平行四边形的性质及判定-典型例题

1、平行四边形的性质及判定 （典型例题）1.平行四边形及其性质例1如图，。是OABCD对角线的交点.ZOBC的周长为59, BD=38, AC=24 ,则 AD=若AOBC <AOAB 的周长之差为 15,贝U ab=Qabcd 的周长=.八七 根据平行四边形对角线互相平分，所以OC = 1分析：22AC,可得BC,再由平行四边形对边相等知 AD=BC,由平行四 边形的对角线互相平分，可知OBC与4OAB的周长之差就为BC 与AB之差，可得AB,进而可得OABCD的周长.解 NBCD中0A=OC =（AC, 0B=0D二;BD （平行四边形的对角线互相平分） OBC 的周长=OB +OC +

2、 EC=-BD+-AC+BC22= 19 + 12 + BC=59. BC=28OABCD 中，. BC=AD(平行四边形对边相等)AD=28 OBC的周长-zOAB的周长=(OB +OC+ BC)-(OB + OA+AB)=BC-AB=15AB=13 UABCD的周长=AB + BC + CD+AD=2(AB + BC)=2(13+28)=82说明：本题条件中的 入OBC占4OAB的周长之差为15"，用符号语言表示出来后，便容易发现其实质，即 BC与AB之差是15.例2判断题(1)两条对边平行的四边形叫做平行四边形.()(2)平行四边形的两角相等.()(3)平行四边形的两条对角线相

3、等.()(4)平行四边形的两条对角线互相平分.()(5)两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段叫 做两条平行线的距离.()(6)平行四边形的邻角互补.()分析：根据平行四边形的定义和性质判断.解：错两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”是两组对边，而不是两条对边.如图四边形 ABCD,两条对边AD/BC.显然四边形ABCD 不是平行四边形(2)错平行四边形的性定理1， “平行四边形的对角相等 ”对角是指四边形中设有公共边的两个角，也就是相对的两个角(3)错平行四边形的性质定理3 ， “平行四边形的对角线互相平分 ”一般地不相等(矩形的两条对角线相等) (4)对根据平行四边形的性质

4、定理3 可判断是正确的(5)错线段图形，而距离是指线段的长度，是正值正确的说法是：两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段的长度叫做这两条平行线的距离(6)对由定义知道，平行四边形的对边平行，根据平行线的性质可 知平行四边形的邻角互补例3 .如图1,在OABCD中，E、F是AC上的两点.且AE=CF ,求证：ED / BF.分析：欲址 DE / BF,只需/ DEC=/AFB = /ABF3CDF, 因 UABCD ,贝U有AB旦CD ,从而有/ BAC= / CDA .再由AF=CF 得AF=CE .满足了三角形全等的条件.证明：; AE=CFAE+EF=CF+EFAF=CE在Qa

5、bcd中AB / CD（平行四边形的对边平行）. / BAC= / DCA（两直线平行内错角相等）AB=CD（平行四边形的对边也相等）/. AABFACDE（SAS）. / AFB= / DCE.ED/BF（内错角相等两直线平行）说明：解决平行四边形问题的基本思想是化为三角形问题不处 理.例4如图已知在 ABC中DE / BC / FG,若BD=AF、求证;DE + FG=BC .分析1:要证DE + FG=DC由于它们是平行线，由平行四边形 定义和性质.考虑将DE平移列BC上为此，过E（或D）作EH / AB（或 DM / AC）,得至U DE=BH、只需证 HC=FG ,因 AF=BD=E

6、H , / CEH= ZA.Z AGF = / C所以 AFG二/ EHC .此方法称为截长法.分析2:过C点作CK / AB交DE的延长线于K,只需证FG=EK ,转证 AFG 二 ACKE .证法1 :过E作EH / AB交于H: DE / BC四边形DBHE是平行四边形（平行四边形定义）DB=EHDE=BH（平行四边形对边也相等）又 BD=AFAF=EH: BC / FG./AGF=/C（两直线平行同位角相等）同理 /A=/CEH/.AAFGAEHC(AAS)FG=HCBC=BH+HC=DE=FG即 CE+FG=BD证法2:.过C作CK / AB交DE的延长线于K.v DE / BC四边

