202X版高考数学总复习第八章立体几何初步第5节垂直关系课件文北师大版

1、第第5节垂直节垂直关系关系最新考纲1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.知 识 梳 理1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的_一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直.任何(2)判定定理与性质定理lalbab平行ab如果一条直线和一个平面内的两条_直线都垂直，那么该直线与此平面垂直(线线垂直线面垂直)相交2.直线和平面所成的角(1)定义：一条斜线和它在平面上的_所成的_叫作这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是_

2、 ；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0的角.(2)范围：_.射影锐角直角3.二面角(1)定义：从一条直线出发的_所组成的图形叫做二面角；（2）二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作_的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角. (3)二面角的范围：0，.4.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是_，就说这两个平面互相垂直.两个半平面直二面角垂直于棱(2)判定定理与性质定理垂线ll 交线alal 微点提醒1.两个重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线垂直于一个平

3、面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行.()(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.()(4)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.()解析(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则有l或l与斜交或l或l，故(1)错误.(2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错

4、误.(3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误.(4)若平面内的一条直线垂直于平面内的所有直线，则，故(4)错误.答案(1)(2)(3)(4)2.(必修2P40例3改编)已知直线a，b和平面，且ab，a，则b与的位置关系为()A.b B.bC.b 或b D.b与相交答案C3.(必修2P42A5改编)已知P为ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，有下列结论：PABC；PBAC；PCAB；ABBC.其中正确的是()A. B.C. D.解析如图，因为PAPB，PAPC，PBPCP，且PB平面

5、PBC，PC平面PBC，所以PA平面PBC.又BC平面PBC，所以PABC，同理可得PBAC，PCAB，故正确.答案A4.(2019安徽江南十校联考)已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m的是()A.且m B.mn且nC.mn且n D.mn且解析由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确.答案C5.(2017全国卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()A.A1EDC1 B.A1EBDC.A1EBC1 D.A1EAC解析如图，由题设知，A1B1平面BCC1B1且BC1平面BCC1B1，从而A1B1BC1.又B1CBC1，

6、且A1B1B1CB1，所以BC1平面A1B1CD，又A1E 平面A1B1CD，所以A1EBC1.答案C6.(2018安阳二模)已知a，b表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，下列说法错误的是()A.若a，b，则abB.若a，b，ab，则C.若a，ab，则bD.若a，ab，则b或b解析对于A，若a，则a，又b，故ab，故A正确；对于B，若a，ab，则b 或b，存在直线m，使得mb，又b，m，.故B正确；对于C，若a，ab，则b 或b，又，所以b 或b，故C错误；对于D，若a，ab，则b或b，故D正确.答案C考点一线面垂直的判定与性质(1)证明：PO平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC2M

7、B，求点C到平面POM的距离.(1)证明因为APCPAC4，O为AC的中点，由OP2OB2PB2知，OPOB.由OPOB，OPAC且OBACO，知PO平面ABC.(2)解作CHOM，垂足为H.又由(1)可得OPCH，所以CH平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.规律方法1.证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(ab，ab)；(3)面面平行的性质(a，a)；(4)面面垂直的性质(，a，la，l l).2.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.【训练1】 (20

8、19南宁二中、柳州高中联考)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB侧面BB1C1C，ABBC1，BB12，BCC160.(1)求证：BC1平面ABC；(1)证明AB平面BB1C1C，BC1 平面BB1C1C，ABBC1，在CBC1中，BC1，CC1BB12，BCC160，又AB，BC 平面ABC，BCABB，BC1平面ABC.考点二面面垂直的判定与性质【例2】 如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.证明(1)平面PAD底面AB

9、CD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，PA 平面PAD，PA底面ABCD.(2)ABCD，CD2AB，E为CD的中点，ABDE，且ABDE.四边形ABED为平行四边形.BEAD.又BE 平面PAD，AD 平面PAD，BE平面PAD.(3)ABAD，而且ABED为平行四边形.BECD，ADCD，由(1)知PA底面ABCD，CD 平面ABCD，PACD，且PAADA，PA，AD 平面PAD，CD平面PAD，又PD 平面PAD，CDPD.E和F分别是CD和PC的中点，PDEF.CDEF，又BECD且EFBEE，CD平面BEF，又CD 平面PCD，平面BEF平面PCD.规律方法1.证明平面和平面垂直

10、的方法：(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理.2.已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.(1)求证：平面SBD平面SAD；(1)证明设BCa，则CDa，AB2a，由题意知BCD是等腰直角三角形，且BCD90，所以ABDABCCBD45，因为AD2BD24a2AB2，所以BDAD，由于平面SAD底面ABCD，平面SAD平面ABCDAD，BD 平面ABCD，所以BD平面SAD，又BD 平面SBD，所以平面SBD平面SAD.作SHAD，交AD的延长线于点H，由(1)知BD平面SAD，因为SH 平面SAD，所以BDSH

