导数系列：一类以自然指数对数为背景的导数压轴题解法教师版

1、一类以自然指数和对数为背景的压轴题解法注：本文以目前数学成绩在一本线上下的学子的数学水准，进行展开讲解。根据“遗传学规律”明年全国乙卷再次考到的可能性极大，打出来给学生将保准学生横扫此类压轴题！源于课本：1-1课本99页B组1题或课本2-2第32页B组1题的习题：利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图像直观验证：ex 1 x；【探究拓展】探究1:证明不等式ex 1 x*变式1:设f(x) ex x a ,其中a R,若对于任意x R, f(x) 0恒成立，则参数a的取值范围是 a 1变式2:设f(x)exax 1 ,其中aR,若对于任意xR,f(x)0恒成立，则参数a的取值范围是 a

2、1变式3:设f(x)aexx 1 ,其中aR,若对于任意xR,f(x)0恒成立，则参数a的取值范围是 a 1点评：太巧了：增之一分则太肥，减之一分则太瘦探究2:不等式ex 1 x*有哪些等价变形并在坐标系中画图？变形1: ex 1 x1变形2: e x 1x 1变形 3: ln(1 x) x(x 1)变形 4： in x x 1(x 0) *1变形 5: In x 1(x 0) x1变形 6: In x 1(x 0) x归一：我们只要通过画图并记住 ex 1 x*, Inx x 1(x 0)*即可，考试出现了其它变形换元转化为这2个不等式即可。探究3:观察：“插中”不等式(当然是我编的名字)变

3、形 4： ln x x 1(x 0) *1变形 6: In x 1(x 0)* x两式相加除以2,试比较：左边lnx还是右边-(x 1)的大小并证明:2 x结论：“插中”不等式*:若0 x 1,则lnx - x.；若x 1,则lnx - x -;2 x2 x请在坐标系中画出图像：这个图像很漂亮，容易记住。点评：数学很美，插中不等式很明显是加强，更加精准了，在高考中经常考到，往后看 总结：ex 1 x*, lnx x 1(x 0) * “插中”不等式*，以上三式都是将自然指数和对 数放缩为我们更加熟悉的一次函数或者反比例函数进行放缩处理。题型一：化3为指数型ex 1 x放缩例1 (2010年全国

4、)设函数 f x ex 1 x ax2。(1)若a 0,求f x的单调区间；(2)若x 0时f x 0,求a的取值范围。(提示：ex x 1)解：(1) a 0时，f(x) ex 1 x, f'(x) ex 1.当x ( ,0)时，f'(x) 0；当x (0,)时，f'(x) 0.故f(x)在(，0)单调减少，在(0,)单调增加(2) f '(x) ex 1 2ax由(I)知ex 1 x,当且仅当x 0时等号成立.故f'(x)x 2ax (1 2a)x ,1 .从而当 1 2a 0,即 a 时，f'(x) 0 (x 0),而 f(0) 0, 2于

5、是当x 0时，f (x) 0.xx1由e 1 x(x 0)可得e 1 x(x 0).从而当a 时，2_xxx xxf'(x) e 1 2a(e 1) e (e 1)(e2a),故当 x (0,ln2a)时，f'(x) 0 ,而 f (0) 0 ,于是当 x (0,ln 2a)时，f (x) 0.1综合得a的取值范围为（，.2练习1： (2012年全国)已知函数 f x f' 1 ex 11 2.(2)右f x x ax b,求a 1 b的最大值。2.1 2f 0 x x,（1）求fx的解析式及单调区间; 2（很简单,省略）练习2: （2013年全国）已知函数 f xxe

6、 In x m .当m 2时，证明f x0.（很简单，省略）练习3： （2016年广一模）已知函数 f x exm x3,g x In x 1 2。1）若曲线y f x在点0, f 0 处的切线斜率为1,求实数 m的值。2）当m 1时，证明：f x g x x3。（2016年广二 模也有用到）练习4：已知函数f（x） ex ax 1（a 0,e为自然对数的底数）.求函数f（x）的最小值； 若f （x） >0对任意的x R恒成立，求实数a的值;在的条件下，证明：(1)n (-)n(')n (n)n 二(其中n N*).n nn n e 1解：(1)由题意 a 0, f (x) ex

7、 a ,由 f (x) ex a 0 得 x In a.当 x ( ,lna)时，f (x) 0；当 x (In a,)时，f (x) 0.f(x)在(，lna)单调递减，在(ln a,)单调递增.即f (x)在x In a处取得极小值，且为最小值，其最小值为 f(lna) elna aln a 1 a a In a 1.(2) f(x户0对任意的x R恒成立，即在x R上，f (x)min>0.由(1),设 g(a) a aln a 1.,所以 g(a)n0.由 g (a) 1 In a 1 In a 0 得 a 1.g(a)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)上单调递减，g(a

