高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 平面 新人教A版必修2

1、21 空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系 21.1 平平 面面 第二章点、直线、平面之间的位置关系第二章点、直线、平面之间的位置关系 1.了解平面的概念及表示方法了解平面的概念及表示方法 2.理解平面的公理理解平面的公理1， 公理公理 2， 公理， 公理 3. 3.会用符号语言准确表述几何对象的位置关会用符号语言准确表述几何对象的位置关系系 第二章点、直线、平面之间的位置关系第二章点、直线、平面之间的位置关系 1平面平面 (1)平面的概念平面的概念 几何里所说的几何里所说的“平面平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象

2、出来的几何里的平面是物体中抽象出来的几何里的平面是_的的 无限延展无限延展(2)平面的画法平面的画法 通常把水平的平面画成一个通常把水平的平面画成一个_，它的锐角通常画成它的锐角通常画成_，且横边长等于其邻边长的且横边长等于其邻边长的_如图如图. 如果一个平面被另一个平面遮挡住如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的为了增强它的_，常常把被遮挡部分用把被遮挡部分用_画出来如图画出来如图. (3)平面的表示法平面的表示法 图图的平面可表示为的平面可表示为_、_、_或或_ 平行四边形平行四边形452倍倍立体感立体感虚线虚线平面平面平面平面ABCD平面平面AC平面平面BD2点、线、面之间的关系点

3、、线、面之间的关系 (1)直线在平面内的概念：如果直线直线在平面内的概念：如果直线 l 上的所有点都在平面上的所有点都在平面 内内，就说直线就说直线 l 在平面在平面 内内，或者说平面或者说平面 经过直线经过直线 l. (2)常见的文字语言、符号语言与图形语言的对应关系：常见的文字语言、符号语言与图形语言的对应关系： A 是点是点，l，m 是直线是直线，是平面是平面 文字语言文字语言 符号语言符号语言 图形语言图形语言 A 在在 l 上上 Al A 在在 l 外外 A l A 在在 内内 _ A文字语言文字语言 符号语言符号语言 图形语言图形语言 A 在在 外外 A l 在在 内内 l l 在

4、在 外外 _ l，m 相交于相交于 A _ l， 相交于相交于 A l A ，相交于相交于 l _ l lmAl3.平面的性质平面的性质 公公理理 文字语言文字语言 图形语言图形语言 符号语言符号语言 公公理理1 如果一条直线上的如果一条直线上的_在一个平面内在一个平面内，那么这条那么这条直线直线_ Al，Bl，且且A，B_ 公公理理2 过过_的三的三点点，_一个平面一个平面 A，B，C 三点不三点不共线共线存在唯一存在唯一的平面的平面 使使 A，B，C 公公理理3 如果两个不重合的平面有如果两个不重合的平面有一个公共点一个公共点，那么它们有那么它们有且只有一条过该点的且只有一条过该点的_ P

5、，且且 P_ 两点两点在此平面内在此平面内l不在一条直线上不在一条直线上有且只有有且只有公共直线公共直线l，且，且Pl4.公理公理 2 的三个常用推论的三个常用推论 推论推论 1： 经： 经过一条直线和这条直线外的一点， 有且只有一个平面过一条直线和这条直线外的一点， 有且只有一个平面 图形语言表述：如图所示图形语言表述：如图所示 符号语言表述：符号语言表述： a是任意一条直线是任意一条直线点点A aa 与与 A 共面于平面共面于平面 且平面唯一且平面唯一 推论推论 2：经过两条相交直线：经过两条相交直线， 有且只有一个平面有且只有一个平面 图形语言表述：如图所示图形语言表述：如图所示 符号语

6、言表符号语言表述：述： a是任意一条直线是任意一条直线b是任意一条直线是任意一条直线abAa 与与 b 共面于平面共面于平面 且平面唯一且平面唯一 推论推论 3：经过两条平行直线：经过两条平行直线，有且只有一个平面有且只有一个平面 图形语言表述：如图所示图形语言表述：如图所示 符号语言表述：符号语言表述： 直线直线 ab直线直线 a，b 共面于平面共面于平面 且平面唯一且平面唯一. 1判一判判一判(正确的打正确的打“”“”，错误的打错误的打“”“”) (1)平行四边形是一个平面平行四边形是一个平面( ) (2)两个平面的交线可能是一条线段两个平面的交线可能是一条线段( ) (3)空间图形中先画

7、的线是实线，后画的线是虚线空间图形中先画的线是实线，后画的线是虚线( ) 答案：答案：(1) (2) (3) 2下列命题：下列命题： 课桌面是平面；课桌面是平面； 8个平面重叠起来要比个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；个平面重叠起来厚；有一个平面的长是有一个平面的长是 50 m，宽是宽是 20 m；平面是绝对的平、无平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念其中正确命题的个数厚度、可以无限延展的抽象的数学概念其中正确命题的个数 为为( ) A1 B2 C3 D4 解析：解析：选选 A.由于平面是无限延展的由于平面是无限延展的，故故错误；又由于平面错误；又由于平面无厚度无厚度，故故