11、.又ADBDD，所以SH平面ABCD，所以SH为三棱锥SBCD的高，由BD平面SAD，SD 平面SAD，可得BDSD，在等腰三角形SBA中，考点三平行与垂直的综合问题多维探究角度1多面体中平行与垂直关系的证明【例31】 (2018北京卷)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，E，F分别为AD，PB的中点.(1)求证：PEBC；(2)求证：平面PAB平面PCD；(3)求证：EF平面PCD.证明(1)因为PAPD，E为AD的中点，所以PEAD.因为底面ABCD为矩形，所以BCAD.所以PEBC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以ABAD.又因为

12、平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以AB平面PAD.所以ABPD.又因为PAPD，且PAABA，所以PD平面PAB.又PD 平面PCD，所以平面PAB平面PCD.(3)如图，取PC中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，因为ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DEFG，DEFG.所以四边形DEFG为平行四边形.所以EFDG.又因为EF 平面PCD，DG 平面PCD，所以EF平面PCD.规律方法1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.2.垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.角度2平行与垂直关

13、系中的探索性问题【例32】 如图，三棱锥PABC中，PA平面ABC，PA1，AB1，AC2，BAC60.(1)求三棱锥PABC的体积；解(1)由题知AB1，AC2，BAC60，由PA平面ABC，可知PA是三棱锥PABC的高.(2)在平面ABC内，过点B作BNAC，垂足为N.在平面PAC内，过点N作MNPA交PC于点M，连接BM.由PA平面ABC知PAAC，所以MNAC.由于BNMNN，故AC平面MBN.又BM 平面MBN，所以ACBM.规律方法1.求条件探索性问题的主要途径：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性.2.涉及

14、点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点.角度3空间位置关系与几何体的度量计算【例33】 【例33】 (2019湖北六市联考)如图，在RtABC中，ABBC3，点E，F分别在线段AB，AC上，且EFBC，将AEF沿EF折起到PEF的位置，使得二面角PEFB的大小为60.(1)求证：EFPB；(2)当点E为线段AB的靠近B点的三等分点时，求四棱锥PEBCF的侧面积(1)证明因为在RtABC中，ABBC3，所以BCAB.又因为EFBC，所以EFAB，翻折后垂直关系没变，仍有EFPE，EFBE，又因为PEBEE，P

15、E，BE 平面PBE，所以EF平面PBE，所以EFPB.(2)解因为EFPE，EFBE，所以PEB是二面角PEFB的平面角，所以PB2BE2PE2，所以PBBE，所以PB，BC，BE两两垂直，又EFPE，EFBE，所以PBE，PBC，PEF均为直角三角形规律方法1.本题的综合性较强，属于翻折问题，其关键是看翻折前后线面位置关系的变化情况根据翻折的过程，把翻折前后一些线、面位置关系中没有变化和发生变化的量准确找出来，应用到求解中2第(1)问证明线线垂直，这类问题的一般是通过证明线面垂直来证明第(2)问的解决过程中要清楚二面角PEFB的平面角是哪一个，并且利用这个角的大小找出四棱锥中各线、面的位置

16、关系，确定各侧面三角形的形状，即可求四棱锥的侧面积(1)求证：AC平面FBC；(2)求四面体FBCD的体积；(3)线段AC上是否存在点M，使EA平面FDM？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由所以AC2BC2AB2，所以ACBC.又因为ACFB，BCFBB，BC，FB 平面FBC，所以AC平面FBC.(2)解因为AC平面FBC，FC 平面FBC，所以ACFC.因为CDFC，ACCDC，所以FC平面ABCD.在等腰梯形ABCD中可得CBDC1，所以FC1.(3)解线段AC上存在点M，且点M为AC中点时，有EA平面FDM.证明如下：连接CE，与DF交于点N，取AC的中点M，连接M

17、N.因为四边形CDEF是正方形，所以点N为CE的中点所以EAMN.因为MN 平面FDM，EA 平面FDM，所以EA平面FDM.所以线段AC上存在点M，且M为AC的中点，使得EA平面FDM成立考点四线面角、二面角的概念及应用【例4】 (1)(2018全国卷)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30.若SAB的面积为8，则该圆锥的体积为_规律方法(1)解决这类问题的关键是根据线面角、二面角的定义找出或做出这个角，利用线面角或二面角的大小计算几何体中的相关的量(2)找出或做出线面角和二面角的平面角都要根据其定义，恰当地利用图形中的垂直关系如(1)题中圆锥的轴线与底面垂直，(2)题中PM与AB，CM与AB垂直思维升华1.证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义：a与内任何直线都垂直a；(3)判定定理2：ab，ab；(4)面面垂直的性质：，l，a ，ala；2.证明面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a ，a.3.转化思想：三种垂直关系之间的转化易错防范1.证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件.2.面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视.3.面面垂直的性质定理在使用时