极限和导数 笔记本

1、三角函数一公式1.和差化积4个cos(+)=coscos-sinsincos(-)=coscos+sinsinsin(+)=sincos+coscossin(-)=sincos-sincos2.积化和差 4个sincos=sin(+)+sin(-)/2cossin=sin(+)-sin(-)/2coscos=cos(+)+cos(-)/2sinsin=-cos(+)-cos(-)/23.基本公式8个sin(2)=2sincoscos(2)=cos2-sin2 =2cos2-1 =1-2sin2 =sin/(1+cos)sin2+cos2=1sec=1/coscsc=1/sintan=sin/c

2、oscot=cos/sintancot=1sincsc=1cossec=1二图像1正弦函数2 余弦函数3正切和余切正切和余切的性质由图象可得: y=tanxy=cotx定义域值域R R 单调性在上单增(kZ) 在上单减(kZ) 周期性T= T= 对称性10对称中心，奇函数(kZ) 20对称轴；无10对称中心，奇函数(kZ) 20对称轴；无4.反三角函数四种三角函数都是由x到y的多值对应，要使其有反函数，必须缩小自变量x的范围，使之成为由x到y的对应.从方便的角度而言，这个x的范围应该（1）离原点较近；（2）包含所有的锐角；（3）能取到所有的函数值；（4）最好是连续区间.从这个原则出发，我们给出

3、如下定义: 1y=sinx, x的反函数记作y=arcsinx, x-1,1，称为反正弦函数. y=cosx, x0, 的反函数记作y=arccosx, x-1,1，称为反余弦函数. y=tanx，x的反函数记作y=arctanx, xR，称为反正切函数. y=cotx，x(0, )的反函数记作y=arccotx, xR，称为反余切函数. 2反三角函数的图象由互为反函数的两个函数图象间的关系，可作出其图象. 注:（1）y=arcsinx, x-1,1图象的两个端点是（2）y=arccosx, x-1,1图象的两个端点是（1，0）和（-1，）. （3）y=arctanx, xR图象的两条渐近线是

4、和. （4）y=arccotx, xR图象的两条渐近线是y=0和y=. 5、反三角函数的性质由图象，有y=arcsinxy=arccosxy=arctanxy=arccotx定义域-1,1 -1,1 R R 值域0, (0, ) 单调性在-1，1上单增在-1，1上单减在R上单增在R上单减对称性10对称中心（0，0）奇函数20对称轴；无10对称中心非奇非偶20对称轴；无10对称中心（0，0）奇函数20对称轴；无10对称中心非奇非偶20对称轴；无周期性无无无无反三角公式1三角的反三角运算arcsin(sinx)=x(x)arccos(cosx)=x (x0, ) arctan(tanx)=x(x)

5、arccot(cotx)=x(x(0, ) 2反三角的三角运算sin(arcsinx)=x (x-1,1)cos(arccosx)=x (x-1,1) tan(arctanx)=x (xR)cot(arccotx)=x (xR) 对数函数和指数函数一指数函数：定义：函数叫指数函数。定义域为R，底数是常数，指数是自变量。为什么要求函数中的a必须。因为若时，当时，函数值不存在。，当，函数值不存在。时，对一切x虽有意义，函数值恒为1，但的反函数不存在，因为要求函数中的。1、对三个指数函数的图象的认识。图象特征与函数性质：图象特征函数性质（1）图象都位于x轴上方；（1）x取任何实数值时，都有；（2）图

6、象都经过点（0，1）；（2）无论a取任何正数，时，；（3）在第一象限内的纵坐标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，的图象正好相反；（3）当时，当时，（4）的图象自左到右逐渐上升，的图象逐渐下降。（4）当时，是增函数，当时，是减函数。对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）：所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如和相交于，当时，的图象在的图象的上方，当，刚好相反，故有及。与的图象关于y轴对称。通过，三个函数图象，可以画出任意一个函数（）的示意图，如的图象，一定位于和两个图象的中间，且过点，从而也由关于y轴的对称性，可得的示意图，即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象

