202X届高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.5曲线与方程课件

1、10.5曲线与方程高考数学高考数学 (浙江专用)统一命题、省统一命题、省( (区、市区、市) )卷题组卷题组考点曲线与方程考点曲线与方程五年高考1.(2019北京理,8,5分)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C:x2+y2=1+|x|y就是其中之一(如图).给出下列三个结论:曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);曲线C上任意一点到原点的距离都不超过;曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中,所有正确结论的序号是()A.B.C.D.2答案答案C本题考查内容比较丰富,涉及不等式、圆、距离、面积等知识,对学生的推理能力、综合应用能力、运算求解能力要求较高;重点体现逻辑推理

2、、数学运算等核心素养;同时也展现了对创新思维与审美能力的考查.解法一:从结论“不超过”“小于”入手,利用基本不等式进行放缩,再利用图形估算面积.x2+y2=1+|x|y1+|x|y|1+,x2+y22.x可能取得的整数值为1,0,代入曲线C的方程得整点坐标为(1,1),(1,0),(-1,1),(-1,0),(0,1),(0,-1),故正确;设曲线C上任意一点到原点的距离为d,则d2=x2+y22,d,故正确;由图知,图形在第一象限的面积S11,图形在第四象限的面积S4,由对称性得,“心形”区域面积S2=3,故错误.综上可知选C.222xy212112解法二:由图形封闭,结论中涉及曲线上的点到

3、原点的距离,联想到极坐标方程.以原点为极点建立极坐标系,则C:2=1+2|cos|sin,即2=.|cos|sin|sin2|,22,即,故正确.由,知经检验知共有6个整点满足条件,故正确.在第一象限曲线C的极坐标方程为=1+cos1sin1,在第四象限曲线C的极坐标方程为=1+cos4sin4.11 |cos|sin121222cos2,sin2,xy21212424令4=-1,则=1-cos1sin1,由得1-1=,由得1-4=,14,1-11-4(此时极径关于极轴对称).如图所示,由图可知,右半部分“心形”区域面积大于半个单位圆面积,故“心形”区域面积S212=3,故错误.2424211

4、11cossin111211cossin1124114cossin111244cossin1112综上可知,正确结论的序号为,故选C.2.(2019课标全国理,21,12分)已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为-.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程,并说明C是什么曲线;(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PEx轴,垂足为E,连接QE并延长交C于点G.(i)证明:PQG是直角三角形;(ii)求PQG面积的最大值.12解析解析本题主要考查轨迹方程的求法,直线与椭圆的位置关系,两条直线的位置关系,弦长问题,三角形的面积以及基本不等式

5、的应用等相关知识;通过对三角形形状的判断以及面积最值的求解考查学生的知识迁移能力、运算求解能力及函数思想方法的应用;体现了逻辑推理和数学运算的核心素养.(1)由题设得=-,化简得+=1(|x|2),所以C为中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆,不含左右顶点.(2)(i)设直线PQ的斜率为k,则其方程为y=kx(k0).由得x=.记u=,则P(u,uk),Q(-u,-uk),E(u,0).于是直线QG的斜率为,方程为y=(x-u).由得(2+k2)x2-2uk2x+k2u2-8=0.2yx2yx1224x22y22,142ykxxy2212k2212k2k2k22(),2142kyxuxy设G(x

6、G,yG),则-u和xG是方程的解,故xG=,由此得yG=.从而直线PG的斜率为=-.所以PQPG,即PQG是直角三角形.(ii)由(i)得|PQ|=2u,|PG|=,所以PQG的面积S=|PQ|PG|=.设t=k+,则由k0得t2,当且仅当k=1时取等号.因为S=在2,+)单调递减,所以当t=2,即k=1时,S取得最大值,最大值为.因此,PQG面积的最大值为.22(32)2ukk322ukk32222(32)2ukukkukuk1k21 k22212uk kk122228 (1)(12)(2)kkkk218112kkkk1k2812tt169169思路分析思路分析(1)利用直线AM与BM的斜

7、率之积为-求得曲线C的轨迹方程,从而得出曲线C的轨迹.(2)(i)设出直线PQ的方程,联立椭圆方程,求得点P、Q的坐标,由Q、E的坐标得出直线QG的方程,联立椭圆方程,得出点G的坐标,进而表示出直线PG的斜率,从而得出结论.(ii)利用弦长公式求出|PQ|与|PG|的表达式,从而将三角形的面积表示成关于k的函数,进而利用函数思想求其最大值.12解题关键解题关键利用方程思想得出点P、Q的坐标,进而利用换元法及整体代换法简化运算过程是顺利解决本题的关键;正确利用基本不等式及函数单调性是求解PQG面积最值的关键.3.(2017课标全国理,20,12分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过

