椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题

1、椭圆和双曲线的离心率的求值及范围求解问题【重点知识温馨提示】1.e(0e1)2.确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，c的方程或不等式，进而得到关于e的方程或不等式，3. 【典例解析】例1.(2015新课标全国，11)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为()A. B2 C. D.例2.【2016高考新课标3文数】已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，分别为的左，右顶点.为上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则的离心率为（ ）（A）（B） （C） （

2、D）例3(2015福建)已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x4y0交椭圆E于A，B两点若|AF|BF|4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是()A.B. C.D.例4.(2014江西)设椭圆C：1(ab0)的左，右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若ADF1B，则椭圆C的离心率等于_【跟踪练习】1. (2015浙江)椭圆1(ab0)的右焦点F(c，0)关于直线yx的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是_2. 已知椭圆1(ab0)与双曲线1(m0，n0)有相同的焦点(c,0)和(c,0)，若c是a

3、、m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是()A. B. C. D.3.已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1(c,0)、F2(c,0)，若椭圆上存在点P使，则椭圆的离心率的取值范围为_4.过双曲线1(a0，b0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点A，与另一条渐近线交于点B，若2，则此双曲线的离心率为()A.B. C2 D.5.(2015山东)过双曲线C：1(a0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为_6.(2015湖北)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(ab)同时增加m(m0)个单位长度，得

4、到离心率为e2的双曲线C2，则()A对任意的a，b，e1b时，e1e2；当ae2C对任意的a，b，e1e2 D当ab时，e1e2；当ab时，e10，b0）矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_8（2015年高考）过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交于点.若点的横坐标为,则的离心率为 .9、（齐鲁名校协作体2016届高三上学期第二次调研联考）设直线x3ym0(m0)与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m，0)满足|PA|PB|，则该双曲线的离心率是（）(A) (B) (C) (D) 10、（东营

5、市、潍坊市2016届高三高三三模）已知、为椭圆的左、右焦点，以原点为圆心，半焦距长为半径的圆与椭圆相交于四个点，设位于轴右侧的两个交点为、，若为等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）ABCD11、（济宁市2016届高三上学期期末）已知抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为A. B. C. D. 12、（莱芜市2016届高三上学期期末）已知双曲线的左焦点是，离心率为e，过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与圆轴右侧交于点P，若P在抛物线上，则A. B. C. D. 13，（烟台市2016届高三上学期期末）设点F是抛物线的焦点，是双曲线的右焦点，若线段的中点P恰为抛物线与双曲

6、线C的渐近线在第一象限内的交点，则双曲线C的离心率e的值为A. B. C. D. 1,4、（青岛市2016高三3月模拟）已知点为双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，且满足，则双曲线的离心率为_.15、（日照市2016高三3月模拟）已知抛物线的准线与双曲线相交于A,B两点，点F为抛物线的焦点，为直角三角形，则双曲线的离心率为A.3B.2C. D. 16. (2015重庆)如图，椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQPF1.(1)若|PF1|2，|PF2|2，求椭圆的标准方程；(2)若|PQ|PF1|，且，试确定椭圆离心率e的取值范围答案部分：

7、例1【解析】如图，设双曲线E的方程为1(a0，b0)，则|AB|2a，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MNx轴于点N(x1，0)，ABM为等腰三角形，且ABM120，|BM|AB|2a，MBN60，y1|MN|BM|sinMBN2asin 60a，x1|OB|BN|a2acos 602a.将点M(x1，y1)的坐标代入1，可得a2b2，e，选D.例2【答案】A例3如图，设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形|AF|BF|4，|AF|AF0|4，a2.设M(0，b)，则，1b2.离心率e，故选A.例4.直线AB：xc，代入1，得y.A(c，

8、)，B(c，)kBF1.直线BF1：y0(xc)令x0，则y，D(0，)，kAD.由于ADBF1，1，3b44a2c2，b22ac，即(a2c2)2ac，e22e0，e.e0，e.【跟踪练习】1，答案方法一设椭圆的另一个焦点为F1(c,0)，如图，连接QF1，QF，设QF与直线yx交于点M.由题意知M为线段QF的中点，且OMFQ.又O为线段F1F的中点，F1QOM，F1QQF，|F1Q|2|OM|.在RtMOF中，tanMOF，|OF|c，可解得|OM|，|MF|，故|QF|2|MF|，|QF1|2|OM|.由椭圆的定义得|QF|QF1|2a，整理得bc，ac，故e.方法二设Q(x0，y0)，

9、则FQ的中点坐标，kFQ，依题意解得又因为(x0，y0)在椭圆上，所以1，令e，则4e6e21，离心率e.2解析在双曲线中m2n2c2，又2n22m2c2，解得m，又c2am，故椭圆的离心率e.3依题意及正弦定理，得(注意到P不与F1，F2共线)，即，1，1，即e1，(e1)22.又0e1，因此1e1.4解析(1) 如图，2，A为线段BF的中点，23.又12，260，tan 60，e21()24，e2. 答案C5.把x2a代入1得yb.不妨取P(2a，b)又双曲线右焦点F2的坐标为(c,0)，kF2P.由题意，得.(2)ac.双曲线C的离心率为e2.6.e1，e2.不妨令e1e2，化简得0)，

10、得bmam，得ba时，有，即e1e2；当ba时，有，即e1e2.故选B.7、【答案】 【解析】试题分析：依题意，不妨设作出图像如下图所示则故离心率 8、【答案】考点：1.双曲线的几何性质；2.直线方程.9、【答案】B【解析】双曲线的渐近线为yx，易求得渐近线与直线x3ym0的交点为A，B.设AB的中点为D.由|PA|PB|知AB与DP垂直，则D，kDP3，解得a24b2，故该双曲线的离心率是.10B,11.B 12.D 13 D 14. 15.A16.解(1)由椭圆的定义，2a|PF1|PF2|(2)(2)4，故a2.设椭圆的半焦距为c，由已知PF1PF2，因此2c|F1F2|2，即c，从而b1.故所求椭圆的标准方程为y21.(2)如图，连接F1Q，由PF1PQ，|PQ|PF1|，得|QF1|PF1|.由椭圆的定义，|PF1|PF2|2a，|Q