7、。二对数函数：定义：如果，那么数b就叫做以a为底的对数，记作（a是底数，N 是真数，是对数式。）由于故中N必须大于0。当N为零的负数时对数不存在。（1）对数式与指数式的互化。由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如：（2）对数恒等式：由将（2）代入（1）得运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。（3）对数的性质：负数和零没有对数；1的对数是零；底数的对数等于1。（4）对数的运算法则：3、对数函数：定义：指数函数的反函数叫做对数函数。1、对三个对数函数的图象的认识。图象特征与函数性质：图象特征函数性质（1）图象都位于y轴右侧

8、；（1）定义域：R+，值或：R；（2）图象都过点（1，0）；（2）时，。即；（3），当时，图象在x轴上方，当时，图象在x轴下方，与上述情况刚好相反；（3）当时，若，则，若，则；当时，若，则，若时，则；（4）从左向右图象是上升，而从左向右图象是下降。（4）时，是增函数；时，是减函数。4、对数换底公式：由换底公式可得：由换底公式推出一些常用的结论：（1）（2）（3）（4）三指数函数和对数函数的运算法则1 对数的运算法则：3.对数函数换底公式（1）（2）（3）（4）2 指数函数运算法则极限的四则运算法则定理1：若，则存在，且。定理2：若，则存在，且。定理3：若，则存在，且定理4：设，则。推论1：若存

9、在，则（为常数）。推论2：若存在，则（为正整数）。例子：。推论3：设为一多项式，当。例子：。推论4：设均为多项式，且，则。1 若 且 ，则必存在（ X-X0）这个公因子，则提出公因子，进行运算。2 若 且 ，则。3 若 且 ，则。推论5: 设为自然数，则。证明：当时，分子、分母极限均不存在，故不能用§1.6定理5，先变形：两个重要的极限重要极限一:公式特征：（1）型极限 ，分子分母的极限都为0。（2）分子是正弦函数，分子是趋于零的变量。（3）sin后面的变量与分母的变量相同。等价式：变型式：1 2 其它式：重要极限二：公式特征：（1）变量X其无穷大。（2）注意括号里的1/X和X是互为

10、倒数关系。等价式：变型：1 2 其它式：无穷小1 无穷小的定义：定义：如果x x0（或x ）时, 函数f (x) 的极限为零 ,那么把f (x) 叫做当x x0（或x ）时的无穷小量，简称无穷小。2 注意部分：不能笼统的说某函数是无穷小，说一个函数f(x)是无穷小，必须指明自变量的变化趋向。不要把绝对值很小的常数说成是无穷小，因为这个常数在xx0（或x）时，极限仍为常数本身，并不是零。常数中只有零可以看作是无穷小，因为零在xx0（或x）时，极限是零。3.无穷小的性质在自变量的同一变化过程中，无穷小有以下性质：有限个无穷小的代数和仍是无穷小（无穷多个无穷小之和不一定是无穷小）。有限个无穷小的乘积

11、仍是无穷小。有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。（常数与无穷小的乘积仍是无穷小）。无穷小除以具有非零极限的函数所得的商仍为无穷小。4 无穷小的定理:定理1：设，则定理2： 设',', 且lim存在，则 lim= lim5 无穷小的比较 无穷小量阶的定义,设.(1)若,则称是比高阶的无穷小量.(2).(3)是同阶无穷小量.(4),记为.(5)6 无穷小的等价当x0时，三角函数sinxx ；arcsinxx tanxx ；arctanxx 1-cosx12x2； secx-112x2指数和对数函数ln(x+1)x；ex-1xlogax+1xlna；ax-1xlna幂函数（1+x)-1

