模糊关系与模糊矩阵（课堂PPT）

1、.1智能控制智能控制4.1.3 模糊关系与模糊矩阵模糊关系与模糊矩阵上海大学自动化系上海大学自动化系-杜鑫杜鑫4. 模糊数学与模糊控制模糊数学与模糊控制4.1.3 模糊模糊关系与模糊矩阵关系与模糊矩阵 4.1.3.1 普通关系普通关系 4.1.3.2 模糊关系模糊关系 4.1.3.3 模糊关系的矩阵表示模糊关系的矩阵表示 4.1.3.4 模糊关系的运算模糊关系的运算 4.1.3.5 模糊向量模糊向量4.1.3 模糊模糊关系与模糊矩阵关系与模糊矩阵 4.1.3.1 普通关系普通关系 4.1.3.2 模糊关系模糊关系 4.1.3.3 模糊关系的矩阵表示模糊关系的矩阵表示 4.1.3.4 模糊关系的

2、运算模糊关系的运算 4.1.3.5 模糊向量模糊向量大小关系大小关系父子关系父子关系弟兄关系弟兄关系朋友关系朋友关系 4.1.3.1 普通关系普通关系v常见的常见的普通普通关系关系普通关系是用数学方法来描述普通集合中的元素普通关系是用数学方法来描述普通集合中的元素 之间有无关联。之间有无关联。 普通关系的定义：集合普通关系的定义：集合A和和B的的直积直积A B的一个的一个 子集子集R，称作，称作A到到B有二元关系，简称关系有二元关系，简称关系 由两个集合由两个集合U与与V的各自元素的各自元素u U及及v V构成的序偶构成的序偶（u，v）的集合，称为）的集合，称为U与与V的直积。的直积。(笛卡尔

3、积笛卡尔积),U Vu v uU vV直积（笛卡尔积）直积（笛卡尔积）v普通普通关系的定义关系的定义 4.1.3.1 普通关系普通关系4.1.3 模糊模糊关系与模糊矩阵关系与模糊矩阵 4.1.3.1 普通关系普通关系 4.1.3.2 模糊关系模糊关系 4.1.3.3 模糊关系的矩阵表示模糊关系的矩阵表示 4.1.3.4 模糊关系的运算模糊关系的运算恨之切恨之切长的像长的像大的多大的多爱之深爱之深v常见的常见的模糊模糊关系关系 4.1.3.2 模糊关系模糊关系l定义模糊集定义模糊集A和和B的直积的直积A B的一个模糊子集的一个模糊子集R称为称为A 到到B的二元模糊关系，其序偶的二元模糊关系，其序

4、偶(a,b)的隶属度为的隶属度为 l 模糊集的直积运算法则与普通集合的直积运算相同模糊集的直积运算法则与普通集合的直积运算相同。),(baRnAAAR21为为n元模糊关系元模糊关系l若论域为若论域为n个集合的直积，则称个集合的直积，则称 4.1.3.2 模糊关系模糊关系v模糊模糊关系的定义关系的定义例例1： 设设X为横轴，为横轴，Y为纵轴，直积为纵轴，直积XY是什是什么？其上的么？其上的普通普通关系关系xy是什么？是什么？YXY=XR:XY0 4.1.3.2 模糊关系模糊关系v模糊模糊关系关系 & & 普通普通关系关系120,( , )1001,()Rxyx yxyxy（）当当

5、x-y=1时，时，R(x,y)=0.0099 4.1.3.2 模糊关系模糊关系v模糊模糊关系关系 & & 普通普通关系关系例例2：设设X为横轴，为横轴，Y为纵轴，直积为纵轴，直积XY是整是整个平面，其上的个平面，其上的模糊模糊关系关系R=“x远大于远大于y”，怎，怎么表示？么表示？当当x-y=10时，时，R(x,y)=0.5 4.1.3.2 模糊关系模糊关系v模糊模糊关系关系 & & 普通普通关系关系例例2：设设X为横轴，为横轴，Y为纵轴，直积为纵轴，直积XY是整是整个平面，其上的个平面，其上的模糊模糊关系关系R=“x远大于远大于y”，怎，怎么表示？么表示？12

6、0,( , )1001,()Rxyx yxyxy（）当当x-y=100时，时，R(x,y)=0.99 4.1.3.2 模糊关系模糊关系v模糊模糊关系关系 & & 普通普通关系关系例例2：设设X为横轴，为横轴，Y为纵轴，直积为纵轴，直积XY是整是整个平面，其上的个平面，其上的模糊模糊关系关系R=“x远大于远大于y”，怎，怎么表示？么表示？120,( , )1001,()Rxyx yxyxy（）学生甲、乙、丙参加艺术五项全能比赛，各学生甲、乙、丙参加艺术五项全能比赛，各项均以项均以20分为满分，比赛结果如表所示分为满分，比赛结果如表所示。学生学生唱歌唱歌跳舞跳舞乐器乐器小品小品绘画

