202X版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.1导数的概念及导数的运算课件

1、第三章导数及其应用3.1导数的概念及导数的运算高考数学高考数学 (江苏省专用)(2019江苏,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是 .五年高考A A组组 自主命题自主命题江苏卷题组江苏卷题组答案答案(e,1)解析解析本题考查利用导数求曲线的切线方程,考查学生的运算求解能力,考查的核心素养为数学运算.设A(x0,y0),由y=,得k=,所以在点A处的切线方程为y-ln x0=(x-x0).因为切线经过点(-e,-1),所以-1-ln x0=(-e-x0).所以ln x0=,令g(x)=ln

2、 x-(x0),则g(x)=+,则g(x)0,g(x)在(0,+)上为增函数.又g(e)=0,ln x=有唯一解x=e.x0=e.点A的坐标为(e,1).1x01x01x01x0exex1x2exex方法总结方法总结求曲线y=f(x)过点(x1,y1)的切线问题的一般步骤:设切点为(x0, f(x0);求k=f (x0);得出切线的方程为y-f(x0)=f (x0)(x-x0);由切线经过已知点(x1,y1)求得x0,进而得出切线方程.B B组统一命题、省组统一命题、省( (区、市区、市) )卷题组卷题组考点一导数的概念及几何意义考点一导数的概念及几何意义1.(2019课标全国文改编,10,5

3、分)曲线y=2sin x+cos x在点(,-1)处的切线方程为 .答案答案2x+y-2+1=0解析解析本题主要考查导数的几何意义,通过切线方程的求解考查学生的运算求解能力,渗透的核心素养是数学运算.由题意可知y=2cos x-sin x,则y|x=-2.所以曲线y=2sin x+cos x在点(,-1)处的切线方程为y+1=-2(x-),即2x+y+1-2=0.2.(2019课标全国理改编,6,5分)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则a= ,b= .答案答案 e-1;-1解析解析本题考查导数的几何意义,常见函数的导数,导数的运算法则,通过对常见函数的

4、导数的求解考查学生对公式的运用能力.考查了数学运算的核心素养.y=aex+ln x+1,y|x=1=ae+1,2=ae+1,a=e-1.切点为(1,1),将(1,1)代入y=2x+b,得1=2+b,b=-1.解题关键解题关键正确理解导数的几何意义是解决本题的关键.3.(2019天津文,11,5分)曲线y=cos x-在点(0,1)处的切线方程为 .2x答案答案 x+2y-2=0解析解析本题通过求曲线在某点处的切线,考查学生对基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、导数的几何意义的理解和掌握程度.y=cos x-,y=-sin x-,y|x=0=-,即曲线在(0,1)处的切线斜率为-,切线方程为

5、y-1=-(x-0),即x+2y-2=0.2x12121212方法总结方法总结 求曲线在某点处(注意:该点必为切点)切线的方法:求导函数;把该点横坐标代入,求出该点处导数值,即为切线的斜率;用点斜式写出切线方程.4.(2019课标全国理,13,5分)曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为 .答案答案 y=3x解析解析本题考查导数的几何意义;考查学生的运算求解能力;考查的核心素养是数学运算.y=3(x2+3x+1)ex,曲线在点(0,0)处的切线斜率k=y|x=0=3,曲线在点(0,0)处的切线方程为y=3x.解题关键解题关键掌握导数的运算法则与导数的几何意义是求解的关键.5.(

6、2018课标全国文改编,6,5分)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为 .答案答案 y=x解析解析本题主要考查函数的奇偶性及导数的几何意义.f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,a-1=0,得a=1,f(x)=x3+x,f (x)=3x2+1,f (0)=1,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.解后反思解后反思求曲线的切线方程需注意的几个问题:(1)首先应判断所给点是不是切点,如果不是,需要设出切点坐标.(2)切点既在原函数的图象上,也在切线上,可将切点坐标代入解析式,从而建立方程(组).(3)

