近世代数的基础知识

1、近世代数的基础知识初等代数、高等代数和线性代数都称为经典代数( Classical algebra),它的研究对象主 要是代数方程和线性方程组)。近世代数(modern algebra)又称为抽象代数(abstract algebra), 它的研究对象是代数系，所谓代数系，是由一个集合和定义在这个集合中的一种或若干种运算所构成的一个系统。近世代数主要包括：群论、环论和域论等几个方面的理论，其中群论是基础。下面，我们首先简要回顾一下集合、映射和整数等方面的基础知识，然后介绍本文需要用到的近世代数的相关知识。3. 1集合、映射、二元运算和整数3. 1. 1集合集合是指一些对象的总体，这些对象称为集

2、合的元或元素。“元素a是集合A的元”记作“x A”，反之，“a A”表示“ x不是集合A的元”。设有两个集合 A和B,若对A中的任意一个元素 a (记作 a A)均有a B ,则称A是 B的子集，记作A B。若A B且B A,即A和B有完全相同的元素，则称它们相等， 记作A B。若A B ,但A B ,则称A是B的真子集，或称B真包含A,记作A B。不含任何元素的集合叫空集，空集是任何一个集合的子集。集合的表示方法通常有两种：一种是直接列出所有的元素，另一种是规定元素所具有 的性质。例如：A a, b, c ;S xp(x),其中p(x)表示元素x具有的性质。本文中常用的集合及记号有：整数集合

3、Z 0, 1, 2, 3,;非零整数集合Z Z 01, 2, 3,；正整数(自然数)集合 Z 1,2,3,；有理数集合Q,实数集合R,复数集合C等。一个集合A的元素个数用 A表示。当A中有有限个元素时，称为 有限集，否则称为 无限集。用A 表示A是无限集， A 表示A是有限集。3. 1. 2 映射映射是函数概念的推广，它描述了两个集合的元素之间的关系。定义1设A, B为两个非空集合，若存在一个 A到B的对应关系f,使得对A中的 每一个元素x,都有B中唯一确定的一个元素 y与之对应，则称f是A到B的一个映射， 记作 y=f(x)。y称为x的像，x称为y的原像，A称为f的定义域，B称为f的定值域。

4、定义2设f是A到B的一个映射若x1，x2 A和x x2均有f(x1) f(x2),则称f是一个单射。(2)若y B均有x A使f(x) y,则称f是满射。(3)若f既是单射又是满射，则称 f是双射。3.1.3 二元运算3. 1. 3. 1集合的笛卡儿积由两个集合可以用如下方法构造一个新的集合。定义3设A, B是两个非空集合，由 A的一个元素a和B的一个元素b可构成一个 有序的元素对(a,b),所有这样的元素对构成的集合， 称为A与B的笛卡儿积，记作A B , 即A B (a,b)a A,b B。用笛卡儿积还可定义一个集合中的运算。定义4设S是一个非空集合，若有一个对应规则f,对S中每一对元素a

5、和b都规定了一个唯一的元素 c S与之对应，即f是S SS的一个映射，则此对应规则就称为S中的一个二元运算，并表示为 a?b c,其中“ ？”表示运算符，若运算“ ？”是通常的加 法或乘法，a?b就分别记作a b或ab。由定义可见，一个二元运算必须满足：(1)封闭性：a?b S；(2)唯一性：a ?b是唯一确定的。定义5设S是一个非空集合，若在S中定义了一种运算？(或若干种运算+,?,等)， 则称S是一个代数系统，记作(S, ?)或(S, +, ?)等。3. 1. 3. 2 二元关系我们经常需要研究两个集合元素之间的关系或者一个集合内元素间的关系。定义6设A, B是两个集合，若规定一种规则R：

6、使对 a A和对 b B均可确定a和b是否适合这个规则，若适合这个规则，就说 a和b有二元关系R,记作aRb,否则就说a和b没有二元关系R,记作aR b。3. 1. 2. 3等价关系和等价类等价关系是集合中一类重要的二元关系。定义7设是集合A上的一个二元关系，满足以下条件：对a A,有aa；(反身性)(2)对a,b A ,有ab ba ；(对称性)(3)对a,b,c A,有ab和bc ac。(传递性)则称为A中的一个等价关系。子集a xx A,xa即所有与a等价的元素的集 合，称为a所在的一个等价类，a称为这个等价类的代表元。例如：设n是一取定的正整数，在整数集合Z中定义一个二元关系(mod