7、绘画甲甲1814191315乙乙1618121911丙丙1910151218v模糊模糊关系关系 & & 普通普通关系关系 4.1.3.2 模糊关系模糊关系若令若令18分以上为优，可写出分以上为优，可写出A到到B的普通关系为：的普通关系为：（0-1矩阵形式给出矩阵形式给出）100010101000101R学生甲、乙、丙参加艺术五项全能比赛，各学生甲、乙、丙参加艺术五项全能比赛，各项均以项均以20分为满分，比赛结果如表所示分为满分，比赛结果如表所示。v模糊模糊关系关系 & & 普通普通关系关系 4.1.3.2 模糊关系模糊关系 若我们用若我们用20分除各分数，得到的

8、数值作为分除各分数，得到的数值作为“优优”的的隶属函数，可求出甲、乙、丙与隶属函数，可求出甲、乙、丙与“成绩优成绩优”的模糊的模糊关系为：关系为： 唱歌唱歌跳舞跳舞乐器乐器小品小品绘画绘画甲甲0907095065075乙乙080906095055丙丙095050750609学生甲、乙、丙参加艺术五项全能比赛，各学生甲、乙、丙参加艺术五项全能比赛，各项均以项均以20分为满分，比赛结果如表所示分为满分，比赛结果如表所示。v模糊模糊关系关系 & & 普通普通关系关系 4.1.3.2 模糊关系模糊关系 若我们用若我们用20分除各分数，得到的数值作为分除各分数，得到的数值作为“优优”的的

9、隶属函数，可求出甲、乙、丙与隶属函数，可求出甲、乙、丙与“成绩优成绩优”的模糊的模糊关系为关系为（以模糊矩阵形式给出）（以模糊矩阵形式给出）：学生甲、乙、丙参加艺术五项全能比赛，各学生甲、乙、丙参加艺术五项全能比赛，各项均以项均以20分为满分，比赛结果如表所示分为满分，比赛结果如表所示。9 . 06 . 075. 05 . 095. 055. 095. 06 . 09 . 08 . 075. 065. 095. 07 . 09 . 0Rv模糊模糊关系关系 & & 普通普通关系关系 4.1.3.2 模糊关系模糊关系4.1.3 模糊模糊关系与模糊矩阵关系与模糊矩阵 4.1.3.1

10、普通关系普通关系 4.1.2.2 模糊关系模糊关系 4.1.2.3 模糊关系的模糊关系的(矩阵矩阵)表示表示 4.1.2.4 模糊关系的运算模糊关系的运算 若论域若论域XY是是连续或无限的连续或无限的，则该论域上，则该论域上的关系不能用矩阵来表示，通常用的关系不能用矩阵来表示，通常用隶属函隶属函数数来表示来表示( , ),( , )|( , ),( , )0,1RRRx yx yx yXYx yv模糊关系的表示模糊关系的表示 4.1.2.3 模糊关系的模糊关系的(矩阵矩阵)表示表示 若论域若论域XY是是有限集有限集，（普通）（普通）模糊模糊关系关系可以表示为可以表示为（0-1）模糊模糊矩阵，也

11、可用矩阵，也可用图表图表法来表示法来表示 ,( ,)ijijRiiRrrx y 11, ,.,.,( ,)0,1nmijijRijijijA BRRAxxByyRrAixYjyRx yrr当论域均为有限集时，模糊关系可用模糊矩阵 表示。设，模糊矩阵的元素 表示论域 中第 个元素 与论域 中的第 个元素对于模糊关系 的隶属程度，即，。模糊矩阵模糊矩阵 4.1.2.3 模糊关系的模糊关系的(矩阵矩阵)表示表示v模糊矩阵模糊矩阵【例例】子女和父母子女和父母“相像相像”的关系可以有以下的的关系可以有以下的模糊矩模糊矩阵阵表示：表示：父父 母母v模糊矩阵模糊矩阵 4.1.2.3 模糊关系的模糊关系的(矩

12、阵矩阵)表示表示例例 设设X=Y=1,2,3,4,5,6, XY中的中的XY的一般关系的一般关系以及以及 XY的模糊关系的模糊关系可分别表示为：可分别表示为：000000100000110000111000111100111110R 4.1.2.3 模糊关系的模糊关系的(矩阵矩阵)表示表示v一般关系矩阵一般关系矩阵 vs vs 模糊关系矩阵模糊关系矩阵0000000.1000000.30.100000.50.30.10000.70.50.30.10010.70.50.30.10RXYXY4.1.3 模糊模糊关系与模糊矩阵关系与模糊矩阵 4.1.3.1 普通关系普通关系 4.1.2.2 模糊关系

