提炼问题 理性分析 整体设计

1、 提炼问题 理性分析 整体设计 对数学归纳法评课中问题的反思 许晓天(安徽省合肥市教育局教研室)摘要：笔者就教师对数学归纳法一节评课活动，提炼出了四个有争议的问题，并从课程标准、教材和学情三方面逐一分析，最后从一节课的整体上看，如何设计对突破难点更合理？提出了自己的建议.关键词： 问题 思考 建议 今年3月28日下午在合肥市八中，该校青年教师孙媛媛给全市高二数学教师上了一节市级公开课.上课的内容是人教社A版选修2-2数学归纳法（第一课时），接着进行了评课.评课结束后，笔者对评课中有分歧的问题进行了梳理和提炼，大家集中在四个问题的把握上，存在不同的观点，并且各执“道理”.那么如何理解这四个问题？

2、从一节课的整体来看，又该如何处理？笔者暑期得暇，欣然提笔.1 问题呈现问题一、用什么的引例更合适？数列，, 试归纳出这个数列的通项公式.学生已经通过对n=1,2,3,4前4项的归纳，猜想其通项公式为 .这个猜想是需要证明的.让学生体会对个数无限的自然数集中的每一个自然数都成立的问题，采取完全归纳法是不可能的，为“用有限证明无限”的方法数学归纳法的引入，给学生学习奠定了良好“心理需求”的基础； 观点2、书上的引例对于像八中这样生源很好的学生，就不太合适.因为此数列的通项公式可以直接求的，因为是等差数列.此节课孙老师先让学生探究和猜想： 猜想：此引例符合学生的实际，因为大部分学生无法直接证明，即使

3、直接证明也不是常规的方法.因此，用今天学习的数学归纳法证明此问题就顺理成章了. 问题二、数学归纳法的证明应该怎样得到？观点2、数学归纳法证明的依据是皮亚诺公理中的第五条公理或最小数原理，类比多米洛骨牌的游戏得出数学归纳法，不严密，学生也只会套“两步一结论”的操作方法，不能使学生“心悦诚服”.鉴于本校的生源质量很好的学情，可以在类比多米洛骨牌的游戏得出的数学归纳法后，说明此归纳法是可以严格证明的，要用到皮亚诺公理中的第五条公理或最小数原理，请有学有余力的学生查看资料完成证明.问题三、本节课学生认知的难点是什么？ 观点1、本节课学生认知的难点是数学归纳法的使用，特别是第二步的证明；观点2、此节课学

4、生认知的难点是数学归纳法原理的理解，因为这种证明的方法以前没有学习过，特别是“用有限证明无限”的思想；观点3、难点是数学归纳法中第二步中“假设当时，命题成立，推出当时，命题成立”.其中学生难以理解之处有两个：第一是“假设”的出现突然，学生不好理解；第二从多米洛骨牌得出的“数学归纳法”，学生对必须“从时，命题成立，推出时，命题成立”此过程理解不透，此节课孙老师反复强调，还有学生依然不用“时，命题成立”的条件来证明“时，命题成立”.问题四、例题、练习和习题中能否补充等式以外的证明或先猜想后证明问题？观点1、课本中对数学归纳法是只要求证明等式，所以在例题、练习和习题中只安排对等式的证明，所以我们要尊

5、重教材，只能要求学生掌握等式的证明就可以了；观点 2、虽然课本只安排了等式的证明，像八中这样生源很好的学校可以根据学生接受能力，适当补充“不等量关系”、“整除问题”和“图形问题”等问题，也可以设计“先猜后证”的问题.这样开阔学生的视野，多方位培养学生应用数学归纳法证明问题的能力.2 理性思考对于上面涉猎的四个问题，到底是哪个观点合理呢？我们不能只凭个人的经验和理解进行教学.众所周知，国家课程标准是教材编写、教学、评估和考试命题的依据，是国家管理和评价课程的基础；教材（教科书）是对课程标准的细化和具体呈现，是实现课程目标、实施教学的最重要的课程资源，教师不是教教材，而是要用教材教；学生是学习教材

6、知识的主体，是教学的对象，学情的把握无疑是教学成败的关键.课标和教材有具体和明确的呈现，但契合学情的教学是需要我们授课教师平时与学生的交流和磨合，逐步形成的学生“跳一跳够的着”的教学.2、1 课标要求 普通高中数学课程标准（实验）在十大基本理念7中指出： 形式化是数学的基本特征之一.在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但是不能只限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里.数学的现代发展也表明，全盘形式化是不可能的.因此，高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质.数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，

