导数与单调性

1、第 15 练 导数与单调性典例剖析精题狂练 利用利用导数研究函数的单调性是必考内容，多以综合导数研究函数的单调性是必考内容，多以综合题中某一问的形式考查，其出题内容也多种多样，最根题中某一问的形式考查，其出题内容也多种多样，最根本的还是定义中提到的本的还是定义中提到的. .单调性主要是由函数的导函数在单调性主要是由函数的导函数在某个区间上的符号来确定某个区间上的符号来确定. .内容精要典例剖析 题型一 利用导数求函数的单调区间 题型二 已知函数在某区间上的单调性求参数的值或范围 题型三 与函数导数、单调性有关的图象问题 题型一利用导数求函数的单调区间破题切入点 求求 出 函 数 的 导 函 数

2、出 函 数 的 导 函 数f(x)，根据定义解不等，根据定义解不等式式f(x)0即可，求解时即可，求解时注意函数的定义域注意函数的定义域.例1函数函数y x2ln x的单调递的单调递减区间为减区间为()A.(1,1 B.(0,1C.1，) D.(0，)解析根据函数的导数小于根据函数的导数小于0的解集就是函数的单调减的解集就是函数的单调减区间求解区间求解.由题意知，函数的定义域为由题意知，函数的定义域为(0，)， 题型一利用导数求函数的单调区间又由又由yx 0，解得，解得0 x1，所以函数的单调递减区间为所以函数的单调递减区间为(0,1.答案B破题切入点 函数函数f(x)在在(0,1)上为上为减

3、函减函数数,g(x)在在(1,2)上为增函数，上为增函数，利用导函数利用导函数f(x)0在在0,1上恒成立，上恒成立，g(x)0在在1,2上恒成立解出两个上恒成立解出两个a的取值的取值范围，求出交集即可范围，求出交集即可. 题型二已知函数在某区间上的单调性求参数的值或范围例2已知函数已知函数f(x)x2ax3在在(0,1)上为减函数，函数上为减函数，函数g(x)x2aln x在在(1,2)上为增函数，则上为增函数，则a的值的值等于等于()A.1 B.2C.0 D.解析函数函数f(x)x2ax3在在(0,1)上为减函数，上为减函数， 题型二已知函数在某区间上的单调性求参数的值或范围 1，得，得a

4、2.又又g(x)2x ，依题意依题意g(x)0在在x(1,2)上恒成上恒成立立，得得2x2a在在x(1,2)上恒成立，有上恒成立，有a2，a2.答案B破题切入点 先先由由yxf(x)的图的图象找出象找出f(x)的符号，再根的符号，再根据据f(x)的符的符号找出号找出f(x)的的大致图象大致图象. 题型三与函数导数、单调性有关的图象问题例3已知函数已知函数yxf(x)的图象的图象如图所示如图所示(其中其中f(x)是函数是函数f(x)的的导函数导函数)，下面四个图象中，下面四个图象中，yf(x)的图象可能是的图象可能是()解析由函数由函数yxf(x)的图象知，的图象知，x0，f(x)为增函数；为增

5、函数；1x0时，时，f(x)0，f(x)为减函数；为减函数；0 x1时，时，f(x)1时，时，f(x)0，f(x)为增函数为增函数.故故B选项的图象符合选项的图象符合.答案B 题型三与函数导数、单调性有关的图象问题 (1)利用导数判断函数单调性的一般步骤：利用导数判断函数单调性的一般步骤：确定函数的定义域确定函数的定义域.求导函数求导函数f(x).若求单调区间或证明单调性，只需在函数若求单调区间或证明单调性，只需在函数f(x)的定义域内的定义域内解或证明不等式解或证明不等式f(x)0或或f(x)f(x)恒成立，且常数恒成立，且常数a，b满足满足ab，则下列不等式一定成立，则下列不等式一定成立的

6、是的是()A.af(b)bf(a) B.af(a)bf(b)C.af(a)bf(b) D.af(b)f(x)，得得xf(x)f(x)0，即即F(x)0，所以所以F(x)在在R上为递增函数上为递增函数.因为因为ab，所以，所以af(a)bf(b).答案B123456789 10 11 12精题狂练4.(2014课标全国课标全国)若函数若函数f(x)kxln x在区间在区间(1，)单调递增，则单调递增，则k的取值范围是的取值范围是()A.(，2 B.(，1C.2，) D.1，)123456789 10 11 12精题狂练即即k的取值范围为的取值范围为1，).答案D123456789 10 11 1