7、在切点处的导数值是切线的斜率,这是求切线方程至关重要的条件.6.(2018课标全国理,13,5分)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 .答案答案 y=2x解析解析本题主要考查导数的几何意义.因为y=,所以y|x=0=2,又(0,0)为切点,所以曲线在点(0,0)处的切线方程为y=2x.21x 7.(2018课标全国理,14,5分)曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a= .答案答案-3解析解析本题考查导数的综合应用.设f(x)=(ax+1)ex,则f (x)=(ax+a+1)ex,所以曲线在点(0,1)处的切线的斜率k=f (0)=a+1=-2,解得

8、a=-3.8.(2017天津文,10,5分)已知aR,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1, f(1)处的切线为l,则l在y轴上的截距为 .答案答案1解析解析本题主要考查导数的几何意义以及直线方程与截距.由题意可知f (x)=a-,所以f (1)=a-1,因为f(1)=a,所以切点坐标为(1,a),所以切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1),即y=(a-1)x+1.令x=0,得y=1,即直线l在y轴上的截距为1.1x易错警示易错警示不能正确求解函数的导数,而导致不能正确求解切线l的斜率.9.(2017课标全国文,14,5分)曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为 .1x答案答案

9、 x-y+1=0解析解析本题考查导数的几何意义.y=x2+,y=2x-,y|x=1=2-1=1,所求切线方程为y-2=x-1,即x-y+1=0.1x21x10.(2016课标全国理,15,5分)已知f(x)为偶函数,当x0,则-x0),则f (x)=-3(x0),f (1)=-2,在点(1,-3)处的切线方程为y+3=-2(x-1),即y=-2x-1.1x思路分析思路分析根据函数f(x)是偶函数,求出x0时函数f(x)的解析式,根据导数的几何意义,用点斜式求出切线方程.评析评析本题主要考查函数的奇偶性及导数的几何意义,求出x0时f(x)的解析式是解题关键.11.(2016课标全国,16,5分)

10、若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= .答案答案1-ln 2解析解析直线y=kx+b与曲线y=ln x+2,y=ln(x+1)均相切,设切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),由y=ln x+2得y=,由y=ln(x+1)得y=,k=,x1=,x2=-1,y1=-ln k+2,y2=-ln k.即A,B,A、B在直线y=kx+b上, 1x11x 11x211x 1k1k1, ln2kk11, lnkk12ln,1ln1kkbkkkbk1ln2,2.bk 思路分析思路分析先设切点,找出切点坐标与切线斜率的关系,并将切点坐标用斜率表示出来,

11、利用切点在切线上列方程组,进而求解.12.(2016课标全国文,16,5分)已知f(x)为偶函数,当x0时, f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是 .答案答案 y=2x解析解析当x0时,-x0),又点(1,2)在曲线y=f(x)上,且易知f (1)=2,故曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是y-2=f (1)(x-1),即y=2x.13.(2015陕西,15,5分)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为 .1x答案答案(1,1)解析解析函数y=ex的导函数为y=ex,曲线y=ex在点(0,1)处的切线的

12、斜率k1=e0=1.设P(x0,y0)(x00),函数y=的导函数为y=-,曲线y=(x0)在点P处的切线的斜率k2=-,由题意知k1k2=-1,即1=-1,解得=1,又x00,x0=1.又点P在曲线y=(x0)上,y0=1,故点P的坐标为(1,1).1x21x1x201x201x20 x1x14.(2019课标全国理,20,12分)已知函数f(x)=ln x-.(1)讨论f(x)的单调性,并证明f(x)有且仅有两个零点;(2)设x0是f(x)的一个零点,证明曲线y=ln x在点A(x0,ln x0)处的切线也是曲线y=ex的切线.11xx解析解析本题考查利用导数判断函数的单调性,求函数零点以

13、及导数的几何意义.考查学生分析、解决问题的能力,考查逻辑推理能力和运算求解能力,体现了逻辑推理和数学运算的核心素养.(1)f(x)的定义域为(0,1)(1,+).因为f (x)=+0,所以f(x)在(0,1),(1,+)单调递增.因为f(e)=1-0,所以f(x)在(1,+)有唯一零点x1,即f(x1)=0.又00)的图象上的动点,该图象在点P处的切线l交y轴于点M.过点P作l的垂线交y轴于点N.设线段MN的中点的纵坐标为t,则t的最大值是 .答案答案 + e212e解析解析设P(x0,)(x00), f (x)=(ex)=ex,点P处的切线l,其斜率为f (x0)=,过点P作l的垂线l,其斜