8、错误错误，只有只有正确正确 3点点 A 在直线在直线 l 上上，直线直线 l 在平面在平面 外的符号表示是外的符号表示是( ) AAl，l BAl，l CAl，l DAl，l 答案答案：C 探究点一探究点一 三种语言的相互转化三种语言的相互转化 (1)用符号语言表示下面的语句用符号语言表示下面的语句，并画出图形并画出图形 平面平面 ABD 与平面与平面 BDC 相交于相交于 BD， 平面平面 ABC 与平面与平面 ADC 交于交于AC. (2)将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图并用图形语言予以表示形语言予以表示 l，Al，AB，AC

9、. 解解 (1)符号语言表示：平面符号语言表示：平面 ABD平面平面 BDCBD，平面平面ABC平面平面 ADCAC.用图形表示：用图形表示：(如图如图 1 所示所示) (2)文字语言叙述为：点文字语言叙述为：点 A 在平面在平面 与平面与平面 的交线的交线 l 上上，直线直线AB，AC 分别在平面分别在平面 ，内内，图形语言表示如图图形语言表示如图 2 所示所示 图图 2 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形首先仔细观察图形有几个平面、 几条直线且相互之间的位置关系如何有几个平面、 几条直线且相互之间的位置关系如何， 试着用文字试着用文

10、字语言表示语言表示，再用符号语言表示再用符号语言表示 (2)由符号语言或文字语言画相应的图形时由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线要注意实线和虚线的区别的区别 1.根据下列符号表示的语句根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之说明点、线、面之间的位置关系间的位置关系，并画出相并画出相应的图形：应的图形： (1)A，B ；(2)Pl，P ，Ql，Q. 解：解：(1)点点 A 在平面在平面 内内，点点 B 不在平面不在平面 内内，如图如图. (2)直线直线 l 经过平面经过平面 外一点外一点 P 和平面和平面 内一点内一点 Q，如图如图. 探究点二探究点二 点点、线共面问题、线共面

11、问题 证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内 解解 已知：如图所示已知：如图所示，l1l2A，l2l3B，l1l3C. 求证：直线求证：直线 l1，l2，l3在同一平面内在同一平面内 证明：证明：法一：法一：(纳入平面法纳入平面法) 因为因为 l1l2A，所以所以 l1和和 l2确定一个平面确定一个平面 . 因为因为 l2l3B，所以所以 Bl2. 又因为又因为 l2，所以所以 B.同理可证同理可证 C. 又因为又因为 Bl3，Cl3，所以所以 l3. 所以直线所以直线 l1，l2，l3在同一平面内在同一平面内 法二：法二：(辅助平面法辅助平面法)

12、 因为因为 l1l2A，所以所以 l1，l2确定一个平面确定一个平面 . 因为因为 l2l3B，所以所以 l2，l3确定一个平面确定一个平面 . 因为因为 Al2，l2，所以所以 A. 因为因为 Al2，l2，所以所以 A. 同理可证同理可证 B，B，C，C. 所以不共线的三个点所以不共线的三个点 A，B，C 既在平面既在平面 内内，又在平面又在平面 内内 所以平面所以平面 和和 重合重合，即直线即直线 l1，l2，l3在同一平面内在同一平面内 证明点、线共面的常用方法证明点、线共面的常用方法 (1)纳入平面法：纳入平面法：先确定一个平面先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面再证明有关点、线

13、在此平面内；内； (2)辅助平面法：辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面先证明有关的点、线确定平面 ，再证明其余元再证明其余元素确定平面素确定平面 ，最后证明平面最后证明平面 ，重合重合 2.已知直线已知直线 ab，直线直线 l 与与 a，b 都相交都相交，求证：求证：过过 a，b，l 有且只有一个平面有且只有一个平面 证明：证明：如图所示由已知如图所示由已知 ab，所以过所以过 a，b 有有且只有一个平面且只有一个平面.设设 alA，blB，所以所以 A，B，且且 Al，Bl， 所以所以 l.即过即过 a，b，l 有且只有一个平面有且只有一个平面 探究点三探究点三 点共线、线共点问题点共线

14、、线共点问题 如图如图，在正方体在正方体 ABCDA1B1C1D1中中，点点 M、N、E、F 分别是棱分别是棱CD、 AB、 DD1、 AA1上的点上的点， 若若 MN 与与 EF 交于点交于点 Q， 求证：求证： D、A、Q 三点共线三点共线 证明证明 因为因为 MNEFQ， 所以所以 Q直线直线 MN，Q直线直线 EF， 又因为又因为 M直线直线 CD，N直线直线 AB， CD平面平面 ABCD，AB平面平面 ABCD. 所以所以 M、N平面平面 ABCD， 所以所以 MN平面平面 ABCD.所以所以 Q平面平面 ABCD. 同理同理，可得可得 EF平面平面 ADD1A1.所以所以 Q平面