7、n)如下：a b(mod n) n (a b),这个二元关系称为模 n的同余(关系)，a与b模n同余指a和b分别用n来除所得的余数 相同。同余关系是一个等价关系， 每一个等价类记作 a xx Z,x a(modn)称为一个同 余类或剩余类。3.1.4整数在近世代数中整数是最基本的代数系。这里仅重述有关整数的基本性质和常用概念。3. 1.4. 1 整数的运算整数的运算包括加、减、乘、除、开方、乘方、取对数等，这些运算及其性质这里不再赘述。在整数运算中有以下两个基本的定理：带余除法定理 设a,b Z, b 0,则存在唯一的整数 q, r满足：a qb r, 0 r b。当r 0时，称a能被b整除，

8、或b整除a ,记作b a ；当r 0时，称a不能被b整 除。只能被1和它本身整除的正整数称为 素数；除1和本身外，还能被其它整数整除的正 整数称为合数。算术基本定理 每一个不等于1的正整数a可以分解为素数的哥之积：12saplp2ps,其中一的3. 1Pi,P2, ,ps为互不相同的素数，i Z ,(i 1,2, s)。除因子的次序外分解式是唯 此分解式称为整数的标准分解式。.4. 2 最大公因子和最小公倍数其中令：则且有设a,b Z ,由算术基本定理可将它们表示为:Xi X2aPiP2bPiP2Pi,P2, ,Ps为互不相同的素数，Xi, Yi (iiminXi,yi(iimaxXi,yi(

9、iXsPs ,YsPs ，1,2,s)为非负整数，某些可以等于0。1,2, ,s),1,2,s),(a,b)P1 1 P2 2Pss,b12sP1 P2Ps ，设a,b Z ,不全为0,它们的正最大公因子记作(a,b),正最小公倍数记作a,b 。ab (a,b)? a, b。最大公因子还有以下重要性质：最大公因子定理设a,b Z , a,b不全为0, d (a,b),则存在p, q Z使Pa qb d。3. 1.4. 3 互素若a,b Z ,满足(a,b)1,则称a与b互素。关于整数间的互素关系有以下性质:(a,b) 1 p, q Z ,使 pa qb 1。(2) a bc且(a,b)1（3）

10、设a,b Z, p为素数，则有：p abpa或pb。（4）（a,b） 1, （a,c） 1 （a,bc） 1。 a c, b c且（a,b） 1 ab c。（6）欧拉函数：设n为正整数， （n）为小于n并与n互素的正整数的个数，小于n并与n互素的正整数的集合记为：Pn1,r2, ,r （n）。若n的标准分解式为： 12snP1 P2Ps ,则111（n） n（1 一）（1 一） （1 一）。P1P2Ps3. 2 群近世代数的研究对象是代数系，最简单的代数系是在一个集合中只定义一种运算，群是由一个集合和一个二元运算构成的代数系，它在近世代数中是最基本的一个代数系。 3. 2. 1 群的基本概念定

11、义1设G是一个非空集合，若在 G上定义一个二元运算 ？满足：结合律：对 a,b,c G,有（a?b）?c a ? （b ?c）。则称G是一个半群，记作（G,?）。若（G,?）还满足：（2）存在单位元e使对 a G,有e?a a?e a；对a G有逆元a1,使a1?a a ?a 1 e,则称（G,?）是一个群。当二元运算“ ？”为通常的加法时，（G,?）称为加法群或加群；当二元运算“ ？”为通 常的乘法时，（G,?）称为乘法群或乘群。定义中条件（2）可改为：有一个左单位元eL （或右单位元 eR）,使eL?a a （或a?eRa）,对 a G成立。因为由此可推出 eL eL?% eR。定义中条件

