有限维线性空间的分解

1、毕业论文题 目 有限维线性空间的分解 学 院 数学与统计学院 姓 名 周吉强 专业班级 数学与应用数学 学 号 20101010646 指导教师 邵海琴 教授 提交日期 2014-5-28 原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。本声明的法律责任由本人承担。论文作者签名： 年 月 日论文指导教师签名： 年 月 日目录1引言与预备知识12有限维线性空间的分解22.1按子空间的直和分解22.2按生

2、成子空间分解32.3按特征子空间分解，即按可对角化的线性变换分解42.4按根子空间分解，即准素分解62.5按循环子空间分解72.6按线性变换的标准形分解9参考文献. . . .12 有限维线性空间的分解周吉强 （天水师范学院，数学与统计学院,甘肃，天水，741000）摘要 总结了有限维线性空间按子空间、生成子空间、特征子空间、根子空间、循环子空间以及线性变换的Jordan标准形等分解方法，并通过具体的例子加以说明.关键词 线性空间;直和分解；子空间；生成子空间；根子空间；循环子空间；线性变换Decomposition of finite-dimensional linear spaceJiqi

3、ang Zhou(School of Mathematics and Statistics, Tianshui Normal University, Tianshui 741000)Abstract In this paper, we summary decomposition methods of finite dimensional Linear space by subspace, generating subspace, proper subspace, and root space, - cyclic subspace and standard from of transformat

4、ion, we explain for the six decomposition methods by concrete examples.Keywords Linear space, straight and decomposition, subspace, generating subspace, root space, cyclic subspace, linear transformation 有限维线性空间的分解1引言与预备知识线性空间是线性代数中的重要知识点，线性空间也是线性代数中最为抽象的概念.子空间的和，尤其是直和虽然概念抽象，证明困难，但仍然有规律可循.只要掌握了方法，便能

5、得心应手.定义1.1 设与是有限维线性空间的两个子空间，如果与的和中每个元素的分解式是惟一的，则称这个和为直和.定义1.2 设是数域上的维线性空间，,为的一组基.在该基下的矩阵为，则有设是的特征值，令 则是的子空间，且称其为的属于特征值 的特征子空间.定义1.3 设线性变换的特征多项式为，它可以分解成一次因式的乘积则可分解成不变子空间的直和，其中 称为属于的根子空间.定理1.1设是有限维线性空间的两个子空间,那么下列命题等价(1);(2)零向量的分解式是惟一的；(3);(4).定理1.2 复数域上有限维线性空间的每一个线性变换都有标准形，并且这个标准形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外，是被线性

6、变换唯一决定的.线性变换的标准形的求法具体如下：(1)首先用初等变换化特征矩阵为对角形式，然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的按出现的次数计算）就是的全部初等因子.(2)每一个初等因子对应一个若而当块. (3)就是的标准形.2有限维线性空间的分解2.1按子空间的直和分解在判定两个子空间的和是直和是应熟练应用直和的等价条件，其中最常用的是与.如果要证明线性空间可以分解成子空间的直和时，先任取,证明，,则有;再任取,证，则有.于是.例2.1.1已知的两个子空间，证明 .证明 对任意的，有 ,其中,.容易验证,所以,即有.对任意的,则,所以,故.

7、2.2按生成子空间分解定义 设是线性空间中的一组向量，不难看出，这组向量所有的线性组合所成的集合是非空的.而且对两种运算封闭，因而是的一个子空间.这个子空间叫做由生成的子空间，记为.例证明：数域上任意一个维线性空间可以表示成个1维子空间的直和.证明 在线性空间中取一个基，则由于因此 是直和，于是.2.3按特征子空间分解，即按可对角化的线性变换分解如果可以写成两个非平凡子空间与的直和：,那么任选的一个基和的一个基凑成的一个基.当与都在线性变换之下不变时，关于这样选取的矩阵是，其中是一个阶矩阵，它是关于基的矩阵，是一个阶矩阵，它是关于基的矩阵.由此可知，矩阵分解为准对角形与维线性空间分解为不变子空

8、间的直和是相当的.上述的讨论说明对于维线性空间的一个线性变换，如果能将分解成若干个子空间的直和，则可以适当的选取的一个基，使在这个基下的矩阵有比较简单的形状（准对角形）.特别的如果能将分解成若干个一维子空间的直和，则可以适当的选取的一个基，使可以对角化的充分必要条件是可以分解成若干个一维子空间的直和.例2.3设是数域上的维线性空间的线性变换，使得求的特征子空间.解 取的一个基，则，同样有，于是在基下的矩阵为的特征多项式为,特征值为.矩阵的属于特征值的线性无关的特征向量是.所以线性变换的属于特征值的线性无关的特征向量是，的属于特征值的特征子空间是，同理可求属于特征值的特征子空间是.2.4按根子空

9、间分解，即准素分解定理2.4（空间准素分解） 设数域上线性空间的线性变换的最小多项式为，其中为数域上的首一不可约多项式，互异，为正整数，则是A的不变子空间，且;的最小多项式为.注1：上述定理中的特征多项式为 ，则是的特征多项式，且=其中对某正整数成立.例2.4考虑4维线性空间中由矩阵决定的线性变换：,任意的直和分解问题.其中.此时，线性变换的特征多项式为. 它在实数域上只有特征值 ，.在上不可约.由分解定理可以直接算出 ,，；, ,容易验证，为的一组基. 显然为的直和.2.5按循环子空间分解定义设是维向量空间的一个线性变换.子空间叫做关于的一个循环子空间，简称循环子空间.如果存在一个非零向量和

10、一个正整数，使得构成的一个基；.这时叫做循环子空间的一个生成向量，而叫做的一个循环基.定理2.5.1设是维向量空间的一个幂零线性变换，那么向量空间可分解成循环子空间的直和，令；我们有.注 定理中循环子空间维数序列是唯一确定的.定理 每一个幂零矩阵都与一个形如的矩阵相似，这里每一个是一个阶幂零若尔当块，.由于维向量空间的每一个幂零线性变换，可以分解成一些循环子空间的直和.于是在每一个子空间内选取一个循环基，凑起来成为的一个基，关于这个基的矩阵有形状.例设是维线性空间的一个幂零线性变换，则在基下的矩阵为求.解 由初等变换把化为对角矩阵并求出它的初等因子组为，.因此的标准形为.因为，故先计算.注意到

11、是分块对角矩阵，它的次方等于将各对角块次方.因此，.2.6按线性变换的标准形分解定理2.6.1设是维线性空间的一个线性变换，是的互不相同的特征值，那么存在的一个基，使得关于这个基的矩阵有如下形状， 这里，而都是属于的若尔当块，.由于线性变换的一个基是线性空间的一个基，它使得在这个基下的矩阵为形矩阵. 当我们已经求出的标准形之后，为了求出的一个基.只要把原来的基到基的过渡矩阵求出即可.由于J=，所以是矩阵方程的解并且为可逆矩阵. 如果，则上述方程是含有个未知量的由个方程组成的线性方程组，解这个线性方程组，可求出.选取可逆矩阵（因为线性变换的标准形存在，所以满足上述方程的可逆矩阵一定存在）便可作为过渡矩阵P.定理2.6.2设是复数域上维线性空间上的线性变换，是的一个基，则，其中，例2.6.1设是复数域上线性空间的线性变换，是线性空间的一个基，在这组基下的矩阵为=求线性空间的一个直和分解.解 由预备知识中的定理1.2可知 的标准形为，故的一个基为：,.由上述推论，令,则 .参考文献1北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高