必修一上函数性质单调性奇偶性题型

1、百度文库-让每个人平等地提升自我第3讲函数性质一、函数的单调性1.增函数、减函数定义 设函数y f (x)的定义域为集合I ：增函数定义如果对于属于定义域I内某个区间 D上的任意两个自变量的值xi、X2 ,当x X2时，都有f(x1) f(x2),那么就说在f(x)这个区间D上是增函数;减函数定义如果对于属于定义域I内某个区间 D上的任意两个自变量的值为、x2 ,当x x2时，都有f(xi) f (x2),那么就说f (x)在这个区间D上是减函数.2.单调函数、单调区间定义如果函数y f(x)在区间D是增函数或减函数， 那么就说函数y f(x)这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y f(x

2、)的单调区间.3.增函数、减函数的等价定义任取 xi,x2 a,b,则等价定义1f(x) f(x2)0xi x2f(xi) f(x2)0X x2f (x)在a,b上是增函数;f(x)在a,b上是减函数.等价定义2供 x2)f(x) f(x2) 0f(x)在a,b上是增函数;(xi x2) f (xi)f (x2) 0 f (x)在a,b上是减函数.4.对单调性概念的理解:(i)函数的单调性只能在定义域内讨论，可以是整个定义域，也可以是定义域的某个区间.(2)有些函数在其定义域内不具有单调性，如y x' y x2； /有些函数在其整个定义域内都具有单调性，如y x, y x3；(3)当函

3、数在闭区间上单调时，区间包不包括端点都可以，但习惯上写成闭区间的形式；因为对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以区间端点处不具有单调性;ii百度文库-让每个人平等地提升自我(4)函数单调性定义中的 xi、X2应取自同一单调区间且具有任意性；(5)在单调区间上，增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的；5 .定义法证明函数单调性的步骤/任取，作差、变形(一般是因式分解、配方、分子或分母有理化),判断符号，结论.6 .复合函数分析法/设？Skip Record If£?, ?Skip Record If？Skip Record If.?, ?Skip R

4、ecord If.?Skip Record If.?在？Skip Record If.?上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表：题型一：求函数的单调区间，常用以下四种方法。1.定义法【例1】 试用函数单调性的定义判断函数f(x) * 在区间(0, 1)上的单调性.X 1【例2】证明函数y X3在定义域上是增函数.【例3】 根据函数单调性的定义，证明函数 f(x)x3 1在(，)上是减函数.【例4】 证明函数f(x)、/x在定义域上是减函数.22百度文库-让每个人平等地提升自我【例5】 讨论函数

5、f(x) -x( 1 x 1)的单调性. x 11 、【例6】求函数f(x)=x+ 的单调区间。 x【例7】求证：函数f(x) x a (a 0)在(Ta,)上是增函数x1【例8】 已知f(x)是定义在R上的增函数，对 xCR有f(x)>0 ,且f(5)=1 ,设F(x尸f(x)+ ,讨论F (x)的f(x)单调性，并证明你的结论。【例9】 已知函数f (x)对任意实数x, y均有f(x y) f (x) f(y).且当x>0时，f(x) 0 ,试判断f (x)的单调性，并说明理由.33百度文库-让每个人平等地提升自我【例10 已知给定函数f(x)对于任意正数x, y都有f(xy)

6、= f(x) f(y),且f(x)w0,当x 1时，f (x) 1 .试判断f(x)在(0,)上的单调性，并说明理由./2.图象法【例11如图是定义在区间5, 5上的函数y f(x),根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？【例12】求函数y 1 2x| 2 x的单调减区间44百度文库-让每个人平等地提升自我【例13】求下列函数的单调区间：,、，、1 ，、 y | x 1| ; y x ( x 0). x【例14】求下列函数的单调区间：2 y |x 1| |2x 4| ； y x 2|x| 3【例15作出函数y |x2 x|的图象，并结合图象写出它的单调区间.【

7、例16】画出下列函数图象并写出函数的单调区间22 y x 2| x | 1(2) y | x 2x 3|3.求复合函数的单调区间【例17】求函数y -1 的单调区间.x x 255百度文库-让每个人平等地提升自我【例18】讨论函数y "x 2x 3的单调性.题型二：利用单调性求函数中参数的取值范围【例19】设函数f (x) (2a 1)x b是R上的减函数，则a的范围为()B. aC. a【例20】函数y x2bx c(x 0,)是单调函数的充要条件是(A. b 0 B. b 0C. b 0D . b 0【例21】已知f(x)A. (0,1)C.五，-2a (ax a x) ( a