8、M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足=.(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上,且=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.22xNP2 NMOPPQ解析解析本题考查了求轨迹方程的基本方法和定点问题.(1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).由=得x0=x,y0=y.因为M(x0,y0)在C上,所以+=1.因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.(2)证明:由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则=(-3,t),=(-1-m,-n),=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).由=1得-3m-

9、m2+tn-n2=1,又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以=0,即.NPNMNP2 NM2222x22yOQPFOQPFOPPQOPPQOQPFOQPF又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.思路分析思路分析(1)设出P、M的坐标,利用=得到P、M坐标间的关系式,由点M在C上求解.(2)利用向量的坐标运算得=0,进而证得直线l过曲线C的左焦点F.NP2 NMOQPF方法总结方法总结求轨迹方程的方法有直接法和间接法.直接法有定义法、待定系数法和直译法.间接法有相关点法、交轨法和参数法.4.(2016课标全国,20,12分)已知抛物线C:y2

10、=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明ARFQ;(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.解析解析由题设知F.设l1:y=a,l2:y=b,则ab0,且A,B,P,Q,R.记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(3分)(1)证明:由于F在线段AB上,故1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1=-b=k2.所以ARFQ.(5分)1,022,2aa2,2bb1,2a1,2b1,22ab21aba2abaab1aaba(2)设l与x

11、轴的交点为D(x1,0),则SABF=|b-a|FD|=|b-a|,SPQF=.由题设可得2|b-a|=,所以x1=0(舍去),或x1=1.(8分)设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE1212112x |2ab12112x |2ab可得=(x1).而=y,所以y2=x-1(x1).当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y2=x-1.(12分)2ab1yx 2ab疑难突破疑难突破第(1)问求解关键是把ARFQ的证明转化为kAR=kFQ的证明;第(2)问需找到AB中点所满足的几何条件,从而将其转化为等量关系.在利用斜率表示几何等量关系时应注意分

12、类讨论思想的应用.评析评析本题主要考查抛物线的性质,直线的斜率及其应用,轨迹方程的求法等知识,考查分类讨论思想的应用,考查学生对基础知识和基本技能的应用能力.考点曲线与方程考点曲线与方程教师专用题组教师专用题组1.(2016课标全国,20)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;(2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.解析解析(1)因为|AD|=|AC|,

13、EBAC,故EBD=ACD=ADC.所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16,从而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4.(2分)由题设得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为+=1(y0).(4分)(2)当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k0),M(x1,y1),N(x2,y2).由得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0.则x1+x2=,x1x2=.所以|MN|=|x1-x2|=.(6分)过点B(1,0)且与l垂直的直线m的方程为y=-(x-1),A到

14、m的距离为,所以|PQ|=224x23y22(1),143yk xxy22843kk 2241243kk21 k2212(1)43kk1k221k =4.故四边形MPNQ的面积S=|MN|PQ|=12.(10分)可得当l与x轴不垂直时,四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8).当l与x轴垂直时,l的方程为x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四边形MPNQ的面积为12.综上,四边形MPNQ面积的取值范围为12,8).(12分)222241k22431kk1221143k33方法总结方法总结定义法求轨迹方程的一般步骤:(1)判定动点的运动轨迹满足某种曲线的定义;(2)设标准方程,求方程中的基本量

15、;(3)写出轨迹方程.2.(2015广东,20,14分)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标;(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.解析解析(1)圆C1的方程x2+y2-6x+5=0可化为(x-3)2+y2=4,所以圆心坐标为(3,0).(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2),M(x0,y0),则x0=,y0=.由题意可知直线l的斜率必存在,设直线l的方程为y=tx.将上述方程代入圆C1的方程,

16、化简得(1+t2)x2-6x+5=0.由题意,可得=36-20(1+t2)0(*),x1+x2=,所以x0=,代入直线l的方程,得y0=.因为+=+=3x0,122xx122yy261 t231 t231tt20 x20y229(1)t2229(1)tt2229(1)(1)tt291 t所以+=.由(*)解得t2,又t20,所以时,截口曲线为椭圆;与PH的夹角=时,截口曲线为抛物线;与PH的夹角满足0时,截口曲线为双曲线.如图,底面内的直线AMAB,过AM的平面截圆锥所得的曲线为椭圆,其中与PB的交点为C,可知AC为长轴.那么当C在线段PB上运动时,截口曲线的短轴顶点的轨迹为()A.圆B.椭圆

