微专题用圆锥曲线定义解题

1、用圆锥曲线定义解题内容回顾1.圆的定义：平面内与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）2椭圆的定义在平面内与两定点 Fi、F2的距离的和等于常数（大于|FiF2|）的点的轨迹叫做椭圆 这两个定点叫做椭圆的焦 月 两焦点间的距离叫做椭圆的焦叫_3-双曲线的定义平面内动点P与两个定点Fi、F2（|FiF2|=2c>0）的距离之差的绝对值为常数2a（0v 2av2c）,则点P的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点点间的距离叫焦距.4.抛物线的定义在平面内；动点到定点 F的距离与到定直线l的距离相等（定点不在定直线上）的点的轨迹叫做抛物线.题型一利用定义判断轨迹或求轨迹方程（1）利用圆的定义求轨

2、迹方程1 .已知在Rt ABC中，A（0,0） , B（6,0）,求直角顶点C的轨迹方程.解：法一：依题意，顶点C的轨迹是以AB为直径的圆，且去掉端点A,B,圆心坐标为（3,0）,半径为3,故直角顶点C的轨迹方程为（x 3）2 y2 9（ y 0）.法二：设顶点C的坐标为（x,y）,由于AC BC,故kAC kBC1, y 1 , x2 y2 6x 0,x x 6即直角顶点C的轨迹方程为（x 3）2 y2 9（y 0）（2）利用椭圆的定义2.如图，圆O的半径为定长r, A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段 AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q,当点P在圆上运动时，点 Q的轨迹是（）pA

3、.椭圆B.双曲线 C.抛物线 D.圆解析：选 A 连接 CA.由已知得 QA|=|QP|.所以 |QO|+|CA|= QO|+|CP|= |OP| = r.又因为点A在圆内，所以|OA|v|OP|,根据椭圆的定义，得点Q的轨迹是以O, Ao为焦点，r为长轴长的椭圆.（3）利用双曲线的定义3如图，圆O的半径为定长r, A是圆O外一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线 MOP的延长线相交于点 Q,当点P在圆上运动时，点 Q的轨迹是（）A.椭圆B.双曲线C.抛物线 D.圆解析：选B 连接CA.由已知得|QA|=|QP|.所以|CA|-|QO= |QP|-|QO= |OP|= r.又因为点

4、A在圆外，所以|OA|>|OP|,根据双曲线的定义，得点Q的轨迹是以O, A为焦点，r为实轴长的双曲线.（4）利用抛物线的定义求轨迹方程4 .动圆过点（1, 0）,且与直线x= 1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为 .解析：设动圆的圆心坐标为（x, y）,则圆心到点（1, 0）的距离与到直线 x= 1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2= 4x.题型二 根据定义判断曲线的类型5 .已知 ABC的两个顶点A,B的坐标分别是(0, 1),(0,1),且AC, BC所在直线的斜率之积等于m(mw 0).求顶点C的轨迹E的方程，并判断轨迹 E为何种圆锥曲线.解： 设顶点C(x,

5、 y),由题意，知y1 匕1 =m,化简得mx2+y2=1(xw0). x x当mv1时，轨迹E表示焦点在y轴上的椭圆，且除去(0, 1), (0, 1)两点；当m = 1时，轨迹E表示以(0, 0)为圆心，半径是1的圆，且除去(0, 1), (0, 1)两点；当一1vmv 0时，轨迹E表示焦点在x轴上的椭圆，且除去(0, 1), (0, 1)两点；当m>0时，轨迹E表示焦点在y轴上的双曲线，且除去(0, 1), (0, 1)两点.说明由含参数的方程讨论曲线类型时，关键是确定分类标准，一般情况下，根据x2, y2的系数与0的关系及两者之间的大小关系进行分类讨论，本例中由于mw0,而x2与

6、y2的系数相等时 m=- 1,故分mv1, m= 1, 1vmv0, m>0四种情形进行讨论.题型三利用圆锥曲线定义求最值(1)利用圆的定义6.已知直线V2ax+by=1(a, b是实数)与圆O： x2+y2= 1(0是坐标原点)相交于A, B两点，且 AOB是直 角三角形，点 P(a, b)是以点M(0, 1)为圆心的圆M上的任意一点，则圆 M的面积的最小值为 .解析：因为直线与圆 。相交所得4A0B是直角三角形，可知 /AOB = 90。，所以圆心 。到直线的距离为 /2+廿=挈 所以a2= 1-1b2>0，即一Wbw/.设圆M的半径为r,则= |PM|='a2+ (

7、b 1) 2 =2b22b+2 =*(2b),又-g &bv&,所以1 a |PM|nV21, 所以圆M的面积的最小值为(32小)兀.(2)利用椭圆的定义 227 .已知椭圆 1, A(4,0), B(2,4)是椭圆内的两点，P是椭圆上任一点，求| PA| |PB |的最小值 259和最大值.解：A ( 4 , 0 )是椭圆的右焦点，设椭圆的左焦点为F1( 4,0),根据椭圆的定义可得，|PA| |PB| 2a |PFi| |PB | 10 (| PB| |PFJ),又因为 |BF111PB | | PF1 | | BF1 |, |BF1 | . ( 4 2)2 (0 2)2

