直线与平面垂直的判定

1、直线与平面垂直的判定石家庄市第二十四中 陈辛彤 课程题目：直线与平面垂直的判定课程目标：1.知识目标：让学生学会用定义和定理来判定直线与平面垂直。 2.技能目标：让学生学会从实际生活中来推导出事物的本质与关联。 3.情感目标：将实例引入到课堂中，培养学生对数学命题学习的兴趣。课程重点、难点：直线与平面垂直的定义中的任意与无数的区别，直线与平面垂直的判定定理中“两条相交直线”必不可少。课程内容： 我们已经学习过了直线与平面的位置关系，大家一起来回忆一下直线与平面有哪几种位置关系呢？各种位置关系中直线与平面又有几个公共点呢？（学生回答，师给评价，演示幻灯片）好，直线与平面有三种位置关系，分别是直线

2、在平面内，这时直线与平面有无数个公共点；直线与平面平行，这时直线与平面没有公共点；直线与平面相交，这时直线与平面有且仅有一个公共点。在直线与平面相交中我们有一种特殊情况就是直线与平面垂直！在日常生活中，我们对直线与平面垂直就有很多感性的认识。大家思考在我们身边有哪些事物的位置关系是相互垂直的呢？（学生作答）（非常好，自述那它们是直线与平面的相互垂直，还是平面与平面的相互垂直？）好，请坐。（师给补充，又如，旗杆与地面的位置关系是直线与平面的相互垂直，大桥的桥柱与水面的位置关系是直线与平面的相互垂直等，都可以抽象地表示直线与平面垂直。）我们在阳光下观察直立于地面的旗杆和它在地面的影子，我们设地面为

3、平面a ，旗杆所在直线设为AB，我们会发现随着时间的变化，影子BC所在的直线绕着旗杆与地面的交点B旋转。大家思考旗杆与其影子所在直线之间有怎样的位置关系呢？（学生作答）（垂直）好，请坐。那么，大家猜想一下，对于a内的任意一条直线BD与AB又有怎样的位置关系呢？（学生作答）（垂直）非常好，请坐！大家思考我们怎么来证明它们的位置关系是垂直的呢？（学生作答或自答，过B作BDBD。由于AB与BD垂直，因为旗杆与影子垂直，有由于BDBD，故有ABBD。）一般地，如果直线l与平面a内的任意一条直线垂直，我们就说直线l与平面a互相垂直，记作：la。我们通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边相垂直的样子

4、，来表示直线与平面垂直。直线l叫做平面a的垂线，平面a叫做直线l的垂面。直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做垂足。现在谁能用数学符号来表示直线与平面垂直的定义?(学生作答，并在黑板上书写)非常好，请回。我们来对照定义看一下是否正确。大家来思考若一条直线垂直于一个平面内无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直吗？（学生作答）（学生解释或师解释。不垂直，因为如果是与无数条相互平行的直线相垂直，我们就不能保证这条直线与平面垂直了。我们已经复习了直线与平面的位置关系，取一个特例，当直线在平面内，我们显然有它可以和无数条相互平行的直线相垂直，但此时它不与平面垂直而是在平面内。（不能。分面内和面外两种情

5、况。任意一条不能理解为无数条。）由此我们可以看出任意并不等于无数！（板书“任意无数” ）若一条直线与平面垂直，则直线与平面内的任意一条直线都垂直吗？（学生作答）非常好，依据定义我们可以知道直线与平面垂直，也就与平面内任意一条直线都垂直。当然直线与平面垂直的定义我们可以当作判定定理来用。我们已经了解到用线面垂直定义可以用来证明直线与平面垂直。那当我们需要证直线与平面垂直时我们真的要去找出平面内的所有直线一一地去证它与直线垂直吗？这显然是不可能的！除了定义以外我们如何来判断一条直线是否与一个平面垂直？下面我们一起来探究一下！请同学们拿出准备好的三角形纸板，我们一起来做。拿起三角形纸板，过它的顶点翻

6、折，我们会得到一条折痕，把折后的三角形纸板竖起放在桌子上，让与顶点相对的边与桌面相接触。大家观察你们手中纸板的折痕与桌面相互垂直吗？（学生作答，应该垂直和不垂直都有）大家看老师折了两个，一个是垂直的，一个是不垂直的。下面同学们来看一下老师的折法。同学猜想怎样翻折才能使折痕与桌面相互垂直呢？（学生作答）（当折痕AD与底边BC相垂直时，折痕AD垂直与桌面）非常好，请坐！（适当的补充）那哪位同学能用自己的语言来阐述一下你认为除定义以外我们还可以怎样来判定一条直线与平面是否垂直？（学生作答）非常好。一般地，我们有一条直线于一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。这就是我们这节课所要学习的

7、直线与平面垂直的判定定理。注意，其中“两条相交直线”必不可少！现在哪位同学能用数学符号将直线与平面垂直的判定定理表示出来?（学生作答）（给补充）非常好，请坐！由定理我们知道线线垂直可以推出线面垂直。在以后的证明中可以做辅助线来证明线面垂直。我们回过来看三角形纸板，有谁能够证明为什么当纸板中折痕为高时，折痕与桌面相互垂直？（学生作答）（师补充）非常好，请坐！下面大家一起来判断以下命题是否正确？直线与三角形两边垂直，则直线与三角形所在平面垂直。（学生作答并解释）直线与平行四边形两边垂直，则直线于平行四边形所在平面相垂直。（学生作答并解释）（并说明什么情况下是垂直的）直线与梯形两腰相垂直是，直线与梯形所在平面相互垂直。（学生作答并解释）下面我们来看