中考复习讲义：三种构造辅助圆解题的模型(word文档良心出品)

1、中考热点：三种构造辅助圆解题的模型一、问题导读“圆”是一个完美的图形，在初中数学中具有丰富内容，其中大部分是与角度相关性质，如在圆周角中能轻易找到，等角和直角并与圆心角联系也比较紧密，通过在图形中构造辅助圆往往能获得意想不到的效果，如果题目中出现了以下条件：三点及三点以 上到同一点距离相等，作辅助圆；同一侧有相等的角，或者需要构造出相等的角时，作辅助圆；若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆.在这些情况下，借助圆 去解决一些问题都是非常好的一个选择，下面举例说明这三种构造辅助圆解题的模型应 用。二、典例精析 类型1根据共端点等线段模型，根据圆的定义构造圆1 .如图，已知 OA= OB=

2、 OQ 且 / AOB= k/BOC 则/ ACB是/ BAC的(A. k/2 倍 B . k 倍 C . 2k D . 1/kAOB= 2/ACB【分析】由 OA= OB= OC得到A, B, C在以。为圆心的同一个圆上，则/ BOC= 2 / BAG 而 / AOB= k / BOC 即可彳#至 / ACB= k / BAC【解答】: OA= OB= OQ A, B, C在以。为圆心的同一个圆上，如图，/AOB= 2/ACR / BOC= 2/BAC,而/ AOB= k/BOC 即 2/ACB= k2 / BAG / ACB= k/BAC 故选：B.2.如图，在 RtABC 中，/ C=

3、90° , AC= 6, BC= 8,点 F 在边 AC 上，并且 CF= 2,点 E为边BC上的动点，将 CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（）A. 1.5 B . 1.2 C . 2.4 D ,以上都不对【分析】先依据勾股定理求得AB的长，然后依据翻折的性质可知PF= FC,故此点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FP± AB时，点P至ij AB的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可.【解答】如图所示：当 PE/ AB.在 RtABC中，.一/ C= 90° , AC= 6, B

4、C= 8, .由勾股定理可求得AB= 10,由翻折的性质可知：PF= FC= 2, / FPE= Z C= 90° . PE/ AB, . / PDB= 90° .由垂线段最短可知此时FD有最小值.又二 FP为定值，PD有最小值.又. / A= /A, / ACB= / ADF, AFA ABC.AF/AB=DF/BC,即 4/10=DF/8 ,解得：DF= 3.2 .PD- DF- FP= 3.2 -2=1.2 .故选：B.【解析】: AB= BC= BD,得到A, C, D在以B为圆心的同一个圆上,/ ACD=1/2/ ABD, / DAC=1/2/ DBC, / AB

5、C4 ABD +/ DBC =80° / ACD吆 DAC=1/2/ ABD+1/2 / DBC=1/2( / ABD+Z DBC)= 1/2 X 80° =40，/ADC= 180° - (/ DAC吆 ACD = 180° -40° = 140故答案为：140.4.如图，在四边形 ABCD 中，AB= AC= AD,若/ BAC= 25° , / CAD- 75° ,则/ BDC=度，/ DBC=度.故答案为：12.5 , 37.5 .法二：. AB= AC= AD,3.如图2所示，在凸四边形 ABCD中,AB=BC=B

6、D,/ABC=80 ,则/ ADC的度数为AB= AC= AD, .,.点 B, C, D在以A为圆心的圆上,. / BAC= 25° ,/ BDC= 1/2 / BAC= 12.5 / CAD- 75/ DBC= 1/2 / CAD- 37.5ADB= / ABR / ACB= / ABC； / ADC= / ACD . / BAC= 25° , Z CAD= 75° , ./ ACB= ( 180° - 25° ) + 2=77.5 ° , / DAB= / DAC+/ CAB= 100° ,ZADCC= / ACD=

7、( 180° - 75° ) + 2=52.5 ° , ./ ADB= ( 180° - 100° ) + 2=40° , / BDC / ADO / ADB= 52.5 - 40 = 12.5 ° ,/DCB= / DCA+Z ACB= 52.5 ° +77.5 ° =130° , / DBC 180° - / DCB- / BDC 180° - 130° - 12.5 ° = 37.5 ° . / BDC 12.5 ° , / DB

8、O 37.5 ° .类型2直角模型，依据直径所对的圆周角是直角，构造三角形的外接圆解题5.如图所示，矩形 ABCGW矩形CDEF全等，点BCD在一条直线上，/ APE的顶点P在线 段BD上移动，使得/ APE为直角的点P的个数是 个.【分析】一/ APE的顶点P在线段BD上移动，且/ APE为直角，点 P也在以AE为直径的。的圆上运动；.以 AE为直径作。0,。与BD的交点即为所求.【解答】点 BCD在一条直线上，/ APE的顶点P在线段BD上移动，/ APE为直角，点P在以AE为直径的。0的圆上运动，点 P就是。0与BD的交点，由图示知，BD与。0有2个交点.故答案为：2.【点评】

