第八章经典力学的哈密顿理论

1、第八章经典力学的哈密顿理论正则坐标和哈密顿函数三种不同形式的哈密顿动力学方程1. 哈密顿正则方程2. 哈密顿原理3. 哈密顿-雅可比方程正则坐标和哈密顿函数为表述空间的位置，引入坐标。常用坐标：（1）直角坐标；（2）平面极坐标；（3）柱坐标；（4）球坐标等功能：（1）用三个坐标值表示空间的一点的位置（2）确定空间一组相互正交的单位矢量（有了单位矢量，任何一个有方向的力学量都可以统一用这组矢量表示） 区别：（1）直角坐标与物体的运动无关，是固定不变的（2）曲线坐标的单位矢量是随着质点所在的位置而改变的，（3）自然坐标由质点的速度方向决定坐标1 .广义坐标：Li Li q,&t设拉格朗日方

2、程为:d L1 dt &L2 L2 q,(&t又设：拉格朗日方程为:L2L2令:上式甲fL2Lif q，t是变量q,t的任意函数，则:df q,tdt所以由:d L2_d L出（&出率3 fq,t a，出q& dt出串L2 qdtfq,t二 - -f q,tq q dtf q,tdtq,td L1 dt &可以得到：L2d L2 dt &即：通过拉格朗日方程，对于两个不同的拉格朗日量可以解得同一个广义坐标。经典力学中，一个力学体系的拉格朗日函数不是唯一的，不同的拉格朗日函数可以相差一项:df q,tdt由于f(q,t)是任意函数，因此，一个力学体

3、系的拉格朗日函数可以有无穷多个。2 .广义动量p T若拉格朗日函数是唯一的，则与广义坐标相对应的广义动量也是唯一的，两者一一对应。1Li2L2但是，由于拉格朗日函数l；l2都包含有广义速度q&因此p_q&和p-q&将是两个不同的力学量，由于 f (q,t)是任意函数的，因此，与广义坐标对应的广义动量也有无穷多个。用数学语言表述为：广义动量和广义坐标是完全独立的。若取f f(t),只是时间的函数，则 p和q就一一对应了。但是，这是一个规范条件，这个规范条件并非理论本身所必需的。条件：(1)保留广义坐标的概念不变L(2)保留广义动量的定义 p&不变，(3)对f (q

4、,t)不做任何限制，问题：若使p和q保持独立地位：(A) 力学理论如何？(B) 是否会带来经典力学和拉格朗日理论中没有的优点？回答上述问题的理论即为哈密顿理论!3. 两个变量的勒让德变换一组独立变数变为另一组独立变数的变化称为勒让德变换。设：f f x, y则:df udx vdy上式我们是以 x, y为变量，实际上我们可以用fu xfv - yx, y,u,v任意两个量作为变量。若取：y,u为独立变量，则：x x(u,y)v v u, y此时函数f也为y,u的函数记为：f f u, y f x u,y ,y此时我们不能将 x, v表述成为:对于ffff xxv uyyX yy设:则:ff X

5、Xu一 u x uug f ux对于:fx一 v u 一yyff xxu - ux uu当自变量为x, y时:f u -df udx vdyxfv - y当自变量为y,u时，若仍用f f u,y，则:即：勒让德变换!df xdu vdy4.哈密顿方程:通过拉格朗日方程建立哈密顿方程:广义动量和广义速度为:g f ux f x xq&q& q& p,q,t式中的（&g& p,q,t是以 p,q,t为变量的函数上述方程是拉格朗日方程的另一种表述形式。但是上面方程并不对称定义哈密顿函数:H p,q,tp q& l取全微分形式：dH dLp d(&

6、; (& dp而：L L q,4tdL-dq d(&-Ldtq q&t&dq p dq&Ldt所以:dH& dq p d&dttp d&&dp同时:则:& dq (&dpLdt tH H p,q,tdHH dpH dqHdt比较上面两式得到哈密顿正则方程：(&PHqLt拉格朗日方程是s个二阶微分方程，而哈密顿正则方程是2s个一阶微分方程,拉格朗日方程和哈密顿正则方程完全等价哈密顿函数对时间的全微商：dHH o H o Hq&& dtqp t(&H &P代入上式:dH

7、dtH H q p当H不显含时间时,所以:即:dH c 0 dtH const若拉格朗日函数除包含&q,t之外还包含其它参数如，则：dL &dq p d(&-Ldt - d代入dH dL p dq& (& dp得到：dH& dq p d&Ldt tLd&dp&dq 隼dpLdt t由：H H p,q,t,得:所以:非保守力体系下:dHdpdqp,qHdttp,qq& - p&-HQq中的哈密顿函数和正则方程例1. 写生粒子在中心势场V解：粒子的拉格朗日函数为：L 工m &r2 &22rLq&

8、amp;得:mr2 & m& && Prm&，2 mr机械能:H T V2m&2 r2&2；22Pr2212r 2 Pmr2Pr由哈密顿函数定义得：h p q& l得:Hpr& pm&2mr2& N&2r2&72m&2 r2&27上式与机械能形式相同正则方程：(&&HPHqfor rforHPr& Pr m&3 P 2mr r& P mr2& 0由:& p mr2& 0p mr2 && 0pmr2