8、)在a 1处取得极大值g(1) 0.因此g(a户0的解为a 1 ,a 1.(3)由(2)知，因为a 1 ,所以对任意实数 x均有exk /(n nN*, k 0,1,2,3，n 1),则 0 1k k-< e n.，(1 -)n < (e n) nn/2 n/n 1、n n、n (n 1) (n 2)(一)()(-)< e enn nn1 e 1111 e 1 e练习5：已知函数f (x)= eax x ,其中aw 0.(1)若对一切xC R, f (x) >1恒成立，求a的取值集合. 在函数f(x)的图像上取定两点A(x1,f(刈)，B(x2,f (x2)(x1x2)

9、，记直线ABW斜率为K,问：是否存在X0C (xi,X2),使f (Xo) k成立？若存在,Xo的取值范围；若不存在，请说明理由eaxx 1,这与题设矛盾，又 a 0,1 . 1,、一,、,.1 . in 时，f (x) 0, f (x)单调递增，故当x in a aa【答案】(1)若a 0,则对一切x 0, f(x)故a 0.11而 f (x) ae 1,令 f (x) 0,得x -ln.a a-1.1当x ln时，f (x) 0, f (x)单倜递减；当x a a1111 1时，f(x)取取小值f (in) in .aaaa a于是对一切x R, f (x) 1恒成立，当且仅当 in 1.

10、令 g(t) t tintJUg(t) in t.当0 t 1时，g (t) 0,g(t)单调递增；当t 1时，g (t) 0,g单调递减.1故当t 1时，g(t)取最大值g(1) 1.因此，当且仅当一1即a 1时，式成立 a综上所述，a的取值集合为 1 .(2)由题意知，k f(x23)e 2 铲 1.x2 x1x2 x1eax2ea均令(x) f (x) k aeax e-e-,则& x1ax1(x1) ea(x2 " a(x2 x1) 1 ,x2 x1a为(x2)- ea(>1 x2) a(x1 x2) 1 .x2 x令 F(t) et t 1,则 F (t) e

11、t 1 .当 t 0 时，F (t)0,F(t)单调递减；当t 0时，F (t)0,F(t)单调递增.故当 t 0, F(t)F(0) 0,即 S t 1 0.从而ea(x %)a(x1 x2)a(x2 x1) 1 0, ea(x( x2) 10,又eax2 0,一0,x2x1x2x1所以(x1) 0,(沟)0.因为函数y (x)在区间Xi,X2上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在xo (Xi,X2)使1eaX2(Xo) 0, (x) a2eax 0, (x)单调递增，故这样的c是唯一的，且 c -ln故当且仅当a a(x2 x1)1eax2 eaxix (-ln -7区)时，f (Xo)

12、k.aa(x2 x1)1 eax2 eaxi综上所述，存在 Xo (x,X2)使f (Xo) k成立.且x0的取值范围为(一 In,x2).a a(x2 %)【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想，转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求出f(x)取最小值.111 11f(-ln-) - -ln-.对一切XCR, f(x) 1恒成立转化为f(x)min 1 ,从而得出a的取值集合；第 a aa a a二问在假设存在的情况下进行推理，通过构造函数，研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断ln x k一一练习4：

13、 (2。12年山东)已知函数f X,曲线y f x在点1,f 1 处的切线与X轴平行。1)e求k的值；2)求f X的单调区间；3)设g x X2 X f ' X ,其中f ' X为f X的导函数，证明：对任意x o, g (x) 1 e 2。(答案略)例2、(2。11年湖北)已知函数f x ln x x 1,x o,.求函数的最大值；2)设ak,bk k 1,2,., n均为正数，证明：若aha2b2.anbnbib2.bn,则a'abL.abn1 (提示：ln x x 1)1解：(1) f(x)的定义域为(o,)，令 f/(x) 1 1 o x 1,Xf (x)在(o

14、,1)上递增，在(1,)上递减，故函数 f(x)在x 1处取得最大值f(1) o由(I)知当 X (o,)时有 f(x) f (1) o 即 lnx x 1,nnak,bk o, bk lnakbk(ak 1),(k 1,2,L n) ln abkbk(ak 1)k 1k 1nnakbkbkk 1k 1nbkln akk 1IP . . b1 b2bnb1 b2bnoln( a-a2Lan) oaa2Lan1练习1: (2。6年全国)函数f Xx 1 ln x 1 ,若对所有的x 1都有f x ax成立，求实数a的取值范围。(很简单，省略)练习2：已知函数f(x) (x 1)ln x x 1.

15、2(1)右xf'(x) x ax 1,求a的取值范围；(2)证明：(x 1)f(x) 0 .x 11斛：(I) f (x) In x 1 In x 一，xxf (x) xln x 1,2题设xf (x) x ax 1等价于In x x a .1令 g(x) In x x ,则 g (x) 1x''当 0< x< 1 , g (x)> 0；当 x>1 时，g (x)<0 , x 1 是 g(x)的最大值点,g(x)< g(1)1综上，a的取值范围是1,.(n)有(i)知，g(x)< g(1)1 即 Inx x 10 0.当 0&l

16、t;x< 1 时，f(x) (x 1)ln x x 1 x In x (In x x 1)< 0；当x> 1时，f (x) In x (xln x x 1)，“1/、In x x(ln x 1) x,/(11,、In x x(ln 一 1) x x>0练习3: （2014年陕西）设函数fln 1 x ,g x xf' x ,x 0,其中f ' x是f x的导函数。若f x ag x恒成立，求实数 a的取值范围。（很简单，省略）练习4：(2011浙江理22,替换构造)已知函数f(x) 2aln(1 x) x(a 0).求f(x)的单调区间和极值；(1 n)