8、2 10故|PA|+|PB 最大值为 10 2<10 ; |PA|+|PB 最小值为 10 2，i0(3)利用双曲线的定义2_8 .(2015全国新课标I卷文)已知F是双曲线C : x2 1的右焦点，P是C左支上一点， A 0,6 J6 ,8当APF周长最小时，该三角形的面积为 .【答案】12 .6【解析】设双曲线的左焦点为F1 ,由双曲线定义知，| PF | 2a |PF1 |,.APF的周长为 |PA+| PF+|AF|=| PA+ 2a |PF1 |+|AF=| PA+ | PF1 |+|AF+ 2a,由于2a |AF|是定值，要使 APF的周长最小，则|PA+|PF1|最小，即R

9、 A、F1共线，_2 A 0,676 , Fi ( 3,0), 直线AFi的方程为 f 1，即x + 3代入x2工 1整理36,62,68得y2 6褥y 96 0 ,解得y 2褥或y8赤(舍)，所以P点的纵坐标为2展,11S APF S AFFiS PFFi =6 6.6 6 2,6=12 .6.11 22P到准线的距离为d,且点P在y轴上的射影是 M,点Ag, 4),9C.2D. 5(4)利用抛物线的定义 9.已知点P是抛物线y2=2x上的动点，点则|PA|十|PM|的最小值是()7A.2B. 411解：抛物线焦点 F(1, 0),准线x= 11,如图，延长 PM交准线于N,由抛物线定义得|

10、PF|=|PN|, |PA|11 9+ |PM|+ |MN|= |FA|+ |PN|= |PA|+|PF|刁AF|=5,而 |MN|=a，|FA|+|PM 除 5-2=-,当且仅当 A, P, F三点共线时，取 “=”号，此时，点P位于抛物线上，|PA|十|PM|的最小值为2.方法归纳：利用圆锥曲线的定义可以解决三类问题，分别是判断轨迹或求轨迹方程，判断曲线的类型，求范围或最值问题。在解决此类问题时，要善于发现，善于联系，善于利用圆锥曲线的定义。高考链接1.【2013年新课标I卷，20已知圆M: (x+1)2+y2=1,圆N: (x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且 与圆N内切，圆心P的

11、轨迹为曲线C.求C的方程；(2)1是与圆P,圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A, B两点，当圆P的半径最长 时，求|AB|.解：由已知得圆 M的圆心为M(-1,0),半径1=1；圆N的圆心为N(1,0),半径2=3.设圆P的圆心为P(x, v),半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆 N内切，所以|PM|十|PN|=(R+门)+(r2R)=门+2=4.由椭圆的定义可知，曲线C是以M, N为左、右焦点，长半轴长为2,短半轴长为 J3的椭圆(左顶点除外),22其方程为 =1 (x 2).43(2)对于曲线 C上任意一点 P(x, y),由于|PM| |PN|=2R2WZ所以RW2,当且仅当

12、圆 P的圆心为(2,0) 时，R=2.所以当圆P的半径最长时，其方程为(x 2)2+y2=4.若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合，可得|AB|=2j3.若l的倾斜角不为90°,由1不知l不平彳f于x轴，设l与x轴的交点为Q,则|QP |R,可求得Q(14,0),所以可设 l: y=k(x+4).由l与圆M相切得j2kL=1，解得k=一2时，将y41 k .J 4.42=1 ,并整理得7x2+8x 8=0,解得x13,2=.所以7|AB| =1 k2|x218 x1 | 2时，由图形的对称性可知4|AB|= £.综上，|AB|= 2/3 或 |AB|= 18 .2

13、.【2016年新课标I卷，20设圆x2y2 2x 15 0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C, D两点，过B作AC的平行线交 AD于点E .(I)证明EAEB为定值，并写出点 E的轨迹方程;|QM |(n)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆 A交于P,Q两点, 求四边形MPNQ面积的取值范围.2解：(I)圆A整理为x 12y 16 , a坐标 1,0 ,如图,QBE/AC，则 / C / EBD ,ZEBD ZD, 则 EB ED , AE EB AE由 AC AD,则/ D ZC ,ED AD 4 |AB|根据椭圆定义为一个

14、椭圆，方程为，(y0)；x42(n) C1 ：-4因为PQ±l，设 PQ : y m xx联立l与椭圆C1: x24my 12y323m26my圆心A到PQ距离dm 1 1 |,1 m2|2m |1 m2所以 |PQ| 2j|AQ|2 d2 2 ,16 m2T 岂3m2 4 ,11 m 、1 m2x4| MN | , 1 m | yMyN | . 1. 36m2 36 3m2 4m 二23m 4212 m 13m24Smpnq1|MN | | PQ| 221 12 m2 3m2 44、.3m2 424 m2 112,8.3.1m 3m 4巩固提升1.ABC中，A为动点,B、C为定点,