9、 & const例2. 带电粒子在电磁场中的哈密顿函数：解：12r rL 一 mv e eA?v2由广义动量的定义得：rL r rp mv eA哈密顿函数的定义:- r 一 r 12H p(& L P?v L mve2由:r mvr eA得:r 1 r r v p eA m所以:12mv e21 r r 2 p eA 2m量子力学中常用的哈密顿量例3. 设带电粒子的电荷为e,在电荷为 Ze的电场中运动。取球坐标r,为广义坐标，设电子的质量为m电子的运动速度:v2 & r2&r2sin&2电子在核力场中以速度rv运动时，动能和势能:T 1 mv222m&a

10、mp;2&r2sin&2拉格朗日函数:Ze21 Ze240L 2m& r2&r2 sin&2一r计算p哈密顿函数为:PrPP&L &L&pr m&2 & p mr J2 mr2 sin12m代入正则方程中:p (& L L pr&p&p&12122 p 2 . 2 pr r sin&r&&11212&r3 P32 Pmr mr sin112&-2P cosmr sin&0r&&&H PrHP HP&正m&

11、amp;42mr&2_2- Pmr sin上式即为由哈密顿正则方程求生的电子在核力场中的运动方程由于H中不含有,所以:由:PrmP2 mr122mr sin&0 p constprm&2 &pmr &22 opmr sin&&mi&& m 2rr&& r2&&p m 2rr&sin2& 2r2 sin cos && r2 sin2同时:12123 P 3 P 一 mr mr sin rm&&mr2 &2 一 一2mr sinmr&

12、; mr & mrsin252(*)r右边第二项是关于82 项，由 pmr2sin2 &得:& mr2Sin2 Pp const所以m&& mr &123 2p mr sin而:2p cos12. 3mr sind 2 &mr & dtd 221*mr &2p cosdtmr2sin3由于和*都不包括故电子一定在一个平面内运动，这正是我们预期的，因为电子受的是有心力，如果令此平面为方程为：0的平面，则& 00。而电子在平面内运动的mr& mr &123. 2 Pmr sinddtmr2 &1

13、2；-p cos2 3mr sinmr& mr &- 0rd 25mr & 0dt5. 变分问题的欧拉方程(1) 第一性原理：在力学中起“几何公理”作用，可以由它推导由全部力学定律得原理或假设称为第一性原理例如：牛顿定律为第一性原理，以牛顿定律作为第一性原理建立的牛顿力学或称为 经典力学体系最容易理解。但是，牛顿定律不是唯一的作为第一性原理的理论！1788年拉格朗日发表的分析力学以虚功原理为第一性原理。目前许多教材以达朗贝尔原理为第一性原理。最小作用量原理物理学的第一性原理(2) 变分法：变分符号：(3)变分代数:设:A A p,q,tB B p,q,t则:AB ABB

14、AB2(4)变分的意义：微分和变分是不同的,(i)曲线C (实线)是S维空间中的一条曲线，且质点遵循 运动定律运行时的轨道，即动力轨道或称为真实的轨道。(ii) C曲线为邻近C的一条曲线，但不是质点的动力轨道，唯C和C的两个端点 P P t ti和P2 P2 t t2相同。(iii)设质点M沿C运动，而想象另一个质点M 沿C运动，它们同时自Pi Pi t匕点由发，同时到达 P2 P2tt2。(vi)我们把相差甚微的 C与C之间的差称为变分。用表示，以区别来自同一曲线轨道上由于自变数微小变化而引起的差异的微分符号d。在P p t匕和P2P2tt2上有:qpiqp2 0(a)如果 P以及P是C和C

15、上两个对应点，即，M和M同时自P1点由发，分别经C和C 运动，当M到达P点时，M到达P点。(b) Q是P附近的一点，并且在和 P点相同的轨道上。(c)若 P P q ,t 则：P P q q ,t , Q Q q dq(d)在C线上的Q点可以从两个方面来考虑：一个方面：PQ Q另一个方面：PPQ但是:P Q Q P P Qq42dqq dq1 44442444 4Q Qdq q dqdq即d与q42 田 d q q 144 44 244443P Qq q dq d qd q对易！所以一般情况下,dq d tdt2ddq dq dt d qq2dtdtdt2dt.d与出不对易，若 t 0则：dt

16、d q dt这种情况称为等时变分，而d与d7不对易的变分称为全变分或不等时变分。(5)泛函数的变分:铅直平面内，所有连接两个定点A和B的曲线中，找由一条使初始速度为零的质点在自力作用下自A无摩擦下滑时以最短时间到达B o泛函数：如果 y(x)是x的函数，则J y x 称为函数y(x) 的泛函数。质点A沿光滑曲线y(x)自由下落时，速度 v与y的关系为：v <2gyds 1 vdt dtdx2 dy,1 y2dxdtdydx由A下落到B点所需的时间:XbdtxAXbdxxb需要知道:所以最速落径问题是泛函数的极值问题。xAxA,1 y2 小 dx 2gyJminJ取极值的条件为:xp Axp Axp-p-xp AP 7bexp "Pxpxpbe1xbe对于固定的A点和B点NayB所以:f一 yx2yxiffyx2- yyyf一NbyfNay由于所以:X2xifydx yy dx 0由于 y是任意的，所以:dx欧拉方程!ffdy fdfy yyyydx ydx yf d f y y ydx y若f f y,y不显含x ,则:d r fdfdff yy 一dx ydx dxyffy yyyf d fy dx y所以:const y依题意:1 y2J2gyf不显含 X ,因此，满足欧拉方程的初积分形式为: