高数习题课（课堂PPT）

1、.1习习 题题 课课.2一、主要内容一、主要内容（一）函数的定义（一）函数的定义（二）极限的概念（二）极限的概念（三）连续的概念（三）连续的概念.3函函 数数的定义的定义函函 数数的性质的性质奇偶性奇偶性单调性单调性有界性有界性周期性周期性反函数反函数隐函数隐函数反函数与直接反函数与直接函数之间关系函数之间关系基本初等函数基本初等函数复合函数复合函数初等函数初等函数（一）函数（一）函数.41.1.函数的定义函数的定义函数的分类函数的分类2.2.函数的性质函数的性质有界、单调、奇偶、周期有界、单调、奇偶、周期3.3.反函数反函数4.4.隐函数隐函数5.5.基本初等函数基本初等函数幂、指、反、对、

2、三幂、指、反、对、三6.6.复合函数复合函数7.7.初等函数初等函数.5数列极限数列极限函函 数数 极极 限限axnn limAxfx )(limAxfxx )(lim0左右极限左右极限极限存在的极限存在的充要条件充要条件无穷大无穷大 )(limxf两者的两者的关系关系无穷小无穷小的性质的性质极限的性质极限的性质求极限的常用方法求极限的常用方法无穷小无穷小0)(lim xf判定极限判定极限存在的准则存在的准则两个重要两个重要极限极限无穷小的比较无穷小的比较等价无穷小等价无穷小及其性质及其性质唯一性唯一性（二）极限（二）极限.61 1、极限的定义：、极限的定义：定义定义N 定义定义 定定义义X

3、单侧极限单侧极限2 2、无穷小与无穷大、无穷小与无穷大无穷小；无穷小； 无穷大；无穷大； 无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系无穷小的运算性质无穷小的运算性质3 3、极限的性质、极限的性质四则运算、复合函数的极限四则运算、复合函数的极限极限存在的条件极限存在的条件.74 4、求极限的常用方法、求极限的常用方法a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.5 5、判定极限存在

4、的准则、判定极限存在的准则夹逼定理、单调有界原理夹逼定理、单调有界原理.86 6、两个重要极限、两个重要极限(1)1sinlim0 xxx(1)1sinlim0 xxx; 1sinlim 某某过过程程(2)exxx )11(lim(2)exxx )11(limexxx 10)1(lim.)1(lim1e 某过程某过程7 7、无穷小的比较、无穷小的比较8 8、等价无穷小的替换性质、等价无穷小的替换性质9 9、极限的唯一性、局部有界性、保号性、极限的唯一性、局部有界性、保号性.9（三）连续（三）连续连连续续定定义义0lim0 yx)()(lim00 xfxfxx 连连续续定定义义0lim0 yx)

5、()(lim00 xfxfxx 左右连续左右连续连续的连续的充要条件充要条件间断点定义间断点定义 振荡间断点振荡间断点 无穷间断点无穷间断点 跳跃间断点跳跃间断点 可去间断点可去间断点第一类第一类 第二类第二类在区间在区间a,ba,b上连续上连续连续函数的连续函数的运算性质运算性质初等函数初等函数的连续性的连续性非初等函数非初等函数的连续性的连续性连续函数连续函数的的 性性 质质.101 1、连续的定义、连续的定义单侧连续单侧连续连续的充要条件连续的充要条件 闭区间的连续性闭区间的连续性2 2、间断点的定义、间断点的定义间断点的分类间断点的分类第一类、第二类第一类、第二类3 3、初等函数的连续

6、性、初等函数的连续性连续性的运算性质连续性的运算性质 反函数、复合函数的连续性反函数、复合函数的连续性4 4、闭区间上连续函数的性质、闭区间上连续函数的性质最值定理、有界性定理、介值定理、零点定理最值定理、有界性定理、介值定理、零点定理.11二、典型例题二、典型例题例例1 1).(. 1, 0,2)1()(xfxxxxxfxf求求其其中中设设 解解利用函数表示法的无关特性利用函数表示法的无关特性,1xxt 令令,11tx 即即代入原方程得代入原方程得,12)()11(ttftf ,12)11()(xxfxf 即即,111uux 令令,11ux 即即代入上式得代入上式得.12,)1(2)1()1

7、1(uuuufuf ,)1(2)1()11(xxxxfxf 即即解联立方程组解联立方程组 xxxxfxfxxfxfxxxfxf)1(2)1()11(12)11()(2)1()(. 1111)( xxxxf.13A、数列极限的求法、数列极限的求法利用数列极限的四则运算法则、性质以及已知极限求极限。1.nn 若数列通项的分子、分母都是关于 的多项式，则用分子 分母中 的最高次项的幂函数数同除分子分母，然后由四 则运算法则求极限。例例5 5 求下列数列极限：23225lim353nnnnnn(1) ；2221lim534nnnnn(2) ；21lim32nnnn(3) .14解解2323125lim