7、通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态.  思考1：“强调对数学本质的认识”，那么能否用数学原理证明数学归纳法？多米洛骨牌的游戏是否是“要讲逻辑推理，更要讲道理”，是否是“通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程”？ 普通高中数学课程标准（实验）在第三部分 内容标准选修2-2中指出，“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.在本模块中，学生将通过对已学知识的回顾，进一步体会

8、合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法，包括直接证明的方法（如分析法、综合法、数学归纳法）和间接证明的方法（如反证法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯.在“内容与要求”中对数学归纳法的要求是：了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.  在“说明与建议 ”中：教师应借助具体实例让学生了解数学归纳法的原理，对证明的问题要控制难度.思考2：课程标准明确了“推论与证明”是数学思维过程，数学归纳法是直接证明的方法之一，是演绎推理，那么数学思维如何体现？“了解数学归纳法的原理”中的“了解”就

9、是“知道”、“模仿”,是对知识与技能的最低要求，教材中的安排了什么事实让学生了解此原理？学生能否就此迁移至数学原理？教学中能否再设计一个数学问题让学生进一步了解数学归纳法原理？ “简单的数学命题”教材中如何把控的？教学中能否受此束缚？对证明的问题难度如何控制？2、2 教材安排人民教育出版社A版普通高中课程标准实验教科书，在学习数学2-2第二章“推论与逻辑”前，教材已经安排了学生学习了等差和等比等一阶递推数列，学生初步体会了递推和无限的过程； 在“算法”循环结构的学习中，也有有反复试用“循环体”的体会,虽然算法实现的只能是有限步的循环，但对学生理解“假设当时，命题成立，推出当时，命题成立”有了很

10、好的认知基础.在数学2-2第二章“推理与逻辑”观察、分析、比较、联想归纳、类比提出猜想.归纳推理简言之是由部分到整体、由个别到一般的推理.在演绎推理（逻辑推理）中介绍了三段论，并指出演绎推理是由一般到特殊的推理.数学归纳法与分析法、综合法都属于直接证明的方法，但数学归纳法单独一节，表明其重要性和区别性，同时也是学生接受的难点.数列,已知, 通过对n=1,2,3,4前4项的归纳，猜想其通项公式为 这个猜想是否正确,怎么证明？2、多米诺骨牌的游戏情景类比证明方法；3、总结数学归纳法的证明步骤：（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0（n0N*）时命题成立；（2）（归纳递推）假设n=k(kn0,kN

11、*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题从开始的所有正整数都成立.4、用数学归纳法完成两个例题的证明.再后面有两个练习，课后习题安排有A组2个、B组3个.思考3：教材引用前面第2节的问题引入，问题虽然简单,但为学生学习数学归纳法的必要性打下伏笔的意图明显.因为此题可以直接证明，这样安排对生源很好的八中学生是否合理？多米洛骨牌的游戏的安排是让学生从熟知的生活情景中，体悟数学归纳法的原理.从生活情景直接上升到严格的数学归纳法原理，学生是否真能够“了解”数学归纳法？是否需要介绍数学归纳法的严格证明？即使不要证明，是否需要从数学问题上进一步加强？从引例、练习到习

12、题的呈现，都是等量关系的猜想和数学归纳法的证明.“简单的数学命题”是否就是指“等量关系”的数学问题，其它的“不等量关系问题”、“整除问题”和“图形问题”等是否就不是简单数学问题？如果选择，难度又应该怎样控制？2、3 学情分析 因为学生是教学活动的主体，特别是在强调学生主动建构和学习知识的今天，教师对其应有充分的了解与分析，其中学生认知的基础、水平和能力尤为重要. 合肥八中是我市初中升高中第一批次录取的三所学校之一，生源相对较好.每年都有一部分学生在全国高中数学联赛中获得一等奖或二等奖，高考中该校多次获过省、市状元.由于时代的进步，均衡教育的发展，随着录取人数的增加，也有部分认知的基础和能力偏弱

13、的学生考入该校. 思考4：学生的学习基础、建构能力是教学设计和课堂教学的基础.鉴于八中的生源情况，怎样用好教材这个重要的资源？授课老师通过怎样的调整、增减和有序安排教材内容，使学生在认知的目标上达到很高的“达成度”？这就需要授课教师在平时的教学实践活动中，积累对全班学生综合能力的“经验”或“估计”，形成对学生建构此节课内容较合理的能力“预估”，再加上课堂教学反馈，教师还可以作一些微调.唯此，全班学生才能都得到合理的发展，个人潜能得到有效的挖掘.3 设计建议 授课教师在进行教学设计和课堂教学时，一定要把握课程标准要求、研透教材内容和通晓学生个体的认知水平与差异.因为课程标准的具体落实是通过教师创