7、形DBCK是平行四边形（平行四边形定义）CK=BD DK=BC（平行四边形对边相等）又 BD=AFAF=CKv CK / ABJ / A=/ ECK（两直线平行内错角相等）: BC / FG. / AGF= / AED（两直线平行同位角相等）又/ CEK= / AED（对顶角相等）. / AGF= / CEK/. AAFGACKE（AAS）FG=EKDE+EK=BCDE+FG=BC例 5 如图=ABCD 中，/ ABC=3 /A,点 E 在 CD 上,CE=1 , EFXCD交CB延长线于F,若AD=1 ,求BF的长.分析：根据平行四边形对角相等，邻角互补，可得/ C=/F=45°进

8、而由勾股定理求出CF ,再根据平行四边形对边相等，得BF的长.解：在 OABCD 中，AD/BC/A+/ABC=180 （两直线平行同旁内角互补）. /ABC=3/A./A=45 , /ABC=135/ C= / A=45° （平行四边形的对角相等） EFXCD. / F=45 （直角三角形两锐角互余）EF=CE=1在RtZSCEF中,CF =壶（勾股定理）AD=BC=1.BF = CF-BC = -1例6如图1,OABCD中，对角线AC长为10cm ,/CAB=30 , AB长为6cm,求 OABCD的面积.解： 过点C作CHXAB,交AB的延长线于点H.(图2)/ CAB=30,

9、-.CH = -AC = - XW=5 22SOABCD =ABCH = 6X5=30(cm2)答：UnABCD的面积为30cm2 .说明：由于0 =底湄，题设中已知AB的长，须求出与底AB 相应的高，由于本题条件的制约，不便于求出过点 D的高，故选择 过点C作高.例7如图，E、F分别在 OABCD的边CD、BC上，且EF / BD求证：SAACE=S AABF分析：运用平行四形的性质，利用三角形全等，将其转化为等 底同高的三角形.证明：将EF向两边延长分别交 AD、AB的延长线于G、H.=ABCD DE II AB. / DEG= / BHF（两直线平行同位角相等）/GDE=/DAB（同上）

10、AD / BC./ DAB=/FBH（同上）./ GDE= /FBH: DE / BH , DB / EH四边形BHED是平行四边形 DE=BH（平行四边形对边相等）.GDEWFBH(ASA) SAGDE=S 4FBH（全等三角形面积相等） .GE=FH（全等三角形对应边相等） .SzACE=SzAFH（等底同高的三角形面积相等）/. SAADE =SAABF说明：平行四边形的面积等于它的底和高的积.即S匚=a ha.a 可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离.即 对应的高，为了区别，可以把高记成 ha,表明它所对应的底是a.例8如图，在 OABCD中，BE平分/ B交CD于点

11、E, DF 平分/ D交AB于点F,求证BF=DE .分析BE=DE （目标） tBEDF 为口 t DE 1/加DF N EE!Z2=Z 3tz 1=Z 3-1=N2TLDEhB/BVD八4人二人t22口 ABCD证明:四边形ABCD是平行四边形. DE / FB , Z ABC= ZADC（平行四边形的对边也平行对角相./ 1=/3（两直线平行内错角相等）而/i=Nadc, Z2=-1zabcbi-aLsa / 1 = Z2 / 2=Z3. DF/ BE（同位角相等两条直线平行）四边形BEDF为平行四边形（平行四边形定义）BF=DE.（平行四边形的对边相等）说明：此例也可通过 ADF二zC

12、BE来证明，但不如上面的方法简捷.例9如图，CD的RtAABC斜边AB上的高，AE平分/ BAC交CD于E, EF / AB,交BC于点F,求证CE=BF .分析作EG / BC,交AB于G,易得EG=BF .再由基本图,可得EG=EC ,从而得出结论.证明:过E点作EG / BC交AB于G点. / EGA= / Bv EF / ABEG=BFv CD为RtAABC斜边AB上的高/ BAC + Z B=90 . Z BAC + Z ACD = 90B= Z ACD/ ACD= Z EGAAE 平分/ BAC1 = Z2又 AE=AE/. AAGEAACE(AAS)CE=EGCE=BF .说明：