12、x；n1+x xxn21+x-1x2；31+x-1x37等价无穷小的总结若未定式中的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不改变原式的极限，但是不能滥用等价无穷小代换，对于代数和中各个无穷小不能分别代换。函数的连续性1函数的增量定义：在函数y=f (x)中，当x由x0（初值）变化到x1（终值）时，终值与初值之差x1-x0叫做自变量的增量（或改变量），记为x= x1-x0.相应的，函数终值f (x)与初值 f (x0)之差y，叫做函数的增量。注意：增量x可正、可负；增量y可正、可负或为零。2函数y=f (x) 在x0的连续性当x0时，y0。 当x0

13、时，y不趋向于零。定义：设函数y=f(x)在点x0及其近旁有定义，如果当自变量x在点x0处的增量x趋近于零时，函数y=f(x)相应的增量也趋近于零，那么就叫做函数y=f(x)在点x0连续。用极限表示，就是或定义2：设函数y=f(x)在点x0及其左右近旁有定义，如果函数y=f(x)当x1x0时的极限存在，且等于它在x0处的函数值f(x0),即那么就称函数f(x)在点x0处连续。函数f(x)在点x0处连续必须满足三个条件：函数f(x)在点x0及其左右近旁有定义；存在；例5 试证函数，在x0处连续。证明：函数在x0及其左右近旁有定义 f(0)=0 函数在x0处连续。3函数y=f(x)在区间(a,b)

14、内的连续设函数在区间(a，b内有定义，如果左极限存在且等于，即，就说函数在点b左连续。设函数在区间a，b）内有定义，如果左极限存在且等于，即，就说函数在点a右连续。定理：函数在点x0处连续在点x0处既左连续又右连续在区间(a,b)内任一点都连续的函数叫做在该区间内的连续函数，区间(a,b)叫做函数的连续区间。连续函数的图像是一条连续不断的曲线。4复合函数的连续性设函数在点处连续，函数在点处连续，且，则复合函数在点处连续，即例6 求解：原式可以推出：当时，152函数的间断点函数在点连续必须满足三个条件，如果这三个条件有一个不满足，则称在点不连续（或间断），并称点为的不连续点或者间断点。间断点的分

15、类：第一类间断点：，但，或者无意义。不是第一类间断点的其他间断点都称为第二类间断点。闭区间上连续函数的性质性质1 闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值。注意：若区间是开区间，定理不一定成立。若区间内有间断点，定理不一定成立。推论：在闭区间上连续的函数在该区间上一定有界。性质2 如果函数在上连续，且0，那么至少存在一点(a,b)，使得。对于方程0，若满足性质2中的条件，则方程在(a,b)内至少存在一个实根，又称为函数的零点。例7 证明方程在区间（0，1）内至少有一个根。证明：设，在上是连续的，又因为10 20根据性质2，至少存在一点（0，1），使即 从而证得方程在区间（0，1）内至少有一个根。

16、判断命题是否正确：如果函数在上有定义，在(a,b)内连续，且0，那么 在(a,b)内必有零点。解答：不正确。例如函数在（0，1）内连续，·2e0，但在（0，1）内无零点。 闭区间上连续函数的基本性质定义1 设f为定义在数集D上的函数，若存在，使得对一切有，则称f在D上有最大（最小值）值，并称为f在D上的最大（最小值）值.定理4.6 (最大最小值定理) 若函数在闭区间上连续，则在闭区间 上有最大值与最小值。推论：（有界性）若函数在闭区间上连续，则在闭区间 上有界。定理4.7(介值性定理) 若函数在闭区间上连续，且，若为介于之间的任何实数（或）,则在开区间内至少存在一点，使得 .acf(

17、b)f(a)x0b推论（根的存在定理）若函数在闭区间上连续，且异号，则至少存在一点使得.即在内至少有一个实根.0应用介值性定理，还容易推得连续函数的下述性质：若在区间a,b上连续且不是常量函数,则值域也是一个区间；特别若为区间a,b,在a,b上的最大值为,最小值为，则；又若为a,b上的增（减）连续函数且不为常数，则例4 设在a,b连续，满足 （5）证明：存在，使得 （6）证 条件（5）意味着：对任何有，特别有 以及 .若或，则取，从而（6）式成立。现设与。令，则，. 有根的存在性定理，存在 ，使得即. 反函数的连续性定理4.8（反函数的连续性）若函数在闭区间严格递增（递减）且连续，则其反函数在