12、（3）可改为：对 a G ,有一个左逆元aL 1 （或右逆元 aR 1）,使I 1aL?ae(或 a?aR e) 成立。因为由此可推出II ii、， iiiiaLaL ?e aL ?(a?aR) (aL ?a)?aRe?aR aR 。定理1半群(G,?)是群的充要条件是：对 a,b G ,方程ax b和ya b在G中 均有解。定理2半群(G,?)是群的充要条件是左、右消去律都成立：a 0, ax ayx y,a 0, xa yax y。如果半群中含有单位元，则称为含幺半群。如果群(G,?)适合交换律：对 a,b G,有a?b b?a ,则称G为可换群或阿贝尔(Abel)群。通常把群的定义概括为

13、四点：封闭性、结合律、单位元和逆元。如果一个群 G是个有限集，则称 G是有限群，否则称为无限群。G的元素个数 G称 为群的阶。元素的倍数和哥定义为：na a a a,n个aan a?a? ?a,n个an为正整数，并规定 a0 e。且有：n_m_nm n、m_nmn_nn(na)b a(nb) nab, a a a , (a ) a ,当 ab ba 时有(ab) a b。满足a2 a的元素称为哥等元，满足an 0,n Z的元素称为哥零元。例1： Zn 0,1,2,二 是整数模n的同余类集合，在Zn中定义加法(称为模 n 的加法)为a b a b。由于同余类的代表元有不同的选择，我们必须验证以上

14、定义的运算结果与代表元的选 择 无 关。 设 aa2, b b2, 则 有n(aa2),n (b1 b2) n (a1 a2)(b1b2) n (a1b1)(a2 b2)a1b1a2b2 所以模n的加法是Zn中的一个二元运算。显然，单位元是0 , k Zn, k的逆元是R-k。所以(Zn，)是群。例2：设Znk|k Zn,(k,n) 1 ,在Zn中定义乘法(称为模 n的乘法)为a ?b ab。对这个运算不仅需要检验它的唯一性，而且要检验它的封闭性，因为由a Zn ,b Zn得出ab Zn并不明显。先证封闭性：因为由a,b Zn (a,n) 1和(b,n) 1 (ab,n) 1,所以ab Zn

15、。再证唯一性：设 a a? ,b1b2 , 则有 n (a a?),n(b1b2)n(aa2) ?(b1b2)n(a1b1a2b2a1b2a2b1)n (ab1a2b2)(a2 a1)b2 a2(b2 b1) n (a1bl a2b2)a1bl a2b2所以模n的乘法是Zn中的一个二元运算。结合律显然满足。单位元是1。对 a Zn ,由(a,n) 1知p, q Z ,使pa qn 1 , 因而有pa 1(mod n),即p?a pa彳，所以a 1 Q ,即Zn中每一元素均有逆元。 综上，Zn对*H n的乘法构成群。Zn的阶数为 (n)欧拉函数：小于 n并与n互素的正整数的个数。3. 2. 2群

16、的基本性质(1)群中单位元是唯一的证明：设G中有两个单位元 e1和e2,则有：e1 e, ?e2 e2,所以单位元是唯一的。在不致混淆的情况下，单位元简记为1。(2)群中每个元素的逆元是唯一的证明：设 a G, a有两个逆元a1 1 G和a2 1 G ,则有：111,1、，1、111 I 八 ，,a1a e a (aa2 ) (a1 a)a2ea2a2 ，所以 a 的逆兀是唯一的。a的逆元有以下性质:(a 1)1 a；(2)若a,b可逆，则ab也可逆，且有(ab) 1 b 1a 1 ；(3)若a可逆，则an也可逆，且有(an) 1 (a 1)n an。3. 2. 3子群定义2设S是群G的一个非

17、空子集，若S对G的运算也构成群，则称S是G的一个 子群，并记作：S Go当S G且S G时，称S是G的真子群，记作S G。定理3设S是群G的一个非空子集，则以下三个命题互相等价：(i )S是G的子群；1(11)对 a,b S,有 ab S和 a S;1(in)对 a,b S ,有 ab S。3. 2. 4元素的阶定义3设G是有限群，a G ,可以证明一定存在最小的正整数n使：an e(1)成立，n称为a的阶或周期，记作o(a)。若没有这样的正整数存在，则称 a的阶是无 限的。由定义3可知，单位元的阶是 1。在加群中，式(1)变为：na 0(2)定理4设G是群，a G ,则：am 1 o(a)