9、本题主要考查了圆周角定理：直径所对的圆周角是直角.解答该题时，采用了“数形结合”的数学思想.6.已知：如图，直尺的宽度为 2, A、B两点在直尺的一条边上，AB= 6, C、D两点在直尺的另一条边上.若/ ACB= Z ADB= 90° ,则C、D两点之间的距离为 .【分析】由/ ACB= Z ADB= 90° ,根据90°的圆周角所对的弦是直径，可得A, B, C, D在以AB为直径的圆上， C, D即是此圆与直尺的交点，设 E为AB中点，可得EC是半径为 3,然后作EF，CD交CD于F,根据垂径定理可得：CD= 2CF,然后由勾股定理求得CF的长，继而求得答案

10、.【解答】设 E为AB中点，ACB= Z ADB= 90° ,，A, B, C, D在以AB为直径的圆上， 连接 DE, CE,贝U CE= DE= 1/2AB=3,作 EF± CD交 CD于 F,CD= 2CF,. AB/ CREF= 2,在 RtCFE和 RtDFE中，CF= V5, C CD= 2V5.故答案为: 2vz5.【点评】此题考查了圆周角定理，垂径定理以及勾股定理等知识.此题拿度适中，解题 的关键是由/ ACB= Z ADB= 90° ,根据90°的圆周角所对的弦是直径，得到A, B, C, D在以AB为直径的圆上.7.已知 RtABC中

11、，AC= 5, BC= 12, Z ACB= 90° , P是AB边上的动点(与点 A、B不 重合)，Q是BC边上的动点(与点 B C不重合)(1)如图，当PQ/ AC,且Q为BC的中点时，求线段 CP的长；(2)当PQ与AC不平行时， CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由.J【分析】（1）根据平行线等分线段定理得到点P是斜边的中点，再直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，要求线段CP的长，只需根据勾股定理求得AB的长.（2）若PQ与AC不平行，则要使 CPQ成为直角三角形.只需保证/CPQ= 90° .根据直径所对的圆周角

12、是直角，则分析以CQ为直径的圆和斜边 AB的公共点的情况：一是半圆和AB相切；二是半圆和AB相交.首先求得相切时CQ的值，即可进一步求得相交时CQ的范围.【解答】（1）在 RtABC中Z ACB= 90° , AC= 5, BC= 12, . AB= 13;.Q是 BC的中点，CQ= QB又. PQ/ AC,AP= PB,即 P 是 AB 的中点，RtABC 中，CP= 13/2.（2）当AC与PQ不平行时，只有/ CPM直角， CPQ才可能是直角三角形.以CQ为直径作半圆 D,当半圆D与AB相切时，设切点为 M连接DM则DML AB,且 AC= A隹 5, . MB= AB-A隹

13、13-5=8;设 CD- x,则 DW x, DB= 12-x;在 RtDMB中,DB= DM+MIB即（12 x） = x+8,解之得 x= 10/3 ,CQ= 2x=20/3 ;即当CQ= 20/3且点P运动到切点 M位置时， CPQ为直角三角形.当20/3 vCQc 12时，半圆 D与直线AB有两个交点，当点 P运动到这两个交点的位置时， CPQ为直角三角形当0vCQ< 20/3时，半圆D与直线AB相离，即点P在AB边上运动时，均在半圆D外，/CP比90° ,此时 CPQ不可能为直角三角形.当20/3 W CQ< 12时， CPQ可能为直角三角形.8.已知平面直角坐

14、标系中两定点A(-1,0),B(4,0), 抛物线y=ax+bx-2过点A,B,顶点为C, 点P(m,n)为抛物线上一点,其中n<0.(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标；(2)当/APB为钝角时，求m的取值范围.【分析】(1)利用待定系数法求出解析式，再利用x=0得出y的值即可得出 C点坐标.(2)因为AB为直径，所以当抛物线上的点P在OC的内部时，满足/ APB为钝角，进而得出m的取值范围；解:(1)(1)二.抛物线 y=ax+bx2 (aw0)过点 A, B,a-b-2=0, 16a+4b-2=0 ，解得：a=1/2, b=-3/2,抛物线的解析式为：y=1/2x - 3/2x -