7、2精题狂练5.设设f(x)是定义在是定义在R上的奇函数，且上的奇函数，且f(2)0，当，当x0时，时，有有 0的解集是的解集是()A.(2,0)(2，) B.(2,0)(0,2)C.(，2)(2，) D.(，2)(0,2)又又(2)0，当且仅当当且仅当0 x0，123456789 10 11 12精题狂练此时此时x2f(x)0.又又f(x)为奇函数，为奇函数，h(x)x2f(x)也为奇函数也为奇函数.故故x2f(x)0的解集为的解集为(0,2)(，2).答案D123456789 10 11 12精题狂练123456789 10 11 12精题狂练解析f(x)f(x)tan xf(x)cos x

8、f(x)sin x，根据已知根据已知f(x)cos x0时，时，f(x)0，所以函数所以函数f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是(0，).(0，)123456789 10 11 12精题狂练8.已知函数已知函数f(x) mx2ln x2x在定义域内是增函数，则在定义域内是增函数，则实数实数m的取值范围为的取值范围为_.1，)123456789 10 11 12精题狂练123456789 10 11 12精题狂练10.已知已知aR，函数，函数f(x)(x2ax)ex(xR，e为自然为自然对数的底数对数的底数).(1)当当a2时，求函数时，求函数f(x)的单调递增区间；的单调递增区间；解当当a

9、2时，时，f(x)(x22x)ex，f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.123456789 10 11 12精题狂练令令f(x)0，即，即(x22)ex0.123456789 10 11 12精题狂练(2)函数函数f(x)是否为是否为R上的单调函数？若是，求出上的单调函数？若是，求出a的取值的取值范围；若不是，请说明理由范围；若不是，请说明理由.解若函数若函数f(x)在在R上单调递减，上单调递减，则则f(x)0对对xR都成立，都成立，即即x2(a2)xaex0对对xR都成立都成立.ex0，x2(a2)xa0对对xR都成立都成立.(a2)24a0，即，即a240，这是不可能的，

10、这是不可能的.123456789 10 11 12精题狂练故函数故函数f(x)不可能在不可能在R上单调递减上单调递减.若函数若函数f(x)在在R上单调递增，上单调递增，则则f(x)0对对xR都成立，都成立，即即x2(a2)xaex0对对xR都成立，都成立，ex0，x2(a2)xa0对对xR都成立都成立.而而(a2)24aa240，故函数故函数f(x)不可能在不可能在R上单调递增上单调递增.综上可知，函数综上可知，函数f(x)不可能是不可能是R上的单调函数上的单调函数.123456789 10 11 12精题狂练(1)求求f(x)的单调区间与极值；的单调区间与极值；令令f(x)0，得，得xe1a

11、，当当x(0，e1a)时，时，f(x)0，f(x)是增函数；是增函数；当当x(e1a，)时，时，f(x)0，得，得xe2a；123456789 10 11 12精题狂练令令F(x)e2a，故函数故函数F(x)在区间在区间(0，e2a上是增函数上是增函数，在区间在区间e2a，)上是减函数上是减函数.当当e2a0时，函数时，函数F(x)在区间在区间(0，e2a上是上是增函数，增函数，在区间在区间e2a，e2上是减函数，上是减函数，F(x)maxF(e2a)ea2.又又F(e1a)0，F(e2)0，123456789 10 11 12精题狂练由图象，易知当由图象，易知当0 xe1a时，时，F(x)0

12、；当当e1a0，此时函数此时函数f(x)的图象与函数的图象与函数g(x)的图象在区间的图象在区间(0，e2上上有有1个公共点个公共点.当当e2ae2，即，即a0时，时，F(x)在区间在区间(0，e2上是增函数，上是增函数，123456789 10 11 12精题狂练函数函数f(x)的图象与函数的图象与函数g(x)的图象在区间的图象在区间(0，e2上只有上只有1个公共点个公共点；函数函数f(x)的图象与函数的图象与函数g(x)的图象在区间的图象在区间(0，e2上没有上没有公共点公共点.综上，满足条件的实数综上，满足条件的实数a的取值范围是的取值范围是1，).123456789 10 11 12精题狂练12.(2014大纲全国大纲全国)函数函数f(x)ax33x23x(a0).(1)讨论讨论f(x)的单调性；的单调性；解f(x)3ax26x3，f(x)0的判别式的判别式36(1a).若若a1，则，则f(x)0，且，且f(x)0当且仅当当且仅当a1，x1，故此故此时时f(x)在在R上是增函数上是增函数.123456789 10 11 12精题狂练若若0a0，故故f(x)分别在分别在(，x2)，(x1，)是增函数；是增函数；当当x(x2，x1)时，时，f(x)0，故，故f(x)在在(x2，x1)是减函数是减函数；123456789 1