用公式法求二面角的平面角

1、用公式法求二面角的平面角 大家知道，当一个三面角的三个面角都固定时，则它们任意两个面的平面角的大小也就确定它们之间一定存在着某种必然的内在联系事实上，我们有如下的定理定理  设 为一个三面角， ， ， ，二面角 的平面角为 ，则有 略证：如图， ， ，则 令 ， 在 中， ， 同理， ， 故 又在 中， ，   在 中，     由，得 证毕同理可证，当 ， 中有一个为钝角（或直角）时，公式也照样成立（这里从略）由此可知：（1）将此公式反过来，只要知道了 ， ， ，即可求平面角 ；（2）此公式与三角形中的余弦定理有相似之处，不妨把它叫

2、做三面角的余弦定理例1   已知正三棱锥侧面与底面的夹角为 ，任两侧面的夹角为，求证 略证：如图2，设 为正棱锥， 构成三面角又设 的平面角为 ， 的平面角为 ， 由公式得: ，故      又 ，故       由，得   例2  如图，在梯形 中， ， ， ， ， ， ， 平面 ，求以 为棱的二面角 的大小（1994年上海高考题）略解： 构成三面角，令 ，则 ， ，设 ， ， ， 由 ， ， ，知 ， 又在 中，由 ， ，得 在 中， 令 ，则 ， 由

3、公式得 ， 例3  如图,已知正三棱柱， 为的中点，（1）求证： 平面BDC1；（2）若 ，求以 为棱的二面角 的大小（1994年上海高考题）略解： 为三面角，连结 ，交 于 连结 是等腰直角三角形令 ，则 ， 由 ，得 设 ， ， ， ， ， 由公式得 即 ， 数学测试题空间角和距离1、为异面直线，二面角，如果二面角的平面角为，则，所成的角为（ ）A B C或 D2在空间，如果、表示直线与平面，“若，则”成立，那么，所分别表示的元素正确的是（ ）A，都是直线 B ，都是平面C，为平面，为直线 D 为直线，为平面3一个二面角的两个面与另一个二面角的两个面分别垂直，则这两个二面角的大小

4、关系是（ ）A相等B互补 C相等或互补D不能确定4二面角MlN的平面角是60，直线a平面M，a与棱l所成的角是30，则a与平面N所成的角的余弦值是（ ）A B C D5. 正三棱柱ABCA1B1C中，D是AB的中点，CD等于，则顶点A1到平面CDC1的距离为（ ）A B1 C D6在长方体ABCD一A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成的角分别为60°和 45°，则异面直线 B1C和C1D所成角的余弦值为（ ）A B C D77二面角l的棱l上有一点P，射线PA在内，且与棱l成45°角，与面成30°角则二面角l的大小为（ ）A30°B45

5、°C60°D90°8一条直线与平面成60°角，则这条直线与平面内的直线所成角的取值范围是（ ）A0°，90° B C60°，180°D60°，90°9球面上A、B两点的球面距离是，过这两点的半径的夹角是60°，则这个球的体积为（ ）A48 B36 C24 D1810已知A（1，1，1），B（1，0 ，4），C（2 ，2，3），则，的大小为（ ）A B C D11如图所示，在四面体ABCD中，E、F分别是AC与BD的中点，若CD = 2AB = 4，EFBA，则EF与CD所成角为 （）

6、A900 B450 C600 D3012由四个全等的正三角形围成的空间图形叫正四面体.正四面体的四个正三角形面的12条中线能形成数值不同的k个锐角，k的数值是（ ）A7 B6 C5 D4二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13圆锥和一个球面相交，球心是圆锥的顶点，半径等于圆锥的高，若圆锥的侧面积被球与圆锥侧面的交线所平分，则圆锥母线与底面所成角的大小为_.14 一个锐角为30，斜边为2的直角三角形纸片，以斜边上的中线为折痕折成直二面角，折后斜边两端点的距离等于.15如图，将两邻边长分别为a、b 的矩形，按图中的实线折叠剪裁而折成的正四棱锥，则的取值范围是 . 16把地球看作半径为

7、R的球，A、B是北纬a度圈上的两点，它们的经度差为b，则A、B两点间的球面距离为_.三、解答题（共计74分）17（本小题满分12分）如图，ABCD为直角梯形，ABCD，ABBC，AB=3a，BC=CD=a将BCD沿BD折起，使得C到C，且CBDA为60°的二面角，求A、C的距离18（本小题满分12分）若平面内的直角ABC的斜边AB=20，平面外一点P到A,B,C,三点距离都是25,求点P到平面的距离19（本小题满分12分）已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC中点.在直线CC1上求一点N，使MNAB120（本小题满分12分）如图，已知斜平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD，A1AB=A1AD=BAD（）求证：平面B1D1DB平面A1C1CA；（）当A1B1=，且直线A1A到平面B1D1DB的距离为1时，求BAD的大小.21（本小题满分12分）三棱锥PABC中，PA=PB，CB面PAB，M、N分别在PC、AB上，且PM=MC，AN=3NB（I）求证：MNAB； (II) 当APB=90°，BC=2，AB=4时，求MN的长22. （本题满分14分