数学论文运用数学方法分析研究社会经济现象与解决实际经济问题的途径

1、引言在市场经济活动分析研究中，运用数学方法进行定量分析，对于搞好经济管理工作提高经济效益，具有非常重要的作用。运用数学方法分析研究社会经济现象与解决实际经济问题的途径，最重要的是通过建立数学模型来实现。经济数学模型是一种理论结构，它是某些假定条件下，对现实社会经济现象加以数学描述的一种经济分析方法。当一个经济活动问题的数学模型确定后，随之就要推导出解来，也就是要采用适当的数学方法通过逻辑推理计算出最优化结果。本文试通过日常消费、库存费用、油田开发，以及国家利用利率对经济的宏观调控等方面进行相关数学探讨。1 日常消费A 提价与利润涨价可以提高利润，但是提价过猛会使商品滞销适得其反，怎样才能完成规

2、定的利润指标这是经济生活中决策者常常碰到的一个问题。例1. 某种消费品每件a 元，不加收附加税时每件大约销售6万件，若政府征收附加税时每100元要征税R 元(叫税率为R%),，则每年销售将减少cR万件(c可以在实际统计中各得到)要使每年在此经营中所收取的税金不少于k万元，问R应怎样确定？解：设销售量为每年x万件 ，则每件销售收入为ax (万元)从中征收税金为 (万元) (1)在税利R%的情况下，由已知 (2)把(2)式代入(1)式得 本题要求 即 (A) 当 时 这是指导经营者提价的一个数学模型。具体例子如下 例2某种消费品每件60元，不加收附加税时，每年大约销售80万件，若政府征收附加税时，

3、每销售100元要征收R元，则每年销售量将减少 R万件，要使每年在此项经营中所得收取的税金不少于128万元。问R应怎样确定。 解：此题的 a=60 , b = 80 , c=, R=128 , 代入模型(A)中 即 解得 要达到税金不少于128万元，税率必在4%至8%之间。例3 某种儿童玩具每件7.5元，年销量为120万件，设每件提价0.5元销售量就减少4万件，要使总销售收入不低于900万元，求玩具的最高提价。解：设每件提价x元，则每件价格为(7.5+x)元， 销售量为万件。根据题意，得 解得 答：这种玩具的最高提价为7.5元。 B供与求、收入与成本 例4市场上销售种货物，原价a元/件，销售额为

4、K件，价格每提高b元/件，需求量将减少件，试建立需求函数关系。 解：设需求量为件，价格为元/件， 则由题意得 即 (B) 从此模型知，货物提价不能超过 ， 否则滞销。请看具体例子。 例5 市场上销售某种手表若原价70元/只，销售量为10000只，价格每担高3元/只需求量将减少3000只，试建立需求函数关系。 解：此题的 ， ， 代入模型(B) 得手表的价格不能超过80元，否则将滞销。例6 设某货物的价格为a元/件，厂方可以提供K件；若价格每增加b元/件，厂方可多提供件，试建立供求函数关系。解：设供应量为件，价格为元/件，由题意得 ( C ) 例5，例6 两个数学模型组成方程组，得时， 就是市场

5、平衡价格，低于这个价格的，求大于供，高于这个价格，供大于求。如：设手表价格为70元/只，表厂可以提供10000只，价格每提高3元/只，厂方可以多提供300只试建立 供求函数关系。 解：由题意知 ，代入 中 这就是供求函数关系，解方程组 得 70元/只是市场平衡价格，低于这个价格，求大于供，高于这个价格，供大于求。 例7 某产品总成本中，固定成本为元，可变成本每单位产品为元，单位产品价格为元，求产量时，总成本，总收入及利润的影响，并讨论产量为何值时，能达到盈亏平衡？ 解：由题意： ， 总收入与总成本相等时，即可达到盈亏平衡。 ， ( D )从而时盈亏平衡，产量小于这时，则亏损，产量大于时则盈利，

