011.函数与平面直角坐标系2015B

1、一、选择题1. （2015河北省，10，3分）一台印刷机每年可印刷的书本数y（万册）与它的使用时间x（年）成反比例关系，当x=2，y=20则y与x的函数图像大致是（ ）【答案】C【解析】解：y与x成反比例关系，y与x的函数图像是双曲线的一部分，因此A、B选项错误，当x=2，y=20，反比例函数的k=40，因此，只有C选项正确，故选D2. （2015山东省莱芜市，11，3分）如图，在矩形ABCD中，AB=2a，AD=a，矩形边上一动点P沿ABCD的路径移动，设点P经过的路径长为x，PD2=y，则下列能大致反映y与x的函数关系图象是ABCD【答案】B【解析】3. j（2015河南省，8，3分）如图

2、所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2015秒时，点P的坐标是（ ）A.（2014,0） B. （2015,-1） C. （2015,1） D. （2016,0）【答案】B4. （2015福建省厦门市，9，4分）如图3，某个函数的图像由线段AB和BC组成，其中点 则此函数的最小值是（ ）【答案】B【解析】从图像中可以看出此函数是分段函数，并且在B点时此函数取最小值，且B点的纵坐标为，故选B5. （2015北京，8，3分）右图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图若

3、这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向表示太和门的点坐标为（0，-1），表示九龙壁的点的坐标为（4，1），则表示下列宫殿的点的坐标正确的是（ ）A景仁宫（4，2） B养心殿（-2，3） C保和殿（1，0） D武英殿（-3.5，-4）【答案】B【解析】解：（1）因为太和门的点坐标为（0，-1），所以原点为中和殿选项中只有养心殿（-2，3）的坐标正确故选A6.（2015北京，10，3分）一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，通道由在同一平面内的AB，BC，CA，OA，OB，OC组成为记录寻宝者的进行路线，在BC的中点M处放置了一台定位仪器，设寻宝者行进的时间为x，寻宝者与定位仪器之间的距离

4、为y，若寻宝者匀速行进，且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则寻宝者的行进路线可能为（ ）AAOB BBAC CBOC DCBO【答案】C【解析】解：从图2可以看出：寻宝者与定位仪器之间的距离先变小后变大，接着变小，再接着又变大，且呈现对称性，选项B与C均有这种规律，但是最开始的距离中间时刻的距离更大，选项B中间时刻距离比开始时大，不满足题意故选7. （2015陕西省西安市，8，3分）在平面直角坐标系中，将直线l1:y= -2x-2平移后，得到直线l2:y= -2x+4，则下列平移作法正确的是（ ）A 将l1向右平移3个单位长度 B 将l1向右平移6个单位长度C 将l1向上平移2个单位

5、长度 D 将l1向上平移4个单位长度【答案】A【解析】向右平移3各单位，平移后的解析式为y= -2(x-3)-2= -2x+4，符合题意，其它选项均不符合题意，选A8. (2015湖北随州市，9，3分)在直角坐标系中，将点(2，3)关于原点的对称点向左平移2个单位长度得到的点的坐标是A.(4，3)B.(4，3)C.(0，3)D.(0，3)【答案】C【解析】点(2，3)关于原点的对称点是(2，3)，将其向左平移2个单位长度得到的点的坐标是(0，3)，故选C9. (2015广东省，10，3分)如题10图，已知正ABC的边长为2，E，F，G分别是AB，BC，CA上的点，且AE=BF=CG，设EFG的

6、面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数图象大致是【答案】D【解析】本题考查了几何图形背景下的两个变量之间的函数关系，渗透了数形结合的数学思想。解答这类问题的关键在于寻找两个变量之间的数量关系，进而用含有自变量的代数式表示函数。本题根据题意，知道AE=BF=CG，且正三角形ABC的边长为2，则BE=CF=AG=2-x，所以可得AEG、BEF、CFG这三个三角形都是全等的在AEG中，AE=x，AG=2-x，则SAEG=AEAGsinA=x（2-x），所以y=SABC-3SAEG=3x（2-x）=（3x 2 -6x+4），故可得其图象为二次函数，且开口向上，因此，本题应该选D。10.11.12.1