15、平面 ADD1A1. 又因为平面又因为平面 ABCD平面平面 ADD1A1AD， 所以所以 Q直线直线 AD，即即 D、A、Q 三点共线三点共线 (1)证明三点共线的方法证明三点共线的方法 首先找出两个平面首先找出两个平面， 然后证明这三点都是这两个平面的公共点然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据公理根据公理 3 可知可知，这些点都在两个平面的交线上这些点都在两个平面的交线上 选择其中两点确定一条直线选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上然后证明另一点也在此直线上 (2)证明三线共点的步骤证明三线共点的步骤 说明两条直线说明两条直线共面且交于一点共面且交于一点 说明这个点在

16、另两个平面上说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交并且这两个平面相交 得到交线也过此点得到交线也过此点，从而得到三线共点从而得到三线共点 3.已知三个平面已知三个平面 ，两两相交于三条直线两两相交于三条直线，即即 c，a，b，若直线若直线 a 和和 b 不平行不平行，求求证：证：a，b，c 三条直线相交于同一点三条直线相交于同一点 证明：证明：因为因为 b，a， 所以所以 a， b.又由于直线又由于直线 a 和和 b 不平行不平行， 所以所以 a， b 必相交必相交 设设 abP，如图如图，则则 Pa，Pb. 因为因为 a，b，所以所以 P，P. 又又 c，所以所以 Pc，即交线即交线

17、c 经过点经过点 P. 所以所以 a，b，c 三条直线三条直线相交于同一点相交于同一点 探究点四探究点四 平面交线问题平面交线问题 如图所示如图所示， E， F 分别为正方体分别为正方体 ABCDA1B1C1D1的棱的棱 CC1和和 AA1的中点的中点，画出平面画出平面 BED1F 与平面与平面 ABCD 的交线的交线 解解 如图所示如图所示，在平面在平面 AA1D1D 内内，D1F 与与 DA 不平行不平行，分别分别延长延长 D1F 与与 DA，则则 D1F 与与 DA 必相交必相交，设交点为设交点为 M. 因为因为 MFD1， MDA， FD1平面平面 BED1F， DA平面平面 ABCD

18、，所以所以 M平面平面 BED1F平面平面 ABCD. 又又 B平面平面 BED1F平面平面 ABCD，连接连接 MB. 则直线则直线 MB平面平面 BED1F平面平面 ABCD， 即直线即直线 MB 即为即为所求两平面的交线所求两平面的交线 解决此类问题解决此类问题，必须注意两个平面不存在只有一个公共点的情必须注意两个平面不存在只有一个公共点的情形如果有一个公共点形如果有一个公共点，那么必定有无数多个公共点那么必定有无数多个公共点，且这些点且这些点恰好组成一条直线同时要注意恰好组成一条直线同时要注意，找到两个平面的一个公共点找到两个平面的一个公共点，交线的具体位置还无法判定交线的具体位置还无

19、法判定， 只有找到两个公共点只有找到两个公共点， 才能确定这才能确定这两个平面的交线两个平面的交线， 这是做几何体截面时确定交线经常用到的方法这是做几何体截面时确定交线经常用到的方法 4.如图如图，在正方体，在正方体 ABCDA1B1C1D1中中，E 是是 AA1的中点的中点，画出过画出过 D1，C，E 的平面与平面的平面与平面 ABB1A1的交线的交线，并说并说明理由明理由 解：解：如图如图，取取 AB 的中点的中点 F，连接连接 EF，A1B，CF. 因为因为 E 是是 AA1的中点的中点， 所以所以 EFA1B. 在正方体在正方体 ABCDA1B1C1D1中中， A1D1BC，A1D1B

20、C， 所以四边形所以四边形 A1BCD1是平行四边形是平行四边形 所以所以 A1BCD1， 所以所以 EFCD1. 所以所以 E，F，C，D1四点共面四点共面 因为因为 E平面平面 ABB1A1， E平面平面 D1CE，F平面平面 ABB1A1， F平面平面 D1CE， 所以平面所以平面 ABB1A1平面平面 D1CEEF. 所以过所以过 D1，C，E 的平面与平面的平面与平面 ABB1A1的交线为的交线为 EF. 1立体几何中的平面与平面几何中的平面图形的区别立体几何中的平面与平面几何中的平面图形的区别 (1)平面图形如三角形、正方形、梯形等平面图形如三角形、正方形、梯形等，它们有大小之分它们有大小之分，可可以度量以度量 (2)立体几何中的平面是无大小、厚薄之分的立体几何中的平面是无大小、厚薄之分的，是不可度量的是不可度量的，它可以无限延展它可以无限延展，没有边界没有边界 (3)立体几何中的平面是理想的立体几何中的平面是理想的，绝对平的绝对平的 2符号语言的理解符号语言的理解 立体几何中引用集立体几何中引用集合的观点，把点看作元素，直线合的观点，把点看作元素，直线(平面平面)为点的为点的集合集合点与直线点与直线(平面平面)的关系是属于或不属于关系的关系是属于或不属于关系，用符号用符号 “”“”或或“ ”