15、B(a,0),C(a,0),且满足条件 sinCsinB=sinA,则动点 A的轨 222迹方程为由 sinC sinB= 1 sinA,得2c-七a,，应为双曲线一支，且实轴长为:故方程为-216x2T a216y2 恒 a、2- 1(x -)3a242.在 ABC中，|BC|=4, AABC的内切圆切 BC于点 D,且|命|cD|= 2册，则顶点 A的轨迹方程为解析：以BC的中点为原点，中垂线为 y轴建立如图所示的坐标系，E、F分别为两个切点.则|BE|=|BD|,|CD|=CF|, |AE|=|AF|.，|AB|RC|=2 2,.点A的轨迹为以B,C为焦点的双曲线的右支（yw 0）,且

16、a=也，c= 2,，b=l'2，顶点A的轨迹方程为x2一2y2 2=1(x>W).23.若动圆与圆（x 2）4外切且与直线x=2相切,则动圆圆心的轨迹方程是2- 一A. y 12x 12 022-B. y 12x 12 0C. y 8x0 D.y2 8x 0解析：设动圆圆心为 所求轨迹是以（2,M ,由题意，动点 0）为焦点，直线M到定圆圆心（一2,0）的距离等于它到定直线x=4为准线的抛物线,x=4的距离，故并且 p=6,顶点是（1, 0）,开口向左，所以方程是y212（x1).选(B).4.一动圆与两圆x28x 120都外切,则动圆圆心轨迹为A抛物线C双曲线的一支MOD椭圆r

17、 1,【解析】设动圆圆心为 M,半径为r,则有MCr 2,动点M到两定点的距离之差为5,由双曲线MCMO1.定义知，其轨迹是以 O、C为焦点的双曲线的左支,选（C）.5.已知两圆C1：（x 4）2+y2=169,C2：（x+4）2+y2=9,动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（A.64- 42=1y2 x2B.64+48= 1x2 y2 0.48-64=1x2 y2D.64+48= 1解析设圆M的半径为所以M的轨迹是以CiC2为焦点的椭圆，且 2a =16,2c=8,r,则 |MCi|+|MC2|=(13- r)+ (3+ r)= 16>8=|C

18、iC2|,故所求的轨迹方程为64+48= 1.6.已知圆Cl： （x+ 3）2+y2=1, C2：（x-3）2+y2=9,动圆M同时与圆Cl和圆C2相外切，则动圆圆心 M的轨迹方程为（）C. x2-y- = 1(x<- 1) D, x2-y=1(x>1)【解析】（1）设圆M的半径为r,由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，得|MC1|=1 + r,|MC2|=3+r,|MC2| -|MC1|=2<6,所以点M的轨迹是以点 C1（-3, 0）和C2（3, 0）为焦点的双曲线的左支，且 2a=2, a=1, c =3,则b2=c2a2=8,所以点 M的轨迹方程为 x2y8-= 1（

19、x< 1）.7.已知圆的方程为x2 y24,若抛物线过点A( 1,0), B(1,0),且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程为（22A. 1（ x 0）43解1:设切点为（a,b）,)22B. 土 L 1(x 0) C.43a2 b2 4,则切线为:2x4ax2y3by221(y 0) D. 上工 1(y 0)434 0设焦点(x, y),由抛物线定义可得：（x-1） 2+y2=kJ1 .，（x+1） 2+y2=h±l_P .,消去 a得：422故抛物线的焦点轨迹方程为 +2一二1 （yw 0）43（依题意焦点不能与A, B共线.yw 0.）故选：C.解2:设抛物线焦点为

20、F,过A, B, O作准线白垂线 AA1, BBi, OO1,则RAi|+|BBi|= 2|OOi |= 4,由抛物 线定义得|AA“+|BBi|=|FA|十|FB|,所以|FA|+|FB|=4,故F点的轨迹是以 A, B为焦点，长轴长为 4的椭 圆（去掉长轴两端点）.所以抛物线的焦点轨迹方程为J J 1（y w 0） .438.已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6, OO,切直线l于点A,又过B、C作。O'异于l的 两切线，设这两切线交于点P,求点P的轨迹方程.解：设过B、C异于l的两切线分别切。O'于D、E两点，两切线交于点P.由切线 的 性 质 知 ：

21、|BA|=|BD| ,|PD|=|PE| ,|CA|=|CE| , 故*|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|二|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18>6=|BC|,故由椭圆定义知，点 P 的轨迹是以 B、C厂； J为两焦点的椭圆，以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程22*x y为一一二1（yw 0）8172229 .设F1, F2分别是椭圆25+靠=1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点 M的坐标为（6, 4）,求|PM|十|PFi| 的最大值.解析：|PF1|十 |PF2|=10, |PFi|= 10-|PF2|, |PM|+|PFi|= 10+|PM|PF2|,易知点 M 在椭圆外，连接 MF2 并延长交椭圆于P点，此时|PM| |PF2|取最大值|MF2|,故|PM|十|PFi|的最大