14、造性地使用教材，最后通过课堂教学的教学实践来落实.因此，教学设计和课堂教学显得尤为重要.以上4个问题的9个观点，应该综合整节课内容和学情来看看是否合理，不能就事论事.问题一：对引例的看法？观点1的理解对一般学校的学生学习是恰当的，观点2就引例本身来说对八中的学生是合理的，但此节课的难点在何处？要兼顾学情，特别是学生学习的难点.问题二：数学归纳法是否需要严格证明？观点1凸显了学生的可接受性，注意了课标的要求.根据课程标准只要求“了解”数学归纳法；观点2不仅重视了课标的要求和学生整体的水平，还兼顾了优等学生的心理需求，培养了学生搜索资料和研究的能力.但直接从多米洛骨牌类比得出数学归纳法原理，过渡太

15、快，学生没有接受过此种得出定理的方法，非常怀疑其正确性，要结合下面的难点分析作进一步的处理.问题三：学生认知的难点是什么？观点1注重了使用数学归纳法证明问题的难点；观点2强调了数学归纳法的理解和“用有限证明无限”的思想，符合新课程理念的要求，但具体实施和操作不明确；观点3分解为两个难点：理解假设和利用假设，相对合理.结合具体教学内容，又如何突破难点呢？问题四：是否补充一些数学归纳法除等式以外的证明问题？根据上面课程标准的要求和学情的分析，观点1尊重课程标准的要求和教材的安排；观点2站在学生的可接受性和培养学生应用能力角度，建议可以补充一些非等式的证明问题.这两个观点都可以接受，重要的是学生的接

16、受和建构能力.如果补充非等式的证明问题，建议下一节课作为应用和巩固数学归纳法原理，再补充，但难度不宜太大.这一节课，主要是数学归纳法原理的理解和初步使用，内容已经很丰富了.针对其上思考和各观点的分析，本节课的从课题引入到数学归纳法原理得出的教学流程建议如下（限于篇幅，后面的例、习题等省略）：数列,已知, 通过对n=1,2,3,4前4项的归纳，猜想其通项公式为 这个猜想是否正确,怎么证明？设计意图：从学生熟知的问题出发，低起点，让所有学生都能够接受和理解.凸显欲无数个等式都成立，无法验证？那么如何证明？证明此问题思维方式与前面学习的方式不同，从而引起强烈的认知冲突.选择此引入的另一个原因：后面类

17、比多米洛骨牌证明此数学问题，原理是否可以迁移？因为学生可以直接证明此题，得出的结论相同，增加了学生对此原理正确性的可信度.2、多媒体演示多米洛骨牌游戏，有条件的学校还让学生亲自参与.让学生充分体会骨牌全部倒下的条件：（1）第1块骨牌倒下；（2）如果第k块骨牌倒下一定能导致第k+1块骨牌倒下.特别是条件（2）就是第k块骨牌的高度必须大于相邻第k块骨牌与第k+1块骨牌两骨牌间的距离.设计意图：让学生从亲自参与的多米洛骨牌的游戏中，体会全部倒下的条件.第一个条件学生容易理解，第二个条件一定要让学生自己找出导致下一块倒下的原因：第k块骨牌的高度必须大于相邻第k块骨牌与第k+1块骨牌两骨牌间的距离，这样

18、在重力的作用下，第k块骨牌倒下一定能导致第k+1块骨牌倒下.为下面学生理解数学归纳法原理的第二步打下良好的基础.3、（1）能否根据以上多米洛骨牌的游戏得出的骨牌全部倒下的条件，类比证明引例中猜想 的正确性.（2）请用以前学过的方法直接求该通项公式，结果是否相同？（让学生体会类比多米洛骨牌得出两步的证明方法是正确的）.（3）请你总结多米洛骨牌得出的证明数学问题的方法，第二步“如果当时，成立，推出当时，”你是如何理解的？设计意图：让学生类比多米洛骨牌全部倒下的条件，再解决引例的数学问题，并让学生选择以前直接求的方法，得出同样的结论. 是为了让学生确信其原理对数学问题的解决是可信的，为数学归纳法原理的得出作了进一步的铺垫.第三个问题是让学生体会“如果当时，成立，推出当时，”是“，推出；，推出；”无数个推出关系提炼和抽象得出的.第一、为数学归纳法原理中的第二步中出现的“假设”打下伏笔，这个“假设”又有基础，就是第一步当时，命题成立；第二、从此学生可以理解数学归纳法中“从时，命题成立，推出时，命题成立”的道理；第三、此问是学生理解数学归纳法“用有限证明无限”的关键.4、（1）大家能够抽象出一般性的原理吗？请同