简谐振动的叠加（课堂PPT）

1、.1 例例2 已知某简谐振动的振动曲线如图所示，试写已知某简谐振动的振动曲线如图所示，试写出该振动的位移与时间的关系。出该振动的位移与时间的关系。 P 2.0-2.0 x/cmt/s-4.0 4.01O解解 由图知由图知 A = 4.0102 m 当当t =0 时，时， 0,2=00vAx由式由式 x0 = A cos v0 = A sin 解得解得 3)3(cos100 . 42tx所以所以 m 又由曲线知又由曲线知 当当 t =1s 时时, ,x =0, ,代入上式得代入上式得 04 01032.cos()m .2所以所以 11srad2srad3因因 0即即()2356rad srad

2、s-1-1简谐振动的表达式为简谐振动的表达式为m)3rad65(cos100 . 412stx四、四、简谐振动的能量简谐振动的能量以弹簧振子为例以弹簧振子为例x = A cos ( t+) v = A sin ( t+) EmvmAtk12122222sin ()Ek xkAtp1212222cos () 由上两式可见，弹簧振子的动能和势能都随时间作周期性由上两式可见，弹簧振子的动能和势能都随时间作周期性变化。当位移最大时，速度为零，动能也为零，而势能达到变化。当位移最大时，速度为零，动能也为零，而势能达到最大值；当在平衡位置时，势能为零，而速度为最大值，所最大值；当在平衡位置时，势能为零，而

3、速度为最大值，所以动能也达到最大值。以动能也达到最大值。 .3EEEmAtkAtkp121222222sin ()cos ()总能量总能量因为因为2 km/EmAkA1212222所以所以 尽管在振动中弹簧振子的动能和势能都在随时间作周期性尽管在振动中弹簧振子的动能和势能都在随时间作周期性变化变化, , 但总能量是恒定不变的，并与振幅的平方成正比。但总能量是恒定不变的，并与振幅的平方成正比。 由公式由公式 Emvk xkA121212222得得 vkmAxAx ()2222 此式表明，此式表明，在平衡位置处，在平衡位置处，x = 0, = 0, 速度为最大；速度为最大；在最大位移处，在最大位移

4、处，x = A, , 速度为零速度为零。 .4 例例3 长为长为l 的无弹性细线，一端固定在的无弹性细线，一端固定在A点，另一端悬挂质点，另一端悬挂质量为量为m的物体。静止时，细线沿竖直方向，物体处于点的物体。静止时，细线沿竖直方向，物体处于点O，是，是系统的平衡位置。若将物体移离平衡位置，与竖直方向夹一系统的平衡位置。若将物体移离平衡位置，与竖直方向夹一小角度小角度 ，由静止释放，由静止释放, 物体就在平衡位置附近往返摆动物体就在平衡位置附近往返摆动, 称称为为单摆单摆。证明。证明单摆的振动是简谐振动单摆的振动是简谐振动，并分析其能量。，并分析其能量。 hOAmgsinmgcosgmF解解

5、物体受物体受 和和 两个力作用两个力作用 gmF根据牛顿第二定律得根据牛顿第二定律得mltmgdd22 sin当偏角当偏角 很小时很小时， sin 所以所以 mltmgdd22 .5即即 dd2220 t其中其中2gl解微分方程得解微分方程得 = 0 cos ( t+) 说明了在偏角说明了在偏角很小时很小时, 单摆的振动是简谐振动。单摆的振动是简谐振动。 单摆系统的机械能包括两部分：单摆系统的机械能包括两部分： )(sin21)(21212220222ktmllmmvE动能动能 势能势能 Ep = m g h = m g l (1cos ) 将将cos 展开展开 cos! 1246246因为因

6、为 很小，上式只取前两项，很小，上式只取前两项， .6所以所以 Emglmgltp12122022cos ()因为因为 2gl所以所以 Emglml1212022202 上式表示上式表示, , 尽管在简谐振动过程中，单摆系统的尽管在简谐振动过程中，单摆系统的动能和势能都随时间作周期性变化，但总能量是恒动能和势能都随时间作周期性变化，但总能量是恒定不变的，并与振幅的平方成正比。定不变的，并与振幅的平方成正比。 总能量总能量 pkEEE)(cos)(sintl gmtlmE220222022121)2A1A21xyOx2x17-2 简谐振动的叠加简谐振动的叠加一、一、同一直线上两个同频率简谐振动的