15、 2,当 x=0 时，y= 2,，C (0, - 2);(2) A(-1,0),B(4,0), 抛物线与y轴的交点 D的坐标为(0,-2),如图，抛物线的对称轴与x轴的交点为M(3/2,0), AD=1+2=5,AB=(4+1) =25,BD=4+2=16+4=20,贝U AD+BD=AB,由勾股定理的逆定理 ，知 ABD是直角三角形，/ADB=90 ,以M为圆心，以MA为半径作圆则。M经过点D,则。M内抛物线上的所有的点都可以是P点，且使/ APB为钝角,根据抛物线及圆的对称性，。M与抛物线的另一个交点坐标为(3,-2),则满足条件的 m的取值范围为：-1<m<0或3Vm<

16、4.类型3四点共圆模型(1)若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆；(2)动点对定线段所张的角为定值.9 .如图2,在平面直角坐标系 xOy中，点A的坐标为(0,苗)，点B的坐标为(0, n), 其中m> n>0.点P为x轴正半轴上的一个动点，当/APB达到最大时，直接写出此时点P的坐标.【解析】当以 AB为弦的圆与x轴正半轴相切时，对应的/ APB最大，根据垂径定理和勾 股定理即可求解.当以 AB为弦的圆与x轴正半轴相切时，作 CDL y轴，连接CR CB. ,A的坐标为(0, m),点B的坐标为(0, n),，D的(0 ,左即 BC 二 PC 二等，中，BC 二等,BD

17、 二号，则 CD = JbcZ-ED* = Vim .贝 OP = CD =Vnri，故 P 的坐标是(“不,0 )，10 .在平面直角坐标系中，已知点 A (4, 0)、B(- 6, 0),点C是y轴上的一个动点， 当/ BCA= 45°时，点 C的坐标为 .【分析】如解答图所示，构造含有90。圆心角的。P,则。P与y轴的交点即为所求的点C.注意点C有两个.【解答】设线段 BA 的中点为 E, 点 A (4, 0)、B( 6, 0) ,AB= 10, E ( 1, 0).(1)如答图1所示，过点E在第二象限作 EP± BA,且EP= 1/2AB = 5,则易知 PBA为等

18、 腰直角三角形，/ BPA= 90° , PA= PB= 5V2;答图1第2 I以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作。巳与y轴的正半轴交于点 C,一/ BCA为0P的圆周角，BCA= 1/2/BPA= 45° ,即则点 C即为所求.过点P作PF，y轴于点F,则OF= PE= 5, PF= 1 ,在 RtPFC中，PF= 1 , PC= 5V2,由勾股定理得：CF= 7,OC= OF+CF= 5+7=12,点C坐标为（0, 12）;（2）如答图2所示，在第3象限可以参照（1）作同样操作，同理求得y轴负半轴上的点C坐标为（0, - 12）.综上所述，点 C坐标为（0, 12）

19、或（0, - 12）.故答案为：（0, 12）或（0, - 12）.【点评】本题难度较大.由 45°的圆周角联想到 90°的圆心角是解题的突破口，也是本 题的难点所在.11.已知 ABC是等腰直角三角形， AC= BC= 2, D是边AB上一中点，将 CAD绕C逆时 针向旋a得到 CER其点E是点A的对应点，点 F是点D的对应点.DF与AE交于点 M 当a从90°变化到180°时，点M运动的路径长为 .【分析】先证明 A、D M C四点共圆，得到/ CMR / CAD= 45° ,即可推出点 M在以AC为直径的。O上，运动路径是弧 CD,利用弧

20、长公式即可解决问题.【解答】CA= CE, C况 CF, / CA± / CEA / CD已 Z CFD / AC氏 / ECF, / ACE= / DCF, 2ZCAE ACE= 180° , 2/CDF吆 DCF= 180° , . . / CAE= Z CDF. A、D、ML C 四点共圆，CMF= / CAD= 45° , / CMD= 180° -乙 CMF= 135° .（补充：不用四点共圆的方法：由 OAS ODM推出 AOD COM推出/ OCM= / OAD即可证明 / CMF= / CDM它 DC阵 / CAO廿

21、OAD= / CAD= 45 ° ） . O是 AC中点，连接 OD CM AD= DB, CA= CB,CD± AB,/ ADC= 90° , A、D、M C四点共圆，当 a从90°变化到180°时，点M在以AC为直径的。O上，运动路径是弧 CQ . OA = OC , CD = DAr .DOiAC , .-.zDOC = 90° ,二长二 喘”吾.二.当ct从90°变化至!1180口时，点M运动的路径长为分.故管室为。H .W心【点评】本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、平行线的判定和性质、弧长公式、四点共圆等知识，解题的关键是发现A、D> M C四点共圆，