浅谈高考中数列求通项公式的常见题型与解题方法

1、浅谈高考中数列求通项公式的常见题型与解题方法高考对数列的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏特别是求递推数列通项公式更是数列知识的一个重点，也是一个难点，高考也往往通过考查递推数列来考查学生对知识的探索能力，求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为中学中所研究的等差或等比数列，下面就我对求递推数列通向公式的常用方法做一个浅显的分析与提炼：一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目例1等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，求数

2、列的通项公式.解：设数列公差为成等比数列，即， 由得：，点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。二、 公式法利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，已知数列的前项和与的关系，可用公式求解。例2已知数列的前项和满足求数列的通项公式。解：由 ，当时，有经验证也满足上式，所以点评：利用公式求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并三、累加法：由递推式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。利用求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如类型递推公

3、式为的递推数列通项公式的基本方法（可求前项和）.解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。例3已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以数列的通项公式为。点评：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。四、累乘法：利用恒等式求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 的递推数列通项公式的基本方法(数列可求前项积).（1）递推公式为解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例4. 已知数列满足，求。解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，点评：一般地，对于型如=(n)·类的通项公式，当的值可以求得时，宜采用此方法。五

4、、倒数变换：将递推数列,取倒数变成 的形式的方法叫倒数变换.例6已知数列中, ,求数列的通项公式.解:将取倒数得: ,是以为首项,公差为2的等差数列. , .点评：倒数变换有两个要点需要注意:一是取倒数.二是一定要注意新数列的首项,公差或公比变化了.六、待定系数法（构造法）求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高。通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。（1）、通过分解常数，可转化为特殊数列a+k的形式求解。一般地，形如a

5、=p a+q（p1，pq0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法：设a+k=p（a+k）与原式比较系数可得pkk=q，即k=，从而得等比数列a+k。例6已知数列满足，且，求解：设，则， 是以为首项 ， 以3为公比的等比数列点评：求递推式形如（p、q为常数）的数列通项，可用迭代法或待定系数法构造新数列来求得,也可用“归纳猜想证明”法来求，这也是近年高考考得很多的一种题型例6设数列：，求.解：设，将代入递推式，得 （）则,又，故代入（）得说明：（1）若为的二次式，则可设;(2)本题也可由 ,（）两式相减得转化为求之.例6已知数列满足， ，求解：将两边同除，得设，则令条件可化成，数列是以为首项，为公比的等比数列因,(2) f(n)为等比数列，如f(n)= qn (q为常数) ，两边同除以qn，得，令bn=，可转化为bn+1=pbn+q的形式。2、通过分解系数，可转化为特殊数列的形式求解。这种方法适用于型的递推式，通过对系数p的分解，可得等比数列：设，比较系数得，可解得。例7、数列中，求数列的通项公式。解：由得设比较系数得，解得或若取，则有是以为公比，以为首项的等比数列由累加法可得=点评：递推式为（p、q为常数）时，可以设，其待定常数、由,求出，从而化归为上述已知题型综而言之，等差、等比数列是两类最基本的数列，是数列部分的重点，自然也是高考考查的热点，而考查的