7、合成同一直线上两个同频率简谐振动的合成设有两个同频率的谐振动设有两个同频率的谐振动)cos(111tAx)cos(222tAx合振动合振动)cos()cos(221121tAtAxxx由矢量图得由矢量图得)cos(tAx（仍为同频率谐振动）（仍为同频率谐振动）x)A而而)cos(212212221AAAAAarctanAAAA11221122sinsincoscos讨论讨论：1., 2 , 1 , 0212kk2., 2 , 1 , 0) 12(12kk合振幅减小，合振幅减小，振动减弱振动减弱21AAA 合振幅最大，合振幅最大，振动加强振动加强21AAA123. 一般情况下一般情况下 为任意值

8、为任意值2121AAAAA2AA1A2AA1A2AA1AA2A1A2AxyO二、二、同一直线上两个频率相近的简谐振动的合成同一直线上两个频率相近的简谐振动的合成两谐振动分别为两谐振动分别为)cos(1111tAx)cos(2222tAx合振动合振动)cos()cos(22211121tAtAxxx合振动不再是谐振动，合振动不再是谐振动，而是一种复杂振动而是一种复杂振动矢量图解法矢量图解法（如图）（如图）A1A2A121AA2A21由矢量图得合振动的振幅为由矢量图得合振动的振幅为AAAA At12221221212cos()() 由上式可见，由上式可见，由于两个分振动频率的微小差异由于两个分振动

9、频率的微小差异 而产生的合振动振幅时强时弱的现象称为拍现象而产生的合振动振幅时强时弱的现象称为拍现象。 合振动在合振动在1s内加强或减弱的次数称为内加强或减弱的次数称为拍频拍频。拍频为拍频为12三角函数法三角函数法设两个简谐振动的振幅和初相位相同设两个简谐振动的振幅和初相位相同合振动为合振动为)2cos()2cos(2)cos()cos(12122121ttAtAtAxxx)cos(11tAx)cos(22tAx拍频的振幅为拍频的振幅为)cos(tA2212振幅的周期为振幅的周期为12122)2(T拍频为拍频为122121T拍的振动曲线如右图拍的振动曲线如右图三、三、两个互相垂直的简谐振动的合

10、成两个互相垂直的简谐振动的合成两简谐振动为两简谐振动为)cos(tAx（1）)cos(tBy（2）以以cos 乘以乘以(3)式，式，cos 乘以乘以(4)式，再两式相减得式，再两式相减得 改写为改写为sinsincoscosttAxsinsincoscosttBy（3）（4）)sin(sincoscostByAx（5）)(sin)cos(222222ABxyByAx以以sin 乘以乘以(3)式，式，sin 乘以乘以(4)式后两式相减得式后两式相减得 (5)式、式、(6)式分别平方后相加得合振动的轨迹方程式分别平方后相加得合振动的轨迹方程 )sin(cossinsintByAx（6） 此式表明，

11、此式表明，两个互相垂直的、频率相同的简谐两个互相垂直的、频率相同的简谐振动合成，其合振动的轨迹为一椭圆，而椭圆的振动合成，其合振动的轨迹为一椭圆，而椭圆的形状决定于分振动的相位差（形状决定于分振动的相位差（）。）。 xAo-A-BBaby讨论：讨论： 1. 0 或或 时时02)(ByAx即即xABy合振动的轨迹是通过坐标原点合振动的轨迹是通过坐标原点的直线，如图所示。的直线，如图所示。 0 时，时，相位相同，取正号，斜率为相位相同，取正号，斜率为B/A； 时，时，相位相反，取负号，斜率为相位相反，取负号，斜率为-B/A。 合振动的振幅合振动的振幅 22BAC2. 当当 2时时xAyB22221

