高中数学椭圆的经典知识总结

1、高中数学椭圆的经典知识总结椭圆知识点总结1.椭圆的定义：1,2x2(1)椭圆：焦点在x轴上时F a2y222、0 1 ( a b c ) by acons (参数方程，其中为22参数)，焦点在y轴上时4 xy = a b1 (ab 0)。方程 Ax2By2C表示椭圆的充要条件是什么?(ABCW0,且 A, B, C 同号，AWB)2.椭圆的几何性质2(1)椭圆(以二 a焦点(c,0);对称性:2。1 (a b b两条对称轴x0)为例)：范围：a0,y 0, 一个对称中心(其中长轴长为2a ,短轴长为2b ;准线：两条准线x2a；cx a,0,0),离心率:两个四个顶点(a,0),(0,b)，2

2、b2e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。通径 a2.点与椭圆的位置关系：(1)点P(x0, yO)在椭圆外2 x0 2 a2辿1b2，(2)点P(x0,y0)在椭圆上(3)点P(x0,yO)在椭圆内2 x0 2 a2 x 2 a2y。=b2 2 V。b21；3.直线与圆锥曲线的位置关系：(1)相交： 0 直线与椭圆相交;直线与椭圆相离；22如：直线y kx1=0与椭圆二y-5 m(2)相切:1包有公共点，则U (5, +00);直线与椭圆相切；(3)相离:m的取值范围是(答：1, 5)4、焦半径(圆锥曲线上的点P到焦点F的距离)的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转 化到相应准线的距离，即焦半

3、径r ed a e% ,其中d表示P到与F所对应的准线的距离。如(1)已知椭圆工二1 25 16上一点P到椭圆左焦点的距离为3,则点P到右准线的距离为 (答10/3);2(2)椭圆工42匕 1内有一点P(1, 1), F为右焦点，在椭圆上有一点 3M ,使MP 2MF 之值最小，则点M的坐标为，1)；5、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题：S b2 tan-2当|y0| b即P为短轴端点时,Smax的最大值为bc；6、弦长公式：若直线y kx b与圆锥曲线相交于两点 A、B,且为？2分别为A、B的横坐标，则AB =田k2 X1 X2 ,若yi, y2分别为A、B的纵坐

4、标，则AB = jl2 y y2 ,若弦AB所V k2在直线方程设为x ky b,则AB| =函k21 yi y?。特别地，焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦的弦 长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。7、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用 “韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆v2b2x_41中，以P(x°,y。)为中点的弦所在直线的斜率k=学；ba y022如(1)如果椭圆L 1弦被点A (4, 2)平分，那么这条弦所在的直线方程是(答:36922x 2y 8 0); (2)已知直线y=-x+1与椭圆勺 与1(a b 0)相交于A、B

5、两点，且线段AB a b的中点在直线L: x 2y=0上，则此椭圆的离心率为(答：叵);(3)试确定m的取值范2围，使得椭圆£ k1上有不同的两点关于直线y 4x m对称(答：出,2匹 兀431313特别提醒：因为 题时，务必别忘了检验0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问 0!(a b 0) , (a c 0),且c为两条直椭圆的y2的分母方程Ax2 By2222C可化为A-竺一1 ,即工C CCABy2CB1,所以只有A、B、C同号，且A B时，方椭圆知识点1 .如何确定椭圆的标准方程？任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原

6、点，对称轴是坐标轴，椭圆的 方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件a,b； 一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。2 .椭圆标准方程中的三个量 a,b,c的几何意义椭圆标准方程中，a,b,c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的 长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为:2 222、(a b c )。可借助右图理解记忆:显然：a,b,c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、角边。3 .如何由椭圆标准方程判断焦点位置焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦

7、点位置的方法是：看x2,的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。4 .方程Ax2 By2 C(A,B,C均不为零)是表示椭圆的条件C时，椭圆的焦点在 y轴上。BC CC程表本椭圆。当一一时，椭圆的焦点在 x轴上；当 一A BA5 .求椭圆标准方程的常用方法：待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程 中的参数a,b,c的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。6 .共焦点的椭圆标准方程形式上的差异2222共焦点，则c相同。与椭圆2241 (a b 0)共焦点的椭圆方程可设为一1

8、 (m b2),aba mb m此类问题常用待定系数法求解。7 .判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依据： 若把曲线方程中的x换成x,方程不变，则曲线关于y轴对称;若把曲线方程中的y换成y,方程不变，则曲线关于x轴对称; 若把曲线方程中的x、y同时换成 x、 y,方程不变，则曲线关于原点对称。8 .如何求解与焦点三角形 PF1F2 (P为椭圆上的点)有关的计算问题？思路分析：与焦点三角形 PFE有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理(或勾股1定理)、三角形面积公式S PF1F2 1PFi PF2 sin F1PF2相结合的万法进行计算解题。将有关线段|PFi、PF2、FiF21，有关

9、角 F1PF2 ( F1PF2F1BF2)结合起来，建立 PFi |PF2、PFi| |PF2之间的关系.9 .如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。 离心率e £(0 e 1),因为c2 a2 b2,a c 0, a用 a、b表示为 e J (b)2(0 e 1)。 a显然：当b越小时，e(0 e 1)越大，椭圆形状越扁；当b越大，e(0 e 1)越小，椭圆形状越趋 aa近于圆。题型1:椭圆定义的运用2 x 例1、已知FpF2为椭圆 1252例3、如果方程X2表示焦点在x轴的椭圆，那么实数k的取值范围是2X例4、已知P为椭圆252y16222