17、C.双曲线D.抛物线2答案答案D因为短轴两端点到A,C的距离相等,当C运动时,短轴两端点在过AC中点且与PB平行的平面内,此时截口曲面的短轴顶点的轨迹所在的平面与PH的夹角=,因而轨迹为抛物线,故选D.2.(2019浙江高考数学仿真卷,8)动直线y=kx+4-2k与函数y=的图象交于A,B两点,点P(x,y)是平面上的动点,满足|+|=4,则x2+y2+2x的最大值是()A.40B.44C.46D.48412xxPAPB答案答案D由题意得直线过定点Q(2,4),y=4+.|+|=4|PQ|=2,P是以(2,4)为圆心,以2为半径的圆上的一动点,x2+y2+2x=(x+1)2+y2-1为动点P(

18、x,y)到(-1,0)的距离的平方减1.点Q(2,4)到(1,0)的距离d=5,(x2+y2+2x)max=(d+2)2-1=49-1=48.故选D.92xPAPB3.(2019浙江高考冲刺卷(四),6)点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离,那么平面内到定圆C的距离等于到定点A的距离的点的轨迹不可能是()A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.直线答案答案D设动点为Q,圆C的半径为R,当点A在圆内且不与圆心C重合时,|QC|+|QA|=R,轨迹是椭圆;当点A在圆外时,|QC|-|QA|=R,轨迹是双曲线的一支;当点A与圆心C重合时,轨迹是圆;当点A在圆C上时,轨迹是射线.综上,

19、只有直线是不可能的,故选D.4.(2019浙江宁波北仑中学高三模拟(二),21)过椭圆C外一点P(x0,y0)作椭圆C:+=1的切线l1,l2,切点分别为A,B,满足l1l2.(1)求点P的轨迹方程;(2)求ABP的面积(用P的横坐标x0表示);(3)当点P运动时,求ABP面积的取值范围.25x24y解析解析(1)设直线PA:y=k(x-x0)+y0,代入4x2+5y2=20得(4+5k2)x2+10(y0-kx0)kx+5(y0-kx0)2-20=0.由=0得(-5)k2-2x0y0k+-4=0,又由k1k2=-1,得+=9,所以点P的轨迹方程为x2+y2=9.(6分)(2)由题意知直线AB

20、:+=1,将其代入椭圆方程4x2+5y2=20得(45-)x2-40 x0 x+25-125=0,由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=.|AB|=|x1-x2|=,d=,所以SABP=|AB|d=.(11分)(3)由(2)易知ABP面积的取值范围是.(15分)20 x20y202045yx20 x20y05x x04y y20 x20 x0204045xx20202512545xx200415xy 202016125xy21212()4xxx x20206(25)45xx00220|4520|1625xxyyxy20253x1223020( 25)45xx16 25,99B B组组201

21、7201920172019年高考模拟年高考模拟专题综合题组专题综合题组时间:15分钟分值:27分一、选择题(每小题4分,共8分)1.(2017浙江温州十校期末联考,6)点P为直线y=x上任一点,F1(-5,0),F2(5,0),则下列结论正确的是()A.|PF1|-|PF2|8B.|PF1|-|PF2|=8C.|PF1|-|PF2|8D.以上都有可能34答案答案C若|PF1|-|PF2|=8,则点P的轨迹是以F1(-5,0),F2(5,0)为焦点的双曲线,其方程为-=1.因为直线y=x是该双曲线的一条渐近线,整条直线在双曲线的外面,因此有|PF1|-|PF2|0),且在平面内运动,则()A.当

22、=1时,点C的轨迹是抛物线B.当=1时,点C的轨迹是一条直线C.当=2时,点C的轨迹是椭圆D.当=2时,点C的轨迹是双曲线答案答案B在ABC中,由sinCAB=sinCBA,得=.当=1时,可知点C在线段AB的中垂面上运动,又点C在平面内,所以C在两个平面的交线上,即点C的轨迹为一条直线;当=2时,可知点C的轨迹为一个球面(相对应于平面中阿波罗尼斯圆),又点C在平面内,所以点C在两个已知平面和球面的截口曲线上,即点C的轨迹为一个圆.故选B.BCAC3.(2019浙江高考仿真卷(一),16)在四面体A-BCD中,已知|DA|=|DB|=|DC|=1,且DA,DB,DC两两互相垂直,在该四面体的表面上与点A的距离为的点形成一条曲线,则这条曲线的长度是.2 33二、填空题(共4分)答案答案32解析解析在面DAB,面DAC,面ABC上,与点A的距离为的点形成的曲线是半径为的圆弧,设曲线与棱AB,AC,CD,DB的交点为依