14、率为-.直线l的方程为y-=(x-x0),令x=0,得yM=-x0.直线l的方程为y-=-(x-x0),令x=0,得yN=+.由题意t=.令t=g(x0)=,g(x0)=0ex0ex01ex0ex0ex0ex0ex0ex01ex0ex00exx000000eeee2xxxxxx000002eee2xxxxx000002eee2xxxxx000000002ee2e(ee )e2xxxxxxxx=.x00时,+0,当x00,函数g(x0)为增函数.当x01时, g (x0)0时t取最大值.tmax=g(1)=+.0001(1) ee2xxx0ex01ex1ee2e212e评析评析本题考查导数的几何

15、意义、直线方程、导数的应用等相关知识,知识点较多,难度偏大,考查学生的运算求解能力、分析问题、解决问题的综合能力.三年模拟A A组组 20172019 20172019年高考模拟年高考模拟考点基础题组考点基础题组考点一导数的概念及几何意义考点一导数的概念及几何意义1.(2019盐城期中,7)在平面直角坐标系中,曲线y=ex+2x+1在x=0处的切线方程是 .答案答案 y=3x+2解析解析 y=ex+2,则k=3,切点为(0,2),故切线方程为y-2=3x,即y=3x+2.评析评析本题考查导数的几何意义,是容易题.2.(2019如皋期中,6)设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1, f(1

16、)处的切线斜率为2,则实数a的值为 .答案答案3解析解析函数f(x)=ax-ln x,则f (x)=a-,所以切线的斜率为k=f (1)=a-1=2,解得a=3.1x3.(2019海安高级中学期中,10)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线C:y=ex上一点,直线l:x+2y+c=0经过点P,且与曲线C在点P处的切线垂直,则实数c的值为 .答案答案-4-ln 2解析解析 y=ex的导数为y=ex,由题意知所求切线的斜率为2,设切点P的坐标为(x0,y0),则=2,所以x0=ln 2,y0=eln 2=2.因为直线x+2y+c=0经过点P(ln 2,2),所以c=-4-ln 2.0ex解题关键解题

17、关键本题考查曲线的切线问题,设切点,利用条件求出切点坐标是解题关键.4.(2019常州期末,10)若直线kx-y-k=0与曲线y=ex(e是自然对数的底数)相切,则实数k= .答案答案 e2 解析解析根据直线kx-y-k=0与曲线y=ex相切,设切点坐标为(m,em).对于y=ex,其导数为y=ex,则切线的斜率k=em,则切线方程为y-em=em(x-m),又k=em,则切线方程为y-k=k(x-m),即kx-y-mk+k=0,又因为切线方程为kx-y-k=0,所以-m+1=-1,解得m=2,则k=em=e2.5.(2019南京六校联合体联考,8)设直线l是曲线y=2x2+ln x的切线,则

18、直线l的斜率的最小值是 .答案答案4解析解析 y=2x2+ln x的定义域为(0,+),y=4x+2=4,当且仅当x=时取等号.直线l的斜率的最小值是4.1x14xx126.(2019无锡期末,12)已知直线y=a(x+2)(a0)与函数y=|cos x|的图象恰有四个公共点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),其中x1x2x30)经过定点(-2,0),若满足条件,则直线与曲线相切在内,得到x4满足的条件.,27.(2018南京、盐城二模,11)在平面直角坐标系xOy中,曲线y=(m0)在x=1处的切线为l,则点(2,-1)到直线l的距离的最大值为 .1mx

19、答案答案 2解析解析把x=1代入y=得y=,则切线l过点.求导得y=-,切线的斜率k=y|x=1=-.切线l的方程为y-=-(x-1),即mx+4y-3m=0.点(2,-1)到直线l的距离d=,m0,d=.当且仅当m=,即m=4时取“=”,故所求最大值为.1mx 2m1,2m2(1)mx4m2m4m22|243|4mmm2| 4|16mm 2416mm22(4)16mm2281616mmm28116mm8116mm81162 mm216m28.(2019苏州期初,20)若对任意的实数k,b,函数y=f(x)+kx+b与直线y=kx+b总相切,则称函数f(x)为“恒切函数”.(1)判断函数f(x