10、21上的一点，M,N分别为圆x 3 y 1和圆x 3 y 4上的点,则PM PN的最小值为题型2:求椭圆的标准方程例1、求满足下列各条件的椭圆的标准方程.（1）经过两点 A（T3, 2）、B（ 2而,1）；2,2（2）经过点化，一3）且与椭圆9x 4y36具有共同的焦点.（3） 一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为4&-4.题型3:求椭圆的离心率（或范围）例1、 ABC中，.A 300, AB 26 ABe J3若以A, B为焦点的椭圆经过点 C ，则椭圆的离心率为.例2、过椭圆的一个焦点 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于 P,若 F1PF2为等腰直角三角形

11、，则椭圆的离心率为题型4:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）22例1、已知实数x,y满足 人 y 1,则x2 y2 x的范围为 421的两个焦点，过Fl的直线交椭圆于 a、B两点若F2A F2B 12,则AB 例2、椭圆有这样的光学性质： 从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为 2a,焦距为2c,静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是 2、2已知P是椭圆二a2 y b21上一点，Fi,F2是椭圆的两个焦点，求PFi PF2的最大值

12、与最小值3、已知点A,B是椭圆2x-2m2y1 ( m 0, n 0)上两点nuuur，且AOuurBO，则4、如上图，把椭圆252y1的长轴AB分成8等份,16过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于耳尺，P3,比已P6,P7七个点,F是椭圆的一个焦点，则 PFP2FRFP4FP5FP6FP7F题型5:焦点三角形问题x2例1、已知Fi, F2为椭圆一92 1的两个焦点，p为椭圆上的一点，已知 P,Fi, F2为一个直角三角形的三个顶 4点，且PF1PF2，求PFiPF2的值;22x y PF2的点的个数为例2、已知已下？为椭圆C： 一1 1的两个焦点，在 C上满足PF1 8422例3、若F1

13、,F2为椭圆 上 1的两个焦点，p为椭圆上的一点，当F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范94围为例4、已知椭圆的焦点是 F,(Q 1)，F2(Q1),且经过点(1, 3)求椭圆的方程；设点P在椭圆上，且2PF1PF2 1,求 cos F1PF2.题型6:三角代换的应用x2y2例1、椭圆 1上的点到直线l:x y 9 0的距离的最小值为169一 ，一 x2例2、椭圆一162y1的内接矩形的面积的最大值为9题型7:直线与椭圆的位置关系的判断x2 y2例1、当m为何值时，直线 y x m与椭圆 一 工 1相交？相切？相离?169例2、若直线y kx21(k R)与椭圆土题型8:弦长问题例3.求直线

14、y 2x4x24被椭圆丝92y91所截得的弦长.2例4、已知椭圆21的左右焦点分别为Fi,F2,若过点P (0,-2)及F1的直线交椭圆于A,B两点，求NABF2的面积;题型9:中点弦问题25、求以椭圆81内的点A (2,-1)为中点的弦所在的直线方程。6、中心在原点,一个焦点为F1(0, J50)的椭圆截直线y 3x 2所得弦的中点横坐标为7、椭圆mx2ny2 1 ,与直线x y 1相交于乂、,两点,e是且§的中点.若AB 272 ,斜2y- 1恒有公共点，求实数 m的取值范围;m率为 (O为原点)，求椭圆的方程.2题型10、椭圆与向量、解三角形的交汇问题例6、设过点P x, y的

15、直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于 A、B两点，点Q与点P关于y轴对称,uuu uuuuuir uuuO为坐标原点，若BP 2PA,且OQ AB 1,求P点的轨迹方程;15.如图，在 RtAABC 中，/ CAB=90,AB=2，AC=? 一曲线E过点C,动点P在曲线E上运动，且保才|PA|+|PB|的值不变，直线l经过A与曲线E交于M、N两点。(1)建立适当的坐标系，求曲线E的方程；(2)设直线l的斜率为k,若/ MBN为钝角，求k的取值范围。基础巩固训练1 .如图，椭圆中心在原点，F是左焦点，直线ABi与BF交于D,且 BDBi,则椭圆的离心率为x2.uur uuuu2 .设Fi,F

16、2为椭圆 y2 1的两焦点，P在椭圆上，当 F1PF2面积为1时，PF1 PF24的值为223 .椭圆y- 1的一条弦被 A 4,2平分，那么这条弦所在的直线方程是 3694 .在4ABC中，A 90o, tanB 3 .若以A,B为焦点的椭圆经过点 C ,则该椭圆的离心率 e45 .若F1,F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，若 PF1F2 : PF2F1 : F1PF2 1:2 :3,则此椭圆的离心率为22x y6 .在平面直角坐标系中，椭圆F 4 1(a ba b圆的两切线互相垂直，则离心率e= .0)的焦距为2,以。为圆心，a为半径的圆，过点(旦-,0)作 c综合提高训练2x7、已知椭圆ab 0)与过点A(2, 0), B(0, 1)的直线l有且只有一个公共点T,且椭圆的离心率e -,求椭圆方程;2221,在椭圆上，线28 .已知A、B分别是椭圆2万 4 1(a b 0)的左右两个焦点，。为坐