18、m。关于元素的阶还有以下重要结果：(1)有限群中每一个元素的阶是有限的；(2)设 G 是群，a,b G , o(a) m , o(b) n ,若(m,n) 1 和 ab ba ,则o(ab) mn ；(3)设G是群，若除单位元外其它元素都是2阶元，则G是Abel群。3. 2. 5循环群和生成群设G是群，a G ,令:H ak k Z ,因为ak1,ak2 H ,有ak1(ak2) 1 ak1 k2 H ,所以H是G的子群，此子群称为由a生成的循环子群，记作a , a称为它的生成元。若 G= a ，则称G是循环群。循环子群是由一个元素生成的，由几个元素或一个子集也可生成一个子群。定义4设S是群G

19、的一个非空子集，包含 S的最小子群称为由 S生成的子群，记作S , S称为它的生成元集。如果G S ,且任何S的真子集的生成子群均不是G,则称S是G的极小生成元集。任何一个生成子群都有一个极小生成元集。当 S 时，元素个数最少的生成元集称 为最小生成元集。定义5设(G, )是一个群，H G,a G ,则a?H称为H的一个左陪集，H ?a 称为H的一个右陪集。定义6设G是群，H G , H在G中的左(右)陪集个数称为 H在G中的指数，记作G : H 。当G是有限群时，则子群的阶数与指数也都是有限的，它们有以下关系：定理5 (拉格朗日(Lagrange) 设G是有限群，H G ,则：G|H ?G:

20、 H这就是说，有限群G的子群的阶是群 G的阶的一个因子。 由拉格朗日定理立即可得如下推论：(1)设G是有限群，H G,则H| G ;(2)当G 时，对任何a G ,有o(a) G ；(3)若G p (素数)，则G Cp( p阶循环群)，即素数阶群必为循环群。3. 3 环环是有两个二元运算并建立在群的基础上的一个代数系统。定义1设A是一个非空集合，在 A中定义两中二元运算， 一种叫加法，记作+,另 种叫乘法，记作。且满足:（1） （A, +）是一个可换群；（2） （A, ）是一个半群；（3）左、右分配律成立，对a,b,c A,有：a（b c） ab ac, （a b）c ac bc则称代数系（A

21、, +, ）是一个环。例：设Zn0,1,2, ,1是整数模n的同余类集合，在 Zn中定义加法和乘法分别为模n的加法和乘法：aba b , a ?b ab。在前面我们已经知道（Zn,）是群，（Zn,?） 是半群。下面我们证明分配律成立：a（b c） a（b c） a（b c） ab ac ab ac。类似有（a b）c ac bc ,所以（Zn, ,?）是环，称为整数模n的同余类（或剩余类）环。如果环（A, +, ）对乘法也是可交换的，则称A是可换环。设（A, +, ）是一个环，加群（A, +）中的单位元通常记作 0,称为零元。元素a在 加群中的逆元记作 a ,称为负元。环中的单位元指乘法半群（

22、A, ）中的单位元，记作 1。 一个元素a的逆元指的是它在乘法半群中的逆元，记作 a 1。定义2设A是一个环，a,b A,若ab 0,且a 0和b 0,则称a为左零因子，b为右零因子。若一个元素既是左零因子又是右零因子，则称它为零因子。定义3设（A, +, ）是环若A 0,可交换，且无零因子，则称 A是整环。若A满足：（1）A中至少有两个元0和1 （即环中有单位元）；（2）A A 0构成乘法 群。则称A是一个除环。若A是一个可换的除环，则称 A是域。在前述例子中，当n不是素数时，Zn中有零因子，因而不是整环，但当n是素数时，Zn是域。定理1 （Zn, ,?）是域的充要条件是n是素数。环中无左（