20、)=x2是不是“恒切函数”;(2)若函数f(x)=mln x+nx(m0)是“恒切函数”,求实数m,n满足的关系式;(3)若函数f(x)=(ex-x-1)ex+m是“恒切函数”,求证:-m0.14解析解析(1)函数f(x)=x2为“恒切函数”.设切点为(x0,y0).则(2分)对于函数f(x)=x2, f (x)=2x.设切点为(x0,y0),(3分)解得x0=0.f(x)=x2是“恒切函数”.(4分)(2)若函数f(x)=mln x+nx(m0)是“恒切函数”,设切点为(x0,y0),f (x)=+n,(5分)解得ln x0=1,即x0=e.(7分)实数m,n满足的关系式为m+ne=0.(8

21、分)(3)证明:函数f(x)=(ex-x-1)ex+m是“恒切函数”,设切点为(x0,y0).f (x)=(2ex-x-2)ex,0000(), (),f xkxbkxbfxkk00()0, ()0.f xfx2000,20,xxmx000ln0,0,mxnxmnx000000(e1)e0,(2e2)e0,xxxxxmx(10分)求方程2ex=x+2的解,设g(x)=2ex-x-2.g(x)=2ex-1,令g(x)=0,解得x=-ln 2.当x(-,-ln 2)时,g(x)0,g(x)单调递增.g(x)min=g(-ln 2)=ln 2-10,g(-1)=-10,g(x)=2ex-x-2在(-

22、,-ln 2)上有唯一零点x0(-2,-1).又m=-(-x0-1)=x0(x0+2),m.(14分)当x(-ln 2,+)时,g(0)=0,g(x)=2ex-x-2在(-ln 2,+)上有唯一零点0,m=0.(15分)综上可知,-1,切线方程为y=kx-km+n.联立得整理得x2+kx-km+n-1=0,=k2+4km-4n+4=0|k1-k2|=4,k1k2=-4n+4.切线与x轴交点为S=n2=.显然S.设t=,t0,则n2=(t2+1)2.令f(x)=x3+x+,x0.f (x)=,易知,当x时, f (x)0, f(x)单调递增,故f(x)在x=处取极小值,即最小值, f(x)min

23、=f=.故Smin=.21,yxykxkmn 21mn,0nmk12121 2kkk k122211nmnn1221nn1n22(1)2xx1212x222(31)(1)2xxx30,33,333338 398 39一题多解一题多解不妨设P,Q分别在y轴的左、右两侧,P(-x1,1-),Q(x2,1-)(x1,x20).过点P的切线方程为l1:y=2x1x+1,过点Q的切线方程为l2:y=-2x2x+1,则l1,l2的交点的纵坐标为1+x1x2.l1,l2与x轴交点的横坐标的差的绝对值为=.于是过P,Q两点的切线与x轴围成的三角形面积S=.易知当x1=,x2=时,即P,Q时取等号.所以过P,Q

24、两点的切线与x轴围成的三角形面积的最小值为.21x22x21x22x1222121211xxxx121212(1)()x xxxx x142121212(1) ()x xxxx x212121113332x xx x24121214272x xx x8 3933333 2,333 2,338 394.(2018苏州期末,14)已知直线y=a分别与直线y=2x-2,曲线y=2ex+x交于点A,B,则线段AB长度的最小值为 .答案答案 3ln22解析解析 作曲线y=2ex+x的切线,使切线与直线y=2x-2平行,设切点为M(x0,2+x0),易得y=2ex+1,则切线的斜率k=2+1=2x0=ln

25、,故M,故切线方程为y=2x+1+ln 2,切线与x轴的交点坐标为.已知直线y=2x-2与x轴的交点坐标为(1,0),故AB长的最小值为1-=.0ex0ex1211ln,1 ln221ln2,021ln223ln22思路点拨思路点拨要使得AB长度最小,只需研究曲线y=2ex+x平行于y=2x-2的切线与直线y=2x-2的距离即可.5.(2018如皋期中,14)若不等式2ex-nx+150在R上恒成立,则正整数n的最大值是 .答案答案14解析解析不等式2ex-nx+150在R上恒成立等价于y=2ex的图象恒在直线y=nx-15上方,直线y=nx-15与y=2ex的图象相切时斜率n最大,设切点的横

