仿射几何在解析几何中的一些应用

1、仿射几何在研究圆锥曲线中的一些应用仁化县仁化中学谢祖福摘要：本文主要结合实例， 运用仿射几何的性质在解决圆锥曲线的问题作了一些尝试，以期达到对圆锥曲线问题的解法的化繁为简，化难为易，并且开阔数学视野，培养唯物辨证观点的目的。关键词：仿射几何仿射性质 仿射变换 圆锥曲线高等几何是从古典几何过渡到近世几何的桥梁，它对中学初等几何和解析几何的教学有重大的指导意义，其中仿射几何是高等几何的重要组成部分，是联结 高等几何与初等几何的纽带，是应用高等几何解决初等几何的一条重要通道。在 这里，笔者试图利用仿射几何的一些基本性质，在仿射变换下，通过特殊的图形 去研究复杂的图形，从而解决一些高中解析几何中圆锥曲

2、线一类的问题。我们知道，椭圆、双曲线、抛物线经过仿射变换，它们对应的图形分别是圆、 特殊的双曲线即等轴双曲线x2-y2= ±1和特殊的抛物线y2=2x。所以我们只要研 究圆、双曲线x2-y2=±1和抛物线y2=2x的相应性质，利用其平行性、结合性、 简比、面积比等仿射性质，其对应的椭圆、双曲线、抛物线的性质就相应知道了， 从而能取得事半功倍的效果。一、利用仿射性质解决一些圆锥曲线的最值问题。22例：求椭圆1 yr 1的内接三角形面积的最大值。a b解：如图，设此椭圆可以由一圆经过仿射变换 T后得至心勺。且圆 一.一 .，、.33_ 内接三角形面积最大的为圆内接正三角形，面积

3、为-r2o根据仿射变换的性质S椭圆S ABC2rab33 27 r3 3-4,则S abc = 313 ab为所求的最大值。S ABC4同理，此结论可以推广到求椭圆的内接矩形的最大值。例：求证椭圆的最大内接矩形的面积为 2ab。（此题留给读者自己证明）、利用仿射几何的基本性质证明一些定值问题。2例：C为双曲线二a2二 1的实轴AB所在直线上的一定点,直线CT /OY轴, bP是双曲线上不同于A、B任一点，直线AP、BP与CT分别交于M、N两点，求证CM CN为定值。证明：由仿射性质可知，此题只要对等轴双曲线x2 y2 = 1进行证明即可如图，等轴双曲线x2 y2=1中,设 P (secO ,

4、tan 0), A (-1, 0)直线 PA的方程：y= tan(x+1) 1 sec直线CT的方程：x=d由、得：y=a(d+1) 1 sec故CM=-tan-(d+1) 1 sec同理：CN=-tan (d-1)sec 1所以CM CN= -tan(d2-12) = d2- 1 (定值) sec 1由仿射性质，可知对于一般双曲线有CM CN二定值再如：若C为抛物线y2=2px(p>0)的对称轴所在直线上的一定点，直线 CT/OY轴，P为抛物线上不同于顶点 O的任意一点，直线OP与CT交于M点，直线PN /Ox轴与CT交于N点。试证CM CN为一定值。(图如下)三、利用仿射几何的基本性

5、质证明一些平行问题。 22例：已知A、B分别为椭圆、4 1在横轴、纵轴上的顶点，C为线段AB a b证明:如图，设此椭圆可以由一圆经过仿射变换 T后得到，显然，在圆O'中,OC' AB ,OD' _L1',OE' L'所以AB' L1 L2'因为平行性为仿射不变性，故 AB /Li /L2即过直线OC与椭圆的交点的切线平行于 AB。四、利用仿射的性质求一些轨迹的问题。 22例：椭圆xr yr 1的内接9BC,它的边BC与长轴重合，A在椭圆上运动，求 a bMBC的重心的轨迹。解：设此椭圆可以由一圆经仿射变换 T后得到Pc 当显然，在圆中，满足此条件的点的轨迹是以的圆。因此，在椭圆中是以O为中心，其长、J, HcO'为圆心，W OA'为半径所画1短半轴分别为原椭圆长、短半轴的1