8、0且a w 1)是R上的增函数.则实数a的取值范围是a 2 B. (0, 1)|J 五,/D. (0, 1)|J 收).66百度文库-让每个人平等地提升自我题型三：函数的单调性与方程、不等式【例22 已知f(x)在区间()上是减函数,/ a, b R且a b 0,则下列表达正确的是(A. f(a)f(b)f(a) f(b)C. f (a) f(b)f(a)/f(b)B. f(a) f(b) f( a) f( b)D. f(a) f(b) f( a). f( b)【例23若f(x)是R上的减函数,且f (x)的图象经过点 A(0 , 3)和点B(3 ,1),则不等式| f (x 1) 1| 2的

9、解集为( ).A . (,3)B . (,2)C. (0, 3) D. ( 1,2)77【例24 设f(x)是定义在R上的函数，对 m、(1)求证:f(0) 1;(3)求证：f(x)在R上是减函数;n R恒有 f (m n) f (m) f (n),且当 x 0 时，0 f (x) 1。(2)证明：x R时恒有f (x) 0 ；(4)若 f (x) f (2 x) 1 ,求 x 的范围。【例25 设f(x)是定义在(0,)上的单调增函数，满足 f(xy) f(x) f (y), f(3) 1求：(1) f (1); (2)1当 f(x) f (x 8) 2时 x 的取值范围.【例26】已知f(

10、x)是定义在R上的增函数，且f(?) f(x)/f(y). y /求证：f(1) 0, f(xy) f (x) f(y);百度文库-让每个人平等地提升自我1若f(2) 1 ,解不等式f(x) f() 2.x 3【例27】设n 1, f(x)是定义在有限集合A 1, 2, 3, M|, n上的单调递增函数，且对任何f(x)f(y)f(x)f(y).那么，(A. n 2B. n 3 C. n 4题型四：函数的最值【例28】求函数f(x)1x 一 , x 0的取小值.x88【例29】求函数y xx_1 Wx 1的最小值.【例30】求函数y Jx 1 Jx1的最值.百度文库-让每个人平等地提升自我二、

11、函数的奇偶性1 .奇函数定义/如果对于函数定义域内任意一个X,都有f( x) f(x),那么函数f(x)就叫奇函数.2 .偶函数定义/如果对于函数定义域内任意一个x,都有f( x) f(x),那么函数f(x)就叫偶函数、3 .函数的奇偶性定义如果一个函数是奇函数或偶函数，则称这个函数在其定义域内具有奇偶性.注：(1)函数可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数.(2)奇函数、偶函数定义域关于原点对称.(3 )定义域关于原点对称是函数f (x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件.4 .判断函数奇偶性的步骤先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再根据f( x)与f(

12、x)的关系做出判断,为了便于判断，有时需要将函数进行化简.5 .判断函数奇偶性的方法/(1)奇偶性定义是判断函数奇偶性的主要方法./(2)为了便于判断，有时将函数解析式化简后利用奇偶性定义的等价形式：/f( x) f (x) 0函数为奇函数； f( x) 1函数为奇函数(f(x) 0); f( x) f (x) 0 函数为偶函数;f(x)立) 1 函数为偶函数(f(x) 0)./f(x)(3)根据函数图像的对称性判断奇偶性：/图像关于原点对称的函数是奇函数，图像关于y轴对称的函数是偶函数.(4)利用基本函数的奇偶性结论判断(具体内容见后面附录二)99百度文库-让每个人平等地提升自我(5)由任意

13、一个定义域关于原点对称的函数f(x),均可构造出一个奇函数 g(x) f(x) f( x)/2、一个偶函数 h(x) f(x) f( x)/2 .(6)利用以下结论判断奇偶性：/奇函数土奇函数=奇函数，偶函数土偶函数 二偶函数，奇函数x奇函数 =偶函数，奇函数x偶函数 二奇，偶函数x偶函数=偶函数等./'5.有关函数奇偶性的结论(1 )奇函数在关于原点对称的区间内具有相同的单调性(如果具有单调性)(2)偶函数在关于原点对称的区间内具有相反的单调性(如果具有单调性)(3)若奇函数f(x)在x 0处有定义，则f(0) 0.(4)若f(x) 0,且f(x)定义域关于原点对称，则函数f(x)既