26、坐标为x0,由y=2ex得y=2ex,则n=2,故切线方程为y-2=2(x-x0).易知直线y=nx-15恒过点(0,-15),将点(0,-15)代入切线方程可得2(x0-1)-15=0.令g(x)=2ex(x-1)-15,易知g(x)在(1,+)上单调递增,易求得g(2)0,故x0(2,3),故n=2(2e2,2e3),因为y=2ex的图象恒在直线y=nx-15上方,所以n=22e2,而2e2(14,15),所以正整数n的最大值是14.0ex0ex0ex0ex0ex0ex评析评析本题主要考查利用导数求切线方程,数形结合思想的应用以及不等式恒成立问题,属于难题.6.(2018苏北四市开学考试,

27、14)已知a,b,c,dR且满足=1,则(a-c)2+(b-d)2的最小值为 .3lnaab32dc答案答案 (2-ln 3)2 95解析解析由=1可知点(a,b)在曲线y=x+3ln x上,由=1可知点(c,d)在直线y=2x+3上,作曲线y=x+3ln x与直线y=2x+3平行的切线,设切点为P(x0,x0+3ln x0),y=1+,则y=1+=2,所以x0=3,故切点为P(3,3+3ln 3).的最小值为P到直线y=2x+3的距离,即=,则(a-c)2+(b-d)2的最小值为.3lnaab32dc3x0|x x03x22()()acbd|633ln33|5 3(2ln3)529(2ln3

28、)5思路点拨思路点拨由(a-c)2+(b-d)2联想到两点间距离的平方,这样由=1得到直线与曲线,从而求直线上的点与曲线上的点的最小距离,从而找到解题思路.3lnaab32dc7.(2017徐州月考,14)已知点P在曲线C:y=aex上,记曲线C在点P处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S,若使得S=a2的点P有三个,则实数a的取值范围是 .答案答案 2,0e20,e解析解析设P(x0,a),则y=a,故曲线在点P处的切线方程为y-a=a(x-x0),令x=0,可得y=a(1-x0),令y=0,可得x=-1+x0,由题意得|a(1-x0)|-1+x0|=a2,即(x0-1)2=2|a|.令f(

29、x)=ex(x-1)2,则f (x)=ex(x+1)(x-1),可知函数f(x)在(-,-1),(1,+)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,故f(1)2|a|f(-1),即02|a|-时,0,此时3x2-2tx-p=0存在两个不同的解x1,x2.(8分)易知这两条切线方程分别为y=(3-2tx1)x-2+t+1和y=(3-2tx2)x-2+t+1.若两切线重合,则-2+t+1=-2+t+1,即2(+x1x2+)=t(x1+x2),即2(x1+x2)2-x1x2=t(x1+x2).而x1+x2=,则x1x2=,此时(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=-=0,2323233223t

30、21x31x21x22x32x22x31x21x32x22x21x22x23t29t249t249t与x1x2矛盾,所以,这两条切线不重合.综上,对任意实数t,函数f(x)的图象总存在两条切线相互平行.(10分)(3)当t=3时, f(x)=x3-3x2+1, f (x)=3x2-6x.由(2)知x1+x2=2时,两切线平行.设A(x1,-3+1),B(x2,-3+1),不妨设x1x2,则x11.过点A的切线方程为y=(3-6x1)x-2+3+1.(11分)所以,两条平行线间的距离d=4,(10分)化简得(x1-1)6=1+9(x1-1)2-12,(13分)令(x1-1)2=(0),则3-1=9(-1)2,即(-1)(2+1)=9(-1)2,即(-1)(2-8+10)=0.31x21x32x22x21x31x21x332221212211|223()|1 9(2 )xxxxxx2211212122211|()2()23()|1 9(2 )xxxxx xxxxx显然=1为一解,2-8+10=0有两个异于1的正根,所以这样的值有3个.因为x1-10,所以x1值有3个,所以满足此条件的平行切线共