7、3.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39. 二、填空题1. （2015湖北省咸宁市，14，3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，6），将OAB沿x轴向左平移得到,点A的对应点落在直线上，则点B与其对应点间的距离为 .【答案】8【解析】A点的坐标为（0，6），A的纵坐标为6，当y=6时，,解得x=8,的坐标为（8，6）.,点B与其对应点间的距离为8. 故答案为8.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.2

8、2.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39. 三、解答题1. （2015湖北省咸宁市，24，12分）如图1，已知直线与x轴交于点A,与y轴交于点B，将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V”形折线） （1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式; （2）如图2，双曲线与新函数的图象交于点C(1，a), 点D是线段AC上一动点（不包括端点）. 过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P. 试求PAD的面积的最大值；探索：在点D的运动过程中，四边形PAEC能否为

9、平行四边形，若能求出此时点D的坐标，若不能，请说明理由.【答案】（1）函数的最小值为0；函数图象的对称轴为直线x=3;当x3时，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，3）（注：任说两条即可）. 新函数的解析式为：当x3时，y=x+3；当x3时，y=x3. （2）PAD的面积的最大值为；不能.理由：当点D为AC的中点时，其坐标为（1，2），此时，P点的坐标（2，2），E点的坐标为（5，2）.DP=3,DE=4.EP与AC不能互相平分，四边形PAEC不能成为平行四边形.【解析】解：（1）函数的最小值为0；函数图象的对称轴为直线x=3;当x3时，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（

10、0，3）（注：任说两条即可）. 由题意得点A的坐标为（3，0），分两种情况：x3时，显然y=x+3;当x3时，设其解析式为.在直线中，当x=4时，y=1，则点（4，1）关于x轴的对称点为（4，1）.把（4，1），（3，0）代入中，得方程组，解得.所以新函数的解析式为：当x3时，y=x+3；当x3时，y=x3. （2）点C(1,)在直线上，.点C(1,4)在双曲线，. 点D在线段AC上运动，设D点的坐标为（m,m+3）,且3m1.DPx轴，且点P在双曲线上，P(,m+3).PAD的面积为：=.a=0,当m=时，S有最大值，为. 又31，PAD的面积的最大值为.不能. 理由：当点D为AC的中点时，

11、其坐标为（1，2），此时，P点的坐标（2，2），E点的坐标为（5，2）.DP=3,DE=4.EP与AC不能互相平分，四边形PAEC不能成为平行四边形.2. （本小题满分8分）如图8，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图像分别交于C、D两点，点D（2，-3），点B事线段AD的中点.(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)求COD的面积；(3)直接写出时自变量x的取值范围. 【解析】解：(1)D(2，-3)在上 =2（-3）= -6，故1分 作DEx轴，垂足为E， D(2，-3)，B是AD中点， A（-2,0）, A（-2,0），D(2，-3)在图象上 ， 解得，

12、所以 （2）由 ，解得C（-4，） SCOD=SAOC+SAOD= (3)当x4或Oxy2 3. （2015湖南省邵阳市，26题，10分）如图（十四），已知直线y=xk和双曲线（k 为正整数）交于A，B两点.（1）当k=1时，求A，B两点的坐标；（2）当k=2时，求AOB 的面积；（3）当k=1时，OAB 的面积记为，当k=2时，求OAB 的面积记为，以此类推，当k=n时，OAB 的面积记为，若=，求n的值【答案】【解析】解：.（1）当k=1时，直线解析式是y=x1，双曲线的解析式是y=，因此解方程x1=，所以，解得，所以点A 坐标是（1，2），点B 坐标是（2，1）.（2）当k=2时，直线解

13、析式是y=x2，双曲线的解析式是y=，因此解方程x2=，所以，解得，所以点A 坐标是（1，3），点B 坐标是（3，1）.直线AB与x轴交点坐标是D（2，0），与y轴交点坐标是（0，2），因此OC=OD=2，所以AOB 的面积是OCOC=2123=4.或ODOD=2321=4.（3）当k=1时，OAB 的面积记为，=OCOC=1112=.当k=2时，求OAB 的面积记为，=4，当k=3时，求OAB 的面积记为，=OCOC=3134=.，以此类推，当k=n时，OAB 的面积记为，=OCOC=n1n（n1）=.=12，=，=24.41224=0，因此得出n=6.4. （本题8分）如图，在矩形OABC