17、n*求证：4lge lge lgelge lgenn (n 1) (n N ). 2a解：定义域为 1,f'(x) 1.1 x令 f '(x) 01 x 2a 1 ,令 f '(x) 0 x 2a 1故f (x)的单调递增区间为1,2a 1 , f(x)的单调递减区间为2a 1,f(x)的极大值为2aln 2a 2a 1证明：要证4lg e lge lge 23(1 n)nlg e lg e n (n 1) n(1 n)n1nnln e (n 1) nn(1 n)n-即证 / 1 11 lge n (n 1),即证 4 1 12 3 n lg e2 31111 n即证1

18、1113 ln(n 1) (1-)n23nn.1令a -,由可知f (x)在(0, 2)上递减，故f (x) f (0)即 ln(1 x) x ,令 x累加彳导,ln(n 1) 111ln(1 -) ln(1nn1*1 n 1(n N ),故 ln(1-)ln nn n1112 3n1 n1 n-)1(1 -) e 3nn0ln( n1) ln n1111 n故1 2 31 3 ln(n 1) (1 n),得证法二：(11n 0 _) =Cn nC11CnC2 ACn 2n1n!12212n11223,其余相同证法练习5：已知函数f(x)ln( x 1) k(x 1) 1.(1)求函数f(x)

19、的极值点。(2)若f (x) 0恒成立，试确定实数k的取值范围。ln 4而In n解：(1) f (x)的定义域为(1+ oo)f/(x)(n 4)(n 1) (n N,n 1).f/(x)0,则f (x)在(1+ °°)上是增函数。f (x)在(1, +oo)上无极值点.当k 0时，令0,则x所以当x (1,111)时, kf/(x)f(x)在(1,11、一)上是增函数, k、 f/(x)时，)上是减函数。1x 1 一时,kf (x)取得极大值。综上可知，当k0时，f(x)无极值点;当k 0时，f(x)有唯一极值点x(2)由(1)可知，当k 0时，f (2)f(x)0不成

20、立.故只需考虑k 0.由(1)知,1 f(x)max f(1 k)In k若 f(x)0恒成立，只需f ( x) max f (1化简得:k 1,所以k的取值范围是11) k+ oo)ln k0即可,(3)由(2)知,当k 1时理解得：lnxx 1, x1. ln n31 (n 1)(n2 n 1)(n 1)(n1)2.ln n(nN,n 1)ln 231ln38(3 n2ln 4151).一(n(n 4)(n 1)(n N ,n 1)n 1)1)36练习 6：已知函数 f(x) ln(x 1) k(x 1) 1.求函数f(x)的单调区间；若f (x) < 0恒成立，试确定实数 k的取值

21、范围；证明：当 x 2 时，ln(x 1) x 2；Jn-L n(n 1)(n N*,n 1).i i i 141解：函数的定义域为 (1,)中，f (x) k .x 1当kw0时，f (x) 0,则f(x)在(1,)上是增函数.1、1当k 0时，f(x)在(1,1 )上是增函数，在(1 -,)上是减函数.kk由知，当kwo时，f(x)在(1,)上是增函数.而f(2) 1 k 0 , f(x)wo不成立.1 .当k 0时，由知ymax f (1 )ln k ,要使f(x)w。恒成立，则lnkw。，解得k>1.k由知当k 1时，有f (x)在(1,)上恒成立，且f (x)在(2,)是减函数

22、.又 f(2) 0, 当 x 2 时，f(x) f (2) 0,即 ln(x 1) x 2.令x.2.21 n ,则 In n2n 1,即 2ln n (n1)(n 1),从而In nIn 23ln3 ln4 L45In nn 112 32 2 2nL n 1 n(n 1)a 1l 2a则 g(1) 0,b例3、(2010湖北)已知函数f(x) ax - Ca 0)的图象在点(1, f (1)处的切线方程为y x 1. x用a表示出b、c；若f (x户ln x在1,)上恒成立，求a的取值范围；1 11n证明：1 一一 一 ln(n 1) (n 1)2 3 n2(n 1)同事考察综合运用数学知识

23、进行推理论证的能解：本题主要考察函数、导数、不等式的证明等基础知识, 力和分类讨论的思想。bf (1) a b c 0”，则有fa 01，解得.a 1由知，f (x) ax 1 2a,x人 a1. 一,令 g(x) f (x) In x ax 1 2a In x , x 1,xg'(x)当a 12x12ax x (a 1)2xa(x 1)(x 一)(x)0, g(x)是减函数，所以g(x) g(l) of(x)In x ,故 f (x) In x 在1,上恒不成立。61 .a 时, 2若 f(x)ln x ,故当x 1时,f (x) In x。综上所述,所求a的取值范围为1 一当a ”有f(x)ln x(x 1).由知:有当x 1时,.11f (x) (x ) In x(x 12x12(x