23、右）零因子的充分必要条件是乘法消去律成立。因此，在整环中，乘法消 去律成立。定理2 一个非零的有限的无左(右)零因子环是除环。推论有限整环是域。定义4设A和A是两个环，若有一个A到A的映射f满足：对任何a,b A有:f(a b) f(a) f(b),f(ab) f(a)f(b),则称f是一个A到A的同态。如果f是单射，则称f是一个单同态。如果f是满射，则称f是一个满同态。如果f是双射，则称f是A到A 一个同构映射，A和A称为同构。3. 4 域3. 4. 1素域和域的特征域是环的一种，如果一个环至少含有0和1两个元素，每一个非零元均有逆元，即非零元构成乘法群，则此环称为除环，可交换的除环为 域。

24、在一个除环中，由于非零元素构成群，消去律成立，因而除环中无零因子。同样，域 中也无零因子，因而域必须是整环。如果一个域F是个有限集，则称 F是有限域，否则称为无限域。F的元素个数|F称为 域的阶。定理1设F是域，则元素1在(F, +)中的阶数或为某个素数 p,或为无穷大。定义1设F是域，若元素1在(F, +)中的阶数为素数 p,则称p为域F的特征。若元 素1在(F, +)中的阶数为无穷大，则称 F的特征为0, F的特征记作chF。关于域有以下的结论：(1)若chF=0,则F是无限域。若F是有限域，则chF是某个素数。(2)若F是特征为p的域，则：(i )对任何a F ,有pa 0 ；(五)对任

25、何 a F ( F =F0)，且 na ma ,贝U n m(mod p)；mmm(iii)对任何a,b F ,有(a b)p ap bp , m为任意正整数。(3) n Z , p为素数，且n不能被p整除，则有：np 1 1(modp)。(4)域F的乘群(F ,?)的任何有限子群都是循环群。3. 4. 2子域与扩域定义2设(K,+, )是域，F是K的非空子集，且(K, +, )也是域，则称F是K的子 域，K是F的扩域，记作FKo设S是域F中的一个非空子集，则包含S的最小子域，称为由S生成的子域，记作S。 由元素1生成的子域称为素域。3. 4. 3扩张次数、代数元和超越元设F是域，K是F的扩域

26、，由于对任何u1,u2 K和对任何a, b F ,有 au1 bu2 K，我们可以把K中元素看作向量，则au1 bu2是向量u1与u2在F上的线 性组合，从而K是F上的一个向量空间 或线性空间，此空间的维数就称为 K对F的扩张次 数，记作(K : F )。当(K : F )有限时，称K是F上的有限扩张，否则称为 无限扩张。扩张次数反映了扩域与子域之间的相对大小，但还没有反映它们的元素在性质上的差别。我们对域中的元素作以下的分类：设 K是F的扩域，uC K,若u是F上的一个多项式 f(x)的根，则称u是F上的代数元，否则称为超越元，多项式f(x)称为u的化零多项式，F 上次数最低的首1多项式的根

27、，称为 u在F上的最小多项式。设u在F上的最小多项式为 m(x),且degm(x)=r ,则称u是F上的r次代数元。有 理数域Q上的代数元称为 代数数，Q上的超越元称为 超越数。设K是F的扩域，若K中的每一元素都是 F上的代数元，则称K是F上的代数扩张域， 否则，称K为F上的超越扩张域。3. 4. 4有限域具有有限个元素的域，称为 有限域。一个有限域的特征必然是某个素数 p,即chF=p, F的素域为Zp,设F对乙的扩张次数为n,即(F:Zp尸n,因为F是Zp上的n维线性空间，存 在一组基 uu2, ,un使 F a1u1 a2u2anun ai Zp,(1 i n)，所以 F中元素n个个数(

28、即F中元素在基Ui,U2, ,un下坐标组的个数)为： p? p? ? p pn。这就是说，有限域的阶为特征之哥。有限域又称为 伽罗瓦(Galois )域，将pn阶有限域记作GF(pn)。3. 4. 5有限域元素的性质GF ( pn)的非零元的集合 GF (pn)是一个乘群，具有以下性质：定理2 GF(pn)是一个pn 1阶循环群。GF(pn)的生成元又叫 本原元。定义3(1)乘群GF(pn)中pn 1阶的元素 称为域GF(pn)的n次本原元。GF(pn)的n 次本原元 在Zp上的最小多项式称为 Zp上的n次本原多项式。 rh(2)若 是万程x 1 0的根，但不是任何x 10(h r)的根，则