13、模糊关系 4.1.2.3 模糊关系的矩阵表示模糊关系的矩阵表示 4.1.2.4 模糊关系的运算模糊关系的运算, ,( ),()(),(),(1)ijn mijn mijijn mijijn mijn mR S RrSsRSrsRSrsRrRSR对任意模糊矩阵，则分别称此三式为模糊矩阵 和 的并、交运算及模糊矩阵 的求补运算。v模糊矩阵的运算模糊矩阵的运算( (交，并，补运算交，并，补运算) ) 4.1.2.4 模糊关系的运算模糊关系的运算 5 . 08 . 003 . 07 . 05 . 04 . 09 . 06 . 09 . 004 . 0,8 . 07 . 019 . 0008 . 007

14、 . 01 . 018 . 0SR【例例】给定下面两个模糊矩阵，求其交，并，补运算给定下面两个模糊矩阵，求其交，并，补运算v模糊矩阵的运算模糊矩阵的运算( (交，并，补运算交，并，补运算) ) 4.1.2.4 模糊关系的运算模糊关系的运算【例例】给定下面两个模糊矩阵，求其交，并，补运算给定下面两个模糊矩阵，求其交，并，补运算 5 .02 .017 .03 .05 .06 .01 .04 .01 .016 .0,5 .07 .003 .0004 .006 .01 .004 .02 .03 .001 .0112 .013 .09 .002 .0,8 .08 .019 .07 .05 .08 .09

15、 .07 .09 .018 .0SSRRSRv模糊矩阵的运算模糊矩阵的运算( (交，并，补运算交，并，补运算) ) 4.1.2.4 模糊关系的运算模糊关系的运算定义为定义为( , )( , )|R x yRx yR例：给定模糊矩阵例：给定模糊矩阵0.30.8100.510.30.910.20.60.7R则：则：0.8011001011000R0.8( , )1213222431( , )|0.8( ,),( ,),(,),(,),(,)R x yRx yx yx yxyxyxy 4.1.2.4 模糊关系的运算模糊关系的运算v模糊矩阵的运算模糊矩阵的运算( (截阵截阵) )l 在日常生活中，两个

16、单纯关系的组合，在日常生活中，两个单纯关系的组合， 可以构一种可以构一种新的合成关系。例如，有新的合成关系。例如，有u,v,w 三个人，若三个人，若u是是v的妹的妹妹，而妹，而 v又是又是w 的丈夫，则的丈夫，则 与与 就是一种新的关系，就是一种新的关系，即姑嫂关系。用关系式表示的话即姑嫂关系。用关系式表示的话,可写作姑嫂可写作姑嫂=兄妹兄妹*夫妻夫妻,其中是其中是*合成运算符合成运算符v模糊矩阵的运算模糊矩阵的运算( (合成合成) ) 4.1.2.4 模糊关系的运算模糊关系的运算l 模糊关系合成是指，有第一个集合和第二个集合之模糊关系合成是指，有第一个集合和第二个集合之间的模糊关系及第二个集

17、合和第三个集合之间的模间的模糊关系及第二个集合和第三个集合之间的模糊关系得到第一个集合和第三个集合之间的模糊关糊关系得到第一个集合和第三个集合之间的模糊关系的一种运算系的一种运算l 模糊关系的合成，因使用的运算不同而有各种定义，模糊关系的合成，因使用的运算不同而有各种定义，我们这里介绍最为常有的我们这里介绍最为常有的max-min合成法合成法v模糊矩阵的运算模糊矩阵的运算( (合成合成) ) 4.1.2.4 模糊关系的运算模糊关系的运算R1=“x与与y相关相关”R2=“y与与z相关相关”X=1，2，3，Y=y1,y2,y3,y4,Z=a,bR1= R2=R3（2，a）= max(min(0.4

18、,0.9),min(0.9,0.7)2 . 03 . 08 . 06 . 09 . 08 . 02 . 04 . 07 . 05 . 03 . 01 . 02 . 06 . 03 . 01 . 07 . 05 . 02 . 09 . 0X=2Z=a例：例：v模糊矩阵的运算模糊矩阵的运算( (合成合成) ) 4.1.2.4 模糊关系的运算模糊关系的运算123y1y2y3y4ab0.40.20.80.90.90.20.50.7v模糊矩阵的运算模糊矩阵的运算( (合成合成) ) 4.1.2.4 模糊关系的运算模糊关系的运算QRQ RQR模糊矩阵 与 的合成又称 对 的模糊乘积，或称模糊矩阵的乘法。v