13、(2)本题也可(1)在上述证法中，平移”起着把条件集中的作用.以设法平移AE.(连F点作FG / AE ,交AB于G)例10如图，已知 UABCD的周长为32cm, AB : BC=5 : 3,AEXBC 于 E, AFXDC 于 F, / EAF=2 /C,求 AE 和 AF 的长.分析：从化简条件开始由匕ABCD的周长及两邻边的比，不难得到平行四边形的边 长.OABCD 的周长=32 aBWOAB : EC=5 : 3 p |BC=6/ EAF=2 / C告诉我们什么？AF i FC1 ZFAEZC=180°.AE 1 EAF=2 Z Cc=60这样，立即可以看出 ADF、AAE

14、B都是有一个锐角为30°的直角三角形.于是有 DF = AD = tBC = 3再由勾股定理求出解：口ABCD的周长为32cm即 AB+BC+CD+DA=32v AB=CD BC=DA（平行四边形的对边相等）/.AB + BC = - X32 = 162又 AB : BC=5 : 316.'.AB=X5 = 105+3BC= -X3 = 63+3Z EAF+ Z AFC+ Z C+ Z CEA=360 （四边形内角和等于 360°）v AEXBC Z AEC=90AFX DC ZAFC=90 ./ EAF+ ZC=180Z EAF=2 Z C . / C=60 AB

15、 / CD（平行四边形的对边平行）. / ABE= / C=60° （两直线平行同位角相等）同理/ ADF=60在"ABE 中，ZBAE = 30* BE = 1AB = 5£= Jab>=be1=3（cm）在RtAADF中，ZDAF = 30° DF= AP = 1bC = 3,f-jdJ AF = Md* 再户=3后 Cem）说明：化简条件，化简结论，总之，题目中哪一部分最复杂就 从化简那一部分开始，这是一种常用的解题策略，我们把这种解题 策略称为：从最复杂的地方开始.它虽简单，却很有效.2.平行四边形的判定例1填空题如图1,四边形ABCD与四

16、边形BEFC都是平行四边形，则四边形AEFD是，理由是(2)如图2, D、E分别在 ABC的边AB、AC上，DE=EF , AE=EC , DE / BC则四边形ADCF是理由是四边形BCFD 是，理由是分析：判定一个四边形是平行四边形的方法较多，要从已知条 件出发，具体问题具体分析：(1)根据平行四边形的性质可得 AD平 行且等于BC, BC平行且等于EF,从而得AD平行且等于EF,由 判定定理4可得.(2)由AE=EC, DE=EF,由判定定理3可得四边 形ADCF是平行四边形，从而得 AD / CF即BD / CF ,再由条件， 可得四边形BCFD是平行四边形.解：(1)平行四边形，一组

17、对边平行且相等的四边形是平行四边形(2)平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，平行 四边形，两组对边分别平行的四边形是平行四边形.说明：平行四边形的定义(两组对边分别平行的四边形叫做平行 四边形，既是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定 方法.例 2 如图，四边形 ABCD 中，AB=CD . / ADB= /CBD=90 .求证：四边形ABCD是平行四边形.分析：判定一个四边形是平行四边形，有三类五个判定方法, 这三类也是按边、角和对角线分类，具体的五个方法如下表：r( 1)两组对边分别平行的四边形是 平行四边形()从边看 一(2)两组对边分别相等 L(3)一组对边平行且

18、相等(II )从角看 J )两组对角分别相等CIID从对角线看一(5 )对角线互相平分因此必须根据已知条件与图形结构特点，选择判定方法.证法一：; AB=CD . / ADB= / CBD=90 , BD=DB . RtAABDRtACDB. / ABD= / CDB , /A=/C./ ABD+ / CBD= / CDB+ / ADB即 /ABC=/CDA.四边形ABCD是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平 行四边形）.证法二：/ ADB= / CBD=90 , AB=CD、BD=DB . RtAABDRtACDB./ ABD= / CDB .AB/CD.（内错角相等两直线平行）四边形