29、称 是r次本原单位根或单位原根。由以上定义可以看出， GF(pn)上的n次本原元就是乘群 GF(pn)的生成元，也是 npn 1次本原单位根(即 p 1),可以通过本原元把 GF(pn)表示的更简单一些。 设是GF(pn)的一个n次本原元，则 GF(pn)又可表示为：GF(pn) Zp( )0, , 2, pn 1。定理3任何两个元素个数相同的有限域是同构的。两个同构的域，如果不管它们的实际背景而只考虑它们的代数性质，可以将它们等同 起来看作一个域。伽罗瓦(Galois )域GF(q),(q ),有两种类型：第一种：包含q=p个元素，p为一个素数，这种域同构于整数模 p的同余类域Zp。例如：

30、若在集合Zn0,1,2, ,( p为素数)中定义模p加法和模p乘法，则Zn是域GF(p)。第二种：包含pn个元素，p为素数，n为大于或等于2的整数，称为GF(p)的扩域 GF(pn)。GF ( pn)(n 2)可看成一个多项式环，多项式的最高次数为 (n-1),多项式的系数为 Zp的元素，环中的运算为模 f(x)的多项式加法和乘法，其中，f(x)为Zp上的任一个n次不可约多项式(即f(x)的所有根都不在 Zp上)，则这个多项式环就是有限域GF(pn)。例设Fx是数域F上的多项式环例构造一个8阶的域。解 因为8 23,则 p=2,Z20,1,取 q(x)1 x2 x3Zzx,由于q(0) 0,q

31、(1) 0,故q(x)在Z2上不可约，所以Z2上的扩域：E Z2/(q(x)b0b1xb2x2,biZp0,1,x,1 x,x2,1 x2 ,xx2,1 x x2就是一个8阶的有限域。有限域还具有以下的性质：(1)若F是有限域，则 F的特征(characteristic)chF是某个素数。(2)若F是特征为p的域，则：(i )对任何a F ,有pa 0;(ii)对任何 a F F F 0 ,且 na ma ,则 n m(mod p)；n n n(m)对任何a,b F ,有(a b)p ap bp , n为任意正整数。(3) n Z Z Z 0 , p为素数，且 p?n,则有：np 1 1(mo

32、d p)。(4)域F的乘群(F ,)的任何有限子群都是循环群。以下给出有限域性质(5)(14)的证明，性质(1)(4)的证明参看文献121315。(5) GF(q),q 3中含有(q 1)个本原元，表示欧拉函数，且(q 1) 一定为偶数。证明 设(q 1)的标准分解式为 团：叫 m2mr(q 1)Pi p2pr,式中：Pi,P2,Pr为互不相同的素数，mi Z ,(i 1,2, r)。则：(q 1) (q 1)(1 )(1 -) (1 ,)pj 1 Prmr 1( Pi 1) (Pr 1)PiP2Pr(A-1)注意到(q 1) 一定为正偶数，设(q 1) 2k, k Z。因为q 3,所以：若k

33、 2k1, k1 Z，则(q 1) 22k,所以(q 1)一定为2的倍数，即(q 1) 一定为偶数；Z ，则(q 1)2(2k2 1),所以 Pi,P2, , Pr 中至少有若 k 2k2 1, k2个不为2的素数，即P1,P2, , Pr中至少有一个为奇数，所以 (q 1) 一定为2的倍数,即(q 1) 一定为偶数。综上，(q 1)一定为偶数。(1)GF(q)中含有(q 1)个本原元，表示欧拉函数。2 2.1 1例 对 GF(101),因为 101 1 100 2 5,故(100) 2 5 (2 1)(5 1) 40,所以GF(101)具有40个本原元。(6) GF(q),q 2中含有的本原

34、元最多为(q 1)/2个，当且仅当q 2k 1, k Z时，本原元的个数达到最大值(q 1)/2。证明 因为q为大于或等于2的素数。当q=2时，GF(2)中含有一个本原元一1。设q为大于2的奇数，则(q-1)为偶数。所以与(q-1)互素的正整数必须为奇数，而 小于(q-1)的奇数个数为(q 1)/2,这样小于(q-1)并与(q-1)互素的个数一定小于或等于(q 1)/2,即(q 1) (q 1)/2。所以，GF(q),q 2中含有的本原元个数最多为(q 1)/2个。当 q 2k 1 时，(q 1) 2k, (q 1) (q 1)(1 1/2)(q 1)/2,即 GF (q)中含有的本原元达到最

35、大值 (q 1)/2。若GF (q)中含有的本原元达到最大值(q 1)/2,即(q 1) (q 1)/2,由此可推出：(q 1) (q 1)(1 1/P1)，且 P1 2,即 q 2k 1。设 为GF (q)的本原元，则：(q1)21。证明 因为为GF(q)的本原元，所以 的阶为(q-1),即(q-1)是使(q 1)1的最小正整数。由(q 1) 1 ,可得(q)21。若(q 1)'21，与(q-1)是使(q 1) 1的最小正整数矛盾，所以(q 1"21。(8)设 为GF(q)的本原元，则：1也是GF(q)的本原元，且 1 q2。证明 因为 为GF(q)的本原元，所以的各次哥(

36、k,k 1,2,(q 1)生成GF (q)的所有非零元素，这些非零元素构成循环群，所以k的逆元(k) 1存在且唯一。所有非零元素，所以1也是GF (q)的本原元。因为q 2q 11所以 1 q 2(9)设 为GF (q)中的非零元素，则：q证明设， GF(q),为本原元，k,k 1,2,(q 1)得到：q 1 ( k)q 1( q 1 )k 1k 1(10)设 和 为GF(q)(q 2)的本原元,m, 1 m (q特别地，若为GF (q)的本原元，Pq 1(A-2)(A-3)111 o为任意非零元素，且：(A-4)(A-5)则：1),且m为奇数。1，2，r (q 1)为小于(q-1)并与(q-

37、1)互又因为k的逆元为(1)k,所以每个(1)k存在且唯一。即1的各次哥生成GF(q)的素的正整数的集合，则：GF(q)的所有本原元可表示为：1, r2, r(q1),即Pq证明假设2n (n Z )为659)的本原元，则：(2n)(q 1"2 ( (q 1)n 1 ,当q>2时，这与性质(7)是矛盾的(在 GF(2)中，1 1 (mod 2),但这种情况只出现在 GF(2)中)。因此，当q>2时，GF(q)中的一个本原元不能是另一个本原元的偶次哥。即GF(q)中的一个本原元只能是另一个本原元的奇次哥。即：m, 1 m (q 1),且m为奇数。设 1 r q 1,且 rP

38、q 1 ,则存在 n q 1,使得 rn l(q 1),l Z ，则:( r)n rn l(q 1)1 ，因为 n q 1 ，所以 r 不是本原元。另外，设1 r (q 1),且rPqi,n是使(r )n 1的最小正整数，则n等于(q-1),即 r 的阶为 (q-1) ，所以 r 是本原元。所以 GF (q) 的所有本原元可表示为： k , kPq 1 ，即 GF (q) 中含有 (q 1)个本原元。(11) 有限域 GF (q) 中， 具有(q 1)2 个本原元， 其中， 为欧拉 函数， 为正整数。所有2个本原元可分为两组，设为 Q)和 )，每组 个元素，这两组的元素之间可用某个哥指数n(1

39、<n<q-1),且(n,q-1)=1)来联系，即：(n).(n)i 1 i,若哥指数n改变值，则I组与n组对应的元素对会发生改变，但每组的元素个数不变，都为。证明 设 为 GF (q) 的本原元，Pq 11, r2 , r (q 1) 为小于 (q-1) 并与 (q-1) 互素的正整数的集合，由有限域性质(10) 可知， GF (q ) 的所有本原元可表示为： k , kPq 1 。设 nPq 11r2,r (q 1) ，由 (k,q 1) 1, (n,q 1) 1 ，可得：(k n m(q 1),q 1) 1, 1 (k n m(q 1) q 1, m 0,1,2,， 所 以k n m(q 1)kn 为本原元。设k1, k2Pq 1,k1 k2 ，则：k1 n m1(q 1)k2 n m2(q 1),