19、模糊矩阵的运算模糊矩阵的运算( (合成合成) ) 4.1.2.4 模糊关系的运算模糊关系的运算1(),()(),1,1ijn mjkm likmikijjkjQqRrQ RnlSSiksQiRksqrinkl 设是两个模糊矩阵，它们的合成是一个 行 列的模糊矩阵 ， 的第 行第 列的元素等于 的第 行元素与 的第 列对应元素两两先取较小者，然后再在所得结果中取较大者，即运算规则：运算规则：按矩阵运算规则按矩阵运算规则元素相乘时，隶属度元素相乘时，隶属度“取小取小”；(MIN)元素相加时，隶属度元素相加时，隶属度“取大取大”。(MAX)111211122122212211111221111212

20、222111222121122222max min,ikijjkikkjSQ RsqrqrqqrrQRqqrrqrqrqrqrQ Rqrqrqrqr 即：若，则：v模糊矩阵的运算模糊矩阵的运算( (合成合成) ) 4.1.2.4 模糊关系的运算模糊关系的运算0.2 0.50.6 0.5,0.70.10.4 0.9QR【例例】：给定下列两个模糊矩阵，求它们的合成：给定下列两个模糊矩阵，求它们的合成v模糊矩阵的运算模糊矩阵的运算( (合成合成) ) 4.1.2.4 模糊关系的运算模糊关系的运算0.20.50.60.50.70.10.40.9Q R 0.20.40.20.50.60.10.50.10

21、.40.50.60.5(0.20.6)(0.50.4)(0.20.5)(0.50.9)(0.70.6)(0.10.4)(0.70.5)(0.10.9)【例例】：给定下列两个模糊矩阵，求它们的合成：给定下列两个模糊矩阵，求它们的合成v模糊矩阵的运算模糊矩阵的运算( (合成合成) ) 4.1.2.4 模糊关系的运算模糊关系的运算模糊矩阵的合成不满足交换律：模糊矩阵的合成不满足交换律：v模糊矩阵的运算模糊矩阵的运算( (合成合成) ) 4.1.2.4 模糊关系的运算模糊关系的运算例例:某家中子女与父母的长像相似关系某家中子女与父母的长像相似关系R为模糊关系为模糊关系，可表示为，可表示为也可以用模糊矩

22、阵也可以用模糊矩阵R来表示来表示R父母子0.20.8女0.60.11 .06 .08 .02 .0Rv模糊矩阵的运算模糊矩阵的运算( (合成合成) ) 4.1.2.4 模糊关系的运算模糊关系的运算S祖父祖母父0.50.7母0.1001 . 07 . 05 . 0Sv模糊矩阵的运算模糊矩阵的运算( (合成合成) ) 4.1.2.4 模糊关系的运算模糊关系的运算该家中父母与祖父母的相似关系也是模糊关系，该家中父母与祖父母的相似关系也是模糊关系，可表示为可表示为用模糊矩阵用模糊矩阵S S可表示为可表示为6 , 05 , 02 , 02 , 0) 01 . 0() 7 . 06 . 0() 1 . 0

23、1 . 0() 5 . 06 . 0() 08 . 0() 7 . 02 . 0() 1 . 08 . 0() 5 . 02 . 0(01 . 07 . 05 . 01 . 06 . 08 . 02 , 0SR这一计算结果表明孙子与祖父、祖母的相似程这一计算结果表明孙子与祖父、祖母的相似程度为度为0.2、0.2；而孙女与祖父、祖母的相似程；而孙女与祖父、祖母的相似程度为度为0.5、0.6。v模糊矩阵的运算模糊矩阵的运算( (合成合成) ) 4.1.2.4 模糊关系的运算模糊关系的运算对称性、对称性、传递性、传递性、R RR0.10.20.300.10.2000.1R模糊矩阵的模糊矩阵的合成运算

24、合成运算满足下列性质：满足下列性质：v模糊矩阵的运算模糊矩阵的运算( (合成合成) ) 4.1.2.4 模糊关系的运算模糊关系的运算()TTRR4.1.3 模糊模糊关系与模糊矩阵关系与模糊矩阵 4.1.3.1 普通关系普通关系 4.1.3.2 模糊关系模糊关系 4.1.3.3 模糊关系的矩阵表示模糊关系的矩阵表示 4.1.3.4 模糊关系的运算模糊关系的运算 4.1.3.5 模糊向量模糊向量若对任意的若对任意的i i( (i i=1,2,=1,2, ,n n) )，都有，都有 ，则称向量，则称向量 为模糊向量。其转置称为列向量，即为模糊向量。其转置称为列向量，即 nTaaaa21 1 , 0 ia),.,(21naaaa 4.1.3.5 模糊向量模糊向量v模糊向量的定义模糊向量的定义1212111212122212( , )( )( ),.,.(),.ijnnnniiijrnnnnxxR x yA xB yy yyxxyxyxyxyxyxyxyxX yYxyxyxy v模糊向量的叉积（模糊向量的叉积（笛卡尔乘积笛卡尔乘积） 4.1.3.5 模糊向量模糊向量例：已知两个模糊向量分别为：例：已知两个模糊向量分别为：)1