19、ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是 平行四边形）.证法三：由证法一知，RtAABDRtACDB. DA=BC又,: AB=CD四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平 行四边形）说明：证明一个四边形是平行四边形，往往有多种证题思路， 我们必须注意分析，通过比较，选择最简捷的证题思路.本题三种 证法中，证法二与证法三比较简捷，本题还可用定义来证明.例3如图，OABCD中，E、G、F、H分别是四条边上的点,且AE=CF, BG=DH ,求证：EF与GH互相平分.分析：只须证明EGFH为平行四边形.证明： 连结 EG、 GF、 FH 、 HE 四边形ABCD是平行四边

20、形./A=/C, AD=CB .; BG=DH . AH=CG又 AE=CF/. AAEHACFG（SAS） . HE=GF同理可得 EG=FH 四边形EGFH是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平 行四边形 ） EF与GH互相平分（平行四边形的对角线互相平分）.说明：平行四边形的性质，判定的综合运用是解决有关线段和角问题基本方法例 4 如图，OABCD 中，AELBD 于 E, CFLBD 于 F.求证：四边形AECF是平行四边形.分析：由平行四边形的性质，可得 ABEACDFAE= CF进而可得四边形AECF是平行四边形.证明：OABCD 中，ABCD（平行四边形的对边平行，对边相等）

21、 ./ABD=/CDB（两直线平行内错角相等）AEBD、CFXBDAE / CF / AEB= / CFD=90/. AABEACDF（AAS）AE=CF四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）说明：平行四边形的定义，既是平行四边形的一个性质，又是 平行四边形的一个判定方法.例5如图，IOABCD中，E、F分别在AD、BC上，且AE=CF , AF、BE相交于G, CE、DF相交于H求证：EF与GH互相平分分析：欲证EF与GH互相平分，只需四边形EGFH为平行四 边形，利用已知条件可知四边形 AFCE、四边形EBFD都为平行四 边形，所以可得 AF/EC, BE/D

22、F,从而四边形GEHF为平行四 边形.证明：l=ABCD中，AD上BC（平行四边形对边平行且相等）AE=CF /.DE=BF四边形AFCE、四边形BFDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平形四边形）. AF / CE , BE / DF（平行四边形对边平行）四边形EGFH是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平 行四边形）GH与EF互相平分（平行四边形的对角线互相平分）说明：平行四边形问题，并不都是以求证某一个四边形为平行 四边形的形式出现的.往往更多的是求证线段的相等、角的相等、 直线的平行、线段的互相平分等等.要灵活地根据题中已知条件， 以及定义、定理等.先判定某一四边形为平行

23、四边形，然后再应用 平行四边形的性质加以证明.例6如图，已知 OABCD中，EF在BD上，且BE=DF ,点G、 H在AD、CB上，且有AG=CH , GH与BD交于点O,求证EG = HFH C分析：证EF、GH互相平分 号GEHF为平行四边形.K C证明：连 BG、DH、GF、EH .ABCD为平行四边形. AD g BC又 AG=HC . DG 上 BH 四边形BGDH为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.HO = GO, DO=BO（平行四边形的对角线互相平分）又 BE=DFOE=OF四边形）.EG旦HF.（平行四边形的对边平行相等）说明：由于条件BE=DF涉及到对角线BD,所以考虑用对角线互相平分来证明例 7 如图，OABCD 中，AELBD 于 E, CFLBD 于 F, G、H分别为AD、BC的中点，求证：EF和GH互相平分.分析： 连结EH, HF、FG、GE,只须证明EHFG为平行四边 形.证法一:连结 EH, HF、FG、GEV AEXBD, G 是 AD 中点.-GE = c3D =-AD2/GED=/GDE同理可得hf = hb = ec, Zhfe = Zhef四边形ABCD是平行四边形 .AD4BC, /GD