8、03531nnnnnnn(1) 原式 ；221122lim3455nnnnn(2) 原式 ；211lim1321nnnn(3) 原式 .152、若通项中含有根式，一般采用先分子或分母有理化，再求 极限的方法。22lim(1) 求 。nnnn例例6 6对通项式有理化得222222(1)(1)lim1nnnnnnnnnn原式2221111limlim211111nnnnnnnnn 。解解.163、若所求极限是无穷项之和，通常先利用等差或等比数列的 前n项和公式求和，再求极限。231111lim 1( 1)2222 求 nnn 例例7 7解解11112aqn 先求由，所构成的等比数列的前项和，再求极

9、限，112lim112原式nn 212lim1 ( 1)332nnn .174、利用两边夹逼定理求数列极限，方法是将极限式中的每一项 放大或缩小，并使放大、缩小后的数列具有相同的极限。222lim2 求 nnnnnnnn例例8 8解解2222(1,2, ),(1,2, )nnnnininninnnin因为222222nnnnnnnnnnnnnn所以 2222211limlim1limlim111nnnnnnnnnnn而 ， 222lim1.2nnnnnnnn故 .185.11lim 1e 若通项式为形如形式的不定式，一般采用重要极限 求极限。nnn例例9 9 求下列极限：31lim 11nnn

10、(1) ；3lim.1nnnn(2) 解解1lim 1e.nnn用重要极限求极限1 21lim 11(1) 原式nnn 1211lim 1lim 1e11 ；nnnnn.1921 1222lim 1lim111nnnnnn (2) 原式21122222lim11e .11nnnn 五、函数极限的求法五、函数极限的求法 函数的极限比数列的极限复杂，原因有两个，一是自变量的变化过程多；二是函数式复杂；因此，求函数的极限首先要观察自变量的变化和函数表达式，然后选择适当方法.一般地，函数极限有以下几种求法：.20 数列极限的求法也适合求函数的极限. 000lim. 利用函数的连续性求函数的极限，即若

11、在 处连续，则有 xxf xxxf xf x241lim.54 求 xxxx例例1 10 0解解21454xxxx因为函数在处连续， 2411lim4.854xxfxx所以 若求分段函数在分界点处的极限，则利用极限存在的充 要条件求极限。即函数在某一点极限存在的充要条件是 函数在该点的左右极限存在且相等。.21例例1111 已知 213231113limlim.sin13xxxxxf xxxf xf xxx，求，解解 1xf x在处，求的左右极限 211limlim230 xxf xxx ， 11limlim10 xxf xx ， 1lim0 xf x所以 ； 3xf x在处，求的左右极限 3

12、3limlim12xxf xx ， 33limlim sin1sin3 1xxf xx ， 3limxf x所以 不存在. 33limlimxxf xf x因为 ，.220100sinlim111111lim 1e 利用两个重要极限求函数的极限。即若所求极限为形如 形式的不定式，并且极限式中含有三角函数，一般通 过三角函数的恒等变换再利用重要极限 求 极限；若所求极限为形如 形式的不定式，并且所求函 数易转化为 或 的形式，通常采用 求极限。xuuxxxxuux.230sin7lim.arcsin5 求 xxx例例1 12 2解解00因为已知极限为形式不定式，且含有三角函数，则有0sin757

13、lim7arcsin55xxxxxxx原式00sin arctan5sin777limlim.7arcsin555xxxxxx1cos10lim cos. 求 xxx例例1313解解101lim 1exxx因为所求极限为形式不定式，由得1cos10lim 1cos1e.xxx原式.24 利用无穷小量的特性以及无穷小量与无穷大量的关系求极 限。即无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量；有限个无 穷小量之积仍是无穷小量；有限个无穷小量之代数和仍为 无穷小量等。无穷小量与无穷大量的关系是互为倒数。例例1414 求下列函数的极限：201limsincos(1) ；xxxx22223lim4(2) .xxx

14、x解解(1) 利用无穷小量的性质求该极限，201limsincos0所以 ；xxxx210sincos因为当时， ，均是无穷小量，而为有界变量，xxxx.25(2) 利用无穷大量与无穷小量的关系求该极限。22223540因为当时，xxxx2224lim023所以 ， xxxx22223lim4所以 ，极限不存在。xxxx xsin;xxtan;xxcos1;221xxarctan;xxarcsin;x)1ln(x;x1xe;x1xa;lnax1)1 (x;x常用等价无穷小: .26 220210202352 讨论 在，处的连 续性.xexf xxxxxxxx 例例1 15 5解解02由已知，均

15、是分界点.xx 00000limlim 21 limlim 21101在处，而，xxxxxxf xef xxf 0所以在处连续；f xx 222222limlim 215limlim353在处， ，xxxxxf xxf xxx 2lim2.所以极限不存在，故在处不连续xf xf xx.27 1sin000.1sin0 讨论当 ， 为何值时，函数 ，在处连续abxxxf xaxxxbxx例例1616解解0在分界点处x 000011limlimsin1limlimsin0.， ，xxxxf xxf xxbbxxfa 000limlim0 若使在处连续，必须使 成立，xxf xxf xf xf110