6、如：产品总成本中，固定成本为20000元，可变成本每单位产品为3000元，单位产品的价格为5000元，讨论产量为何值时，能达到盈亏平衡？解: 此时元，元，元，代入(D)式中当产量为10(单位)时，盈亏平衡，产量小于10(单位)则亏损，产量大于10(单位)时，则盈利。2库存费用仓储是经济活动中必不可少的重要一环，其能保证生产、消费相统一的再生产过程连续不断地进行。任何商品并不是存储得越多越好，大量的存储会出现积压，而且加重库存费用，但存储过少则会使商品脱销。影响社会再生产。在这“过多”与“过少”之间如何找出其平衡点。这就是下文将要解决的问题。例8 某商店每年销售某货物件，为了保证供应，要有计划地

7、进货。若销售量是均匀的(即平均库存为进货量的一半)，每批进货量相同；已知每件货物每月贮存费为元，每批进货手续费为元，求全年总费用与每批进货量之间的函数关系。并求每批进货量为多少时，全年总费用最省？解：由题意得 ，全年进货批数为，进货手续费，库存费 。全年总费用 ( E ) （常数） ，即 (取正值)时，最小， 如：某商店每年销售某种零件48000件，为了保证供应，要有计划地进货，假若销售是均匀的，每批进货量相同，已知每个零件每月贮存费用0.02元，每批进货手续费160元，求全年总费用与每批进货量之间的函数关系，并求每批进货为多少时，全年总费用最小。 解：此时 ， ， ，当 ， 每批进货8000

8、(件)时，全年总费用最小，此时元。食盐是国家专营的关系到国计民生的商品，确定存储量对提高盐业运销企业的经济效益，缩短食盐流通时间和货币流通的正常进行，意义重大。如何确定合理的食盐储存数量，主要通过对进货数量、进货费用以及储存费用三者关系作定量的分析建立经济数学模型以计算出最为合理、费用最省的进货量和批数。经常采用的批量法，它从企业进货投入尽可能低的费用和储存费用出发，确定两次费用之和最低的情况下使总成本最低的进货批量。使用这种方法是以保证食盐销售为前提的控制进货量的有效方法。食盐的管理费用主要是进货费用和储存费用。其中进货费用指进货时发生的运杂费，包括运输费、进货人员的差旅费和办公费用等。储存

9、费用包括仓库折旧费、储存中的损耗、库存食盐的财产保险费以及因储存食盐占用资金所发生的资金占用费等。在进货总量的费用价格水平基本确定的情况下，进货批量与进货费用、储存费用的关系是：进货较多会导致较高的储存量和储存费用。但可以减少进货次数和进货费用。相反，较小的进货数量会降低储存费用和储存量，但就要有较多的进货次数和费用。设：N 为年销售量(或年需求量) P 每一次进货的费用 M 吨盐的年储存费用 Q 合理的采购批 一年的进货总费用一年的储存总费用 一年的管理费用总和则 ， 公式中 N 、M 、Q 为常量，Y和Q为变量，要求一年的流通费用Y为最小值时的批量Q，须对公式中的变量Q进行拆分，并令公式等

10、于0从而求得 (取正值)例如某盐业公司计划年销售食盐4.1万吨，吨储存费用为160元，每次进货费用为102400元，依此可求得其进货批量(吨)同时可相应地计算出下列相关数据：合理储存量(吨)最佳进货次数(次)最佳进货间隔天数(天)总费用最小值 (万元)所以进货批量为7244吨时，食盐的年管理费用总额115.90万元为最低，这时最合理的食盐储存量为3622吨。3 油田开发在市场经济中，如何才能实现产出与投入的最大比呢？这是采矿工作者一直为之探索的问题在石油开采方面，如何合理地布署井网显得更重要。油田开发最佳井数必须得保证合理的单井控制面积。这里采用谢尔卡乔夫建立的反映油田的地质条件和流体性质影响

11、的单井控制面积和采油关系式 (1 ) 在(1)式中为采油量() ， 为油藏苦恼储存量() ，为驱替系数，无因次；为井网效率系数，反映油田地质特点对单井控制面积与采油量关系影响的程度，井/；为单井控制面积(井)。其中，和可以通过室内实验室数值模拟或采用相类似的已开发油田资料回归分析确定。若已知油田面积并确定单井控制面积，则油田开发井数为 ( 2 ) 上式中，n 为油田开发的井数；A为油田面积()；同于(2 )式。油田总投资费用方程式为： ( 3 )上式中E为油田总的投资费用(万元)；为折合到单井上的油田总投资费(万元)；其余符号同于( 2 )式。根据最佳井数必须满足获得的采油量最大和油田总资费用