18、相应的定义域 （）上递增（递减）且连续。证明 （只证明f(x)严格递增情况）由闭区间上连续函数的介值性，反函数存在，而且其定义域为 。 设 ，且x1 x0x2 ba0y2y0y1f(b)f(a)则 ，对任给的可在的两侧各取异于的两点（），使它们与的距离小于（参见右图）.设，由函数的严格递增性，必分别落在的两侧，即当 .令，则当时，对应的的值必落在之间，从而.应用单侧极限的定义，同样可证在区间端点也是连续的。例5 由于在区间上严格单调且连续，故反函数在区间-1，1上连续。同理，由反函数连续性定理可得其他反三角函数 在其定义域内是连续的。例6由于 （为正整数）在严格上单调且连续，所以它的反函数在上

19、连续。又若把（为正整数）看作由 与的复合，。综上可知，（q为非零整数）其定义域内是连续的。例7 证明：有理幂函数在其定义区间上连续. 证明：设有理数，这里为整数。因为与均在其定义区间上连续，所以复合函数 也是其定义区间上的连续函数。第八节 函数的连续性与间断点教学目的：理解函数连续的概念，会判断函数间断点的类型，了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质，并会应用这些性质。教学重点：连续的定义，间断点的分类教学难点：连续的定义，间断点的分类教学过程：一、 函数的连续性对，当自变量从变到，称叫自变量的增量，而叫函数的增量定义 设函数在点的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量趋于零时，对应的函数

20、的增量也趋于零，那么就称函数在点连续它的另一等价定义是：设函数在点的某一邻域内有定义，如果函数当时的极限存在，且等于它在点处的函数值，即，那么就称函数在点连续下面给出左连续及右连续的概念如果存在且等于，即，就说函数在点左连续如果存在且等于，即，就说函数在点右连续在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续如果区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线二、 函数的间断点设函数在点的某去心邻域内有定义在此前提下，如果函数有下列三种情形之一：1在没有定义；2虽在有定义，但不存在；3虽在有定义，且存在，但

21、；则函数在点为不连续，而点称为函数的不连续点或间断点下面我们来观察下述几个函数的曲线在点的情况，给出间断点的分类： 在连续 在间断，极限为2 在间断，极限为2 在间断，左极限为2，右极限为1 在 间断在间断，极限不存在像这样在点左右极限都存在的间断，称为第一类间断，其中极限存在的称作第一类间断的可补间断，此时只要令，则在函数就变成连续的了；被称作第一类间断中的跳跃间断被称作第二类间断，其中也称作无穷间断，而称作震荡间断就一般情况而言，通常把间断点分成两类：如果是函数的间断点，但左极限及右极限都存在，那么称为函数的第一类间断点不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点在第一类间断点中，左、右

22、极限相等者称为可去间断点，不相等者称为跳跃间断点无穷间断点和振荡间断点显然是第二类间断点例1确定a、b使在处连续解：在处连续因为；所以时，在处连续例2求下列函数的间断点并进行分类1、分析：函数在处没有定义，所以考察该点的极限解：因为，但在处没有定义所以是第一类可去间断点2、分析：是分段函数的分段点，考察该点的极限解：因为，而所以是第一类可去间断点总结：只要改变或重新定义在处的值，使它等于，就可使函数在可去间断点处连续3、分析：是分段函数的分段点，且分段点左右两侧表达式不同，考察该点的左、右极限解：因为；所以是第一类跳跃间断点4、分析：函数在处没有定义，且左、右极限不同，所以考察该点的单侧极限解：因为；所以是第一类跳跃间断点5、解：因为所以是第二类无穷间断点6、解：极限不存在所以是第二类振荡间断点7、求的间断点，并将其分类解：间断点：当时，因，故是可去间断点当时，因，故是无穷间断点小结与思考：本节介绍了函数的连续性，间断点的分类1、求分