12、 合振动的轨迹是以坐标轴为合振动的轨迹是以坐标轴为主轴的正椭圆，如右图所示。主轴的正椭圆，如右图所示。 = /2 时，时，合振动沿顺时针方向进行；合振动沿顺时针方向进行； = /2 时，时，合振动沿逆时针方向进行。合振动沿逆时针方向进行。 若若A=B，椭圆变为正圆，如右图所示。，椭圆变为正圆，如右图所示。xABOy-A-BxAA-A-AyO3. 如果如果()不为上述数不为上述数值，那么合振动的轨迹值，那么合振动的轨迹为处于边长分别为为处于边长分别为2A(x方向方向) )和和2B(y方向方向)的矩的矩形范围内的任意确定的形范围内的任意确定的椭圆。椭圆。 两个分振动的频率相差两个分振动的频率相差较

13、大，但有简单的整数比较大，但有简单的整数比关系，这样的合振动曲线关系，这样的合振动曲线称为称为利萨如图形利萨如图形。 不同频率的垂直振动运动的合成。不同频率的垂直振动运动的合成。.167-3 阻尼振动、受迫振动和共振阻尼振动、受迫振动和共振一、阻尼振动一、阻尼振动(damped vibration)振幅随时间减小的振动称为振幅随时间减小的振动称为阻尼振动阻尼振动。以物体受流体阻力作用下的振动为例：以物体受流体阻力作用下的振动为例：阻力为阻力为物体的振动方程物体的振动方程txvFdd0dddd22xktxtxm令令 则有则有,mmk220dddd220220 xtxtx 式中式中0称为振动系统的

14、称为振动系统的固有角频率固有角频率，称为称为阻阻尼常量尼常量。.17讨论：讨论：1. 当当 2 02 时时，阻尼较小，阻尼较小 ，上式，上式的解为的解为 )(costAxte0其中其中 220振动曲线如图，是一种振动曲线如图，是一种准周期性运动准周期性运动。 2. 当当 2 02 时时， 阻尼较大，即阻尼较大，即过阻尼过阻尼，不再是周期性运动，如图。不再是周期性运动，如图。3. 当当 2 02时，处于时，处于临界阻尼状态临界阻尼状态，如图。，如图。周期为周期为22022Tt欠阻尼欠阻尼)(txOt过阻尼过阻尼)(txOt临界阻尼临界阻尼)(txO.18二、受迫振动二、受迫振动(forced v

15、ibration)在周期性外力作用下发生的振动，称为在周期性外力作用下发生的振动，称为受迫振动受迫振动。引起受迫振动的周期性外力称为引起受迫振动的周期性外力称为驱动力驱动力。设驱动力为设驱动力为 F cos t，则振动方程，则振动方程 tFxktxtxmcosdddd22此式表示此式表示, 受迫振动是由阻尼振动受迫振动是由阻尼振动 和简谐振动和简谐振动 两项叠加而成的。两项叠加而成的。 )(costAte0)cos(tA或或thxtxtxcos2022dd2dd(1)其解其解)(cos)(costAtAxte0(2).19可见，可见，稳定状态的受迫振动是一个与简谐驱动力稳定状态的受迫振动是一个

16、与简谐驱动力同频率的振动同频率的振动。 将将(3)式代入式代入(1)得得thtAtAcos)sin()cos()(2220由此得由此得将将cos ( t ) 和和 sin ( t ) 展开，则展开，则 thtAAtAAcossincos2sin)(+cossin2cos)(220220hAAsin2cos)(220(4)受迫振动达到稳定状态时受迫振动达到稳定状态时)cos(tAx(3)0cos2sin)(220AA(5).20由由(6)式求得式求得22222042)(sin2222202204)(cos 由式由式(6)和式和式(7)看出，看出，受迫振动的初相位受迫振动的初相位和振和振幅幅A不仅与振动系统自身的性质有关，而且与驱动不仅与振动系统自身的性质有关，而且与驱动力的频率和幅度有关。力的频率和幅度有关。 将上两式代入将上两式代入(4)式得式得2222204)(hA(7)由由(4)式求得式求得2202tanarc(6).21三、共振三、共振(resonance)