12、最小两个目标，因此确定目标函数为： 油田总采油量 油田总投资费用 考虑到井数所受的限制：井数最低不能少于一口井；井数最多不能突破油田总投资费用。将上述多目标函数最优化问题，表示为下面的多目标数学规划模型 ( 4 )为对( 4 )式求解，构造一个被称为评价函数的新目标函数，将多目标函数转化为单目标函数，求其最优解作为原问题( 4 )的最优解。构造评价函数方法较多，本文采用乘除法来建立评价函数。方程( 4) 为两个目标的数学规划问题，两个目标归结起来是求油田开发最佳经济效益，即用最小的油田总投资费用，获得最大的采油量，也就是单位油田总投资费用的总产油量最大。因此，把求最大的目标作为分子，求最小的目

13、标为分母，构造评价函数 ( 5 )把双目标函数转化为单目标函数，然后求（6）经过这样处理，便可以将多目标数学规划问题（ 4 ）转化为如下单目标规划问题 （ 7 ）用Lagrange乘子法求最优解，方程（ 7 ）为不等式约束问题，引入松弛变量，使不等式约束变为等式约束。由于所以可以改写为 （ 8 ）方程（ 8 ）为等式最优化问题，可用Lagrange乘子法求解。引入Lagrange乘子,得到Lagrange函数 ( 9 )求函数的平稳点，即解方程组 i=1, ,n : j=1, ,m : k=1, ,k (10)就可以得到原问题的最优解。实例：某油田石油储量,油田面积,折算到单井上的油田总投资费

14、用 ,油田约束总投资费用额， 求油田开发最佳井数。通过对方程（1 0 ）的求解，得 ； ； （11 ） 分别将已知数据代入方程（ 11 ），就可以得到各值，再将值代入方程（ 2 ）和方程（ 5 ），就可以求得井数和相应的评价函数值，其结果如下： ， ； ， ；， ；分析上述结果可知，为，因此，本例油田开发最佳井数为22口。4 利率对经济的调控作用利率是受国家调控，影响资本市场供求关系折关键变量，设为r，国家一年内可利用的资金总量假定为常数，记为M，第i个单位生产第j种产品年资金需要量设为，i=1,2,m; j=1,2, ,n,则计划模型变为 （） i=1,2, ,m; j=1,2, m在上模型

15、（ 3 ）式表示各单位年资金需求总量不超过M。考虑市场模型，设第i个单位税后利润为，由于利率r代表了单位借贷资本的成本参见【1】故有 （ 4 ）式中的它表示第i个单位生产第j种产品税前和还贷前总利润。由于每个单位都追求利润最大，故其决策模型为假定第i单位在，r 已知下作决策，则系数可视为常数。记是中最大者。引入虚拟变量可得典式如下由于故由线性规划的单纯形算法可知典式对应的基解，是最优解（参见【2】），最优值为，即各单位选择税后和还贷后利润最大的产品进行生产，于是有 () （5）（ 1 ）式两边同乘以，然后对i求和得： （ 6 ）（ 2 ）式两边同乘以，然后对j 求和得： （ 7 ） （ 3 ）

16、式两边同乘以r，即得： （ 8 ）（ 5 ）式两边同乘以，然后对i,j 求和得： （ 9 ）对（6）+（7）+（8）与（9）联立得： （ 10 ）分别以（ 10 ）式左右两端为目标函数，（）、（）为约束条件可得两个互为对偶线性规划（） （ ）（） （）显然（）有可行解，如（）有可行解则（）一定有可行解，根据对偶理论，知（）、（）有最优解且其最优值相等（参见【2】），这说明适当调整税率和利率可以实现国家计划和企业行为的一致，一般通过求解规划（）能找到最优增长的税率和利率。结论通过对日常消费、库存费用、油田开发，以及国家利用利率对经济的宏观调控等方面的具体分析和理论上的探讨，我们可以清晰的看出数学在经济深入生活中起着越来越重要