16、.即，所以当时，函数在处连续baabx .28例例2 求下列极限求下列极限)11()311)(211(lim222nn nnnnn1134322321lim 原原式式nnn1lim21 21 P59 5(2)1|(|),1()1)(1)(1(lim242 xxxxxnnxxxxxnn 1)1()1)(1)(1(lim22原式原式xxnn 11lim12x 11.2921lim nnnnn 121lim2)1(lim nnnnnnn原原式式 202212 1lim21 xnxxxnx1)1()1()1(lim21 xxxxnx原式原式.301)2()1()1(lim121 xxxnxnnxnx)

17、2()1(lim121 nxxxnxnn12)1( nn2)1( nnP59 5(3)0( ,2cos2cos2coslim2 xxxxnnnnnnxxxxx2sin22sin22cos2cos2coslim2 原式原式nnnnxxxxx2sin22sin22cos4cos2coslim211 .31nnnxx2sin2sinlim nnnxxxx2sin2limsin xxsin 例例3ccxcxxx，求，求设设4lim 解一解一xxxxcxccxcx 21limlim ccccxxcxccxc2121lim22.32ce2 4 2ln22 c2ln c得得解二解二xxxxxxcxccxcx

18、 11limlimccee ce2 例例4 4.)sin1tan1(lim310 xxxx 求求.33解解解法讨论解法讨论则则设设,)(lim, 0)(lim xgxf)(1ln)(lim)()(1limxfxgxgexf )()(limxfxge )()(1ln(xfxf .)()(limxfxge 310)1sin1tan1(1limxxxx 原原式式310sin1sintan1limxxxxx .34301sin1sintanlimxxxxx 301cos)sin1()cos1(sinlimxxxxxx xxxxxxxcos)sin1(1cos1sinlim20 21.21e 原式原式例

19、例5求极限求极限 nnnnnnnnn2222211lim.35 分析分析 要用夹逼定理，须进行放缩要用夹逼定理，须进行放缩1)()1(22 nnnnnnnn 1)1(lim2 nnnnn但但21)(lim2 nnnnn不能这样用夹逼定理，不能这样用夹逼定理，解解注意到分子成等差数列注意到分子成等差数列 nnnnnn2)()2()1(1)()2()1(2 nnnnn.36)1(2)13()(2)13(22 nnnnnnn 即即23)(2)13(lim2 nnnnn23)1(2)13(lim2 nnnn232211lim222 nnnnnnnnn.37例例10 求下列极限求下列极限xxx1)1(l

20、im0 xexx1lim)1ln(0 )1ln(1()1ln(xex xxx)1ln(lim0 xx 1)1( xxxexxsinsinlim0 xxeexxxxsin1limsinsin0 1 .38xxx2sintanlim 212lim xxx 只记住了重要极限的形式，而没有掌握其实质只记住了重要极限的形式，而没有掌握其实质xxx2sintanlim )22sin()tan(lim0ttxtt 令令ttt2sintanlim0 212lim0 ttt例例111, 0)1)()(, xxxaxbxxfba，有有可可去去间间断断点点间间断断点点有有无无穷穷的的值值，使使确确定定.39解解因因

21、f(x)在在x=0处为无穷间断，即处为无穷间断，即 )(lim0 xfxbxxaxxfxx )1)(lim)(1lim000bxaxx 0lim0, 0 ba又又x=1为可去间断，为可去间断，存在存在故故)(lim1xfx)(lim11bxbx )1)()(lim1 xaxxfx)1)(lim)(lim11 xaxxfxx0 1 b.40) 1)()(xaxbexfx有无穷间断点0 x及可去间断点, 1x解解:为无穷间断点,0 x) 1)(lim0 xaxbexx所以bexaxxx) 1)(lim0ba101,0ba为可去间断点 ,1x) 1(lim1xxbexx极限存在0)(lim1bexx

22、eebxx1limP60 11 . 设函数试确定常数 a 及 b .41P60 14. 设 f (x) 定义在区间),(上 ,有yx,)()()(yfxfyxf, 若 f (x) 在连续,0 x提示提示:)(lim0 xxfx)()(lim0 xfxfx)0()(fxf)0( xf)(xf且对任意实数证明: f (x) 对一切 x 都连续 .42上连续, 且 a c d b ,P60 16. 设)(xf在,ba必有一点证证:, ,ba使)()()()(fnmdfncfm, ,)(baCxfMbaxf上有最大值在,)()()(dfncfm)()()(fnmdfncfm即由介值定理,使存在, ,ba证明:Mnmdfncfmm)()()()()()(fnmdfncfm,m及最小值故 即 mnm)(Mnm)(.43阅读与练习阅读与练习1. 求的间断点, 并判别其类型.解解:) 1)(1(sin)1 ()(xxxxxxf) 1)(1(sin)1 (lim1xxxxxx1sin21 x = 1 为第一类可去间断点)(lim1xfx x = 1 为第二类无穷间断点, 1)(lim0 xfx,