1，那么每一个数是0,1之间，故每一个数对应的概率为，那么所求两个数的概率为×.错因分析因为两数之和小于1，故两个数之间有互相制约的关系，即两个变量之间不是互相独立的，不可将两个变量的概率相乘，故这种做法是错误的，应用面积做测度，计算概率正确答案设x，y表示所取的任意两个数，由于x0,2，y0,2，以两数x，y为坐标的点在以2为边长的正方形区域内，设两数和小于1为事件A，那么事件A所在区域为直线xy1的下方且在正方形内的阴影区域PA.四、无视等可能例4以等腰直角三角形的直角顶点为圆心作圆，使这个圆与斜边相交，那么截得弦长不大于直角

22、边的概率为多少？错解如下图，设MN是以C为圆心，以MC为半径的圆所截取的线段，故所求事件发生的概率为P.错因分析本试验以直角顶点为圆心作圆，使这个圆与斜边相交，因此用圆和线段相交的长度反映概率，无视了等可能正确答案以直角顶点为圆心作圆，使这个圆与斜边相交，半径r的取值范围在CH<rCA；而事件对应的r的取值范围为CH<rCM，故记所求事件为，那么P，设AC2，那么CH，CM，故P.7概率中的数学思想概率的有关知识在实际生活中的应用非常广泛，恰当合理地运用数学思想方法，可以帮助我们更快、更准确地解决问题下面举例说明求解概率问题时常用的三种思想方法一、数形结合思想例1在一次商贸交易会上，某商家开展促销抽奖活动，甲、乙两人相约参与抽奖假设甲方案在9：009：40之间赶到，乙方案在9：2010：00之间赶到，求甲比乙提早到达的概率分析此题属于几何概型问题，由于涉及到两个变量，故可建立坐标系，借助面积来解决解设两人到达的时间分别为9点到10点之间的第x分钟、第y分钟，用x，y表示，那么所有可能结果可表示为x，y|0x40,20y60记“甲比乙提早到达为事件A，那么事件A的可能结果为x，y|x<y,0x40,20y60如下图，试验全部结果构成的区域为图中的正方形，而构成事件A的区域是正方形内的阴影部分，所以PA.点评某些概率问题用常