14、是奇函数，又是偶函数.目如隹典例分析/题型一：判断函数奇偶性1.判断函数奇偶性可以直接用定义，"而在某些情况下判断 f(x) f(-x)是否为0是判断函数奇偶性的一个重要技 巧，比较便于判断.【例1】 判断下列函数的奇偶性：/y 1; x.,42_ y x x 2 ； y x3 x ；1010百度文库-让每个人平等地提升自我(4) yx31 .【例2】判断下列函数的奇偶性:4 f(x) x ；55,、1 f(x) x ； f (x) x x,、1 f(x) x【例3】判断下列根式函数的奇偶性并说明理由:(1)f(x) (x 1)卜(2)f(x尸x2 1 x-1(3)x2 1 x+11

15、111【例4】判别下列函数的奇偶性：(1) f(x) x2 5|x|；(2) f(x) |x 1| |x 1|;(3) f(x) x2 x3.、x2 1 x-1【例5】判断函数f(x)= :一的奇偶性.x2 1 x+1百度文库-让每个人平等地提升自我(2) 函数奇偶性的定义，有下面的结论：在公共定义域内(1 )两个偶函数之和(积)为偶函数；/八、(2)两个奇函数之和为奇函数；两个奇函数之积为偶函数；(3) 一个奇函数和偶函数之积为奇函数.3【例6】/若函数f(x尸(x x)g(x)是偶函数，且f(x)不恒为零，判断函数 g(x)的奇偶性.【例7】 函数y f(x)与y g(x)有相同的定义域，

16、对定义域中任何x,有f (x) f( x) 0, g(x)g( x) 1,则F(x)2f(x)g(x) 1f(x)是(A.奇函数C.既是奇函数又是偶函数B.偶函数D.非奇非偶函数题型二：求解析式与函数值1212百度文库-让每个人平等地提升自我1 .利用函数奇偶性可求函数解析式.【例8】 设f(x)是R上的奇函数，且当x 0,)时，f(x) x(1 次)，那么当x (,0)时，f (x)=.【例9】 已知偶函数f(x)的定义域为R,当xR时，f(x)= x2 3x-1 ,求f(x)的解析式.设 x<0,则一x>0【例10】已知函数f(x)为R上的奇函数，且当 x 0时f(x) x(1

17、 x).求函数f(x)的解析式.【例11】已知函数f(x) (m2 1)x2 (m 1)x n 2,当m,n为何值时，f(x)是奇函数?【例12】已知f(x)是偶函数，x 0时，f (x)2x2 4x,求x 0时f(x)的解析式.【例13】已知f(x)是定义域为R的奇函数，当x 0时，f(x) x2 x 2,求f(x)的解析式.1313百度文库-让每个人平等地提升自我【例14】y f(x)图象关于x 1对称，当xwi时，f(x) x2 1 ,求当x 1时f(x)的表达式.ax 1【例15】已知函数f(x) -(a,b,c Z)是奇函数，且f 2, f (2) 3,求a,b,c的值. bx c2

18、 .对于函数奇偶性有如下结论：定义域关于原点对称的任意一个函数f(x)都可表示成一个偶函数和一个奇函数之和.-1 _即 f(x)= 一 F(x)+G(x)其中 F(x) = f(x)+ f(-x),G(x) = f(x) -f(-x)2利用这一结论，可以简捷的解决一些问题.x2 x【例16】te义在R上的函数f(x)= -2,可表不成一个偶函数g(x)和一个奇函数h(x)之和，求g(x) , h(x).x 1【例17】已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数并且f (x) g(x) x 1 ,则求f (x)与g(x)的表达式.1414百度文库-让每个人平等地提升自我1【例18】已知f(x)是前函

19、数，g(x)是偶函数，且f(x) g(x) ,求f (x)、g(x).x 13.利用函数奇偶性求函数值【例 19】已知 f(x)x2 ax3bx 8且 f( 2) 10,.求 f(2).【例20】 若f(x)是定义在R上的奇函数，则f (0) =若f(x)是定义在R上的奇函数，f(3) 2,且对一切实数x都有f(x 4) f (x),则f(25)= 、设函数y f(x) (x R且x 0)对任意非零实数 XE满足f(x x2) f(xj “x2),则函数y f (x)是(指明函数的奇偶性)【例 21 已知函数 f (x)2x3x .若x1、x2、x3R 且 x1x20 ,x2x30 ,x3x1 0 .则 f (为)f (x2)f (x3)(),、 /A.大于零 B.小于零 C.等于零D.大于零或小于零/x3 | x | 2x2 x【例22】设函数f(x) x | x2-x的最大值为M ,最小值为m,则M与m满足().2x |x|A. Mm2 B.Mm4/C. M m 2D. M m 4/【例23】函数f(x)在R上有定义，且满足f(x)是偶函数；f(0) 2005;g(x) f (x 1)是奇函数；求f (2005