14、中，OA=3，OC=5，分别以OA、OC所在直线为x轴y轴，建立平面直角总表系.D是CB边上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数（0）的图像经过点D且与边BA交于点E，连接DE.（1）连接OE，若EOA的面积为2，则=_.(2)连接CA,DE与CA是否平行？请说明理由；（3）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在求出点D的坐标；若不存在，请说明理由. 备用图【答案】（1）4； （2）DEAC，理由略； （3）(，5)【解析】：(1)如图1，.(2)如图1，OA=3，OC=5，B（3,5）D（，5），E（3，），DEAC.如图1(1) 如图2，存在点D，点B关于DE的对称点在

15、OC上.设点B关于DE的对称点为F，连接DF、BF，设BF交AC于H.B、F关于DE对称，由（2）知DEAC，；B、F关于DE对称，DF=DB，由（2）知D（，5），B（3，5），解得：，.如图25. (本题满分8分)为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市对居民用水实行阶梯水价.居民家庭每月用水量划分为三个阶梯，一、二、三阶梯用水的单价之比等于1:1.5:2.下图折线表示实行阶梯水价后每月水费y元与月用水量x 之间的函数关系，其中线段AB表示第二阶梯时y与x之间的函数关系.(1)写出点B的实际意义；(2)求线段AB所在直线的表达式；(3)某户5月份按照阶梯水价应缴水费102元，其相应用水量

16、为多少立方米？ 【答案】（1）居民家庭月用水25时，应交水费90元；（2）（）；(3)27.【解析】：(1)居民家庭月用水25时，应交水费90元；(2)设一阶梯用水单价为x元，则二阶梯用水单价为1.5x元，根据题意得：，解得：x=3.， A（15，45），设线段AB所在直线为：，由图像知B(25，90)，解得：线段AB所在直线为：.(3)由（2）知一阶梯用水单价为3元，一、三阶梯用水的单价之比等于1:2，三阶梯用水单价为6元；5月份该户用水量为：25+（102-90）6=27（）.6.（2015福建漳州，24，12分）理解：数学兴趣小组在探究如何求tan15的值，经过思考、讨论、交流，得到以下

17、思路：思路一 如图1，在RtABC中，C=90，ABC=30，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD（第24题图1）设AC=1，则BD=BA=2，BC=tanD=tan15=思路二 利用科普书上的和（差）角正切公式：假设=60，=45代入差角正切公式：思路三 在顶角为30的等腰三角形中，作腰上的高也可以思路四 请解决下列问题（上述思路仅供参考）（1）类比：求出tan75的值；（2）应用：如图2，某电视塔建在一座小山上，山高BC为30米，在地平面上有一点A测得A，C两点间距离为60米，从A测得电视塔的视角（CAD）为45，求这座电视塔CD的高度；（3）拓展：如图3，直线与双曲线交于A，B两点，与

18、y轴交于点C，将直线AB绕点C旋转45后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P的坐标；若不能，请说明理由（第24题备用图）（第24题图2）（第24题图3）【答案】（1）tan75=；（2）CD=；（3）点P坐标为 (，3)，(-1，-4) 【解析】解：（1）（方法一）（如图1），ABC=30，设AC=1，则BD=AB=2，BC=，tanDAC= tan75=（第24题图1）（方法二）假设=60，=15代入和角正切公式：（方法三）（如图2）在ABC中，A=30，AB=AC，ACB=75，作高BD，设BD=1，则AB=AC=2，AD=，CD=，在RtDCB中，tanACB= tan75=（其他合理

19、解法也可以）（第24题图2）（2）（如图3），ABD=90，AC=60，BC=30，AB，则CAB=30，在ABD中，BAD=30+45=75，tan75，CD+30，CD答：这座电视塔CD的高度为()米（第24题图3）（3）联立，解得，或，即：A（4，1），B（-2，-2）由题意可得点C为（0，-1），过点C作x轴的平行线CD，过点P作PDCD于D，交直线AB于点F，过点A作AECD于E，tanACE（方法一）分两种情况：（如图4）过点P作PHAB于H，所以PH=CH，设点P坐标为 (，)，则在CDF中，CD=，DF=，CF=在PFH中，PH=2FH，则，又因为点F的坐标为 (，)，所以，整

20、理得，解得，经验证：点P的坐标为(，)，(，)（第24题图4）（如图5）过点P作PHAB于H，所以PH=CH，设点P坐标为 (，)，F坐标为(，)，则在CDF中，CD=，DF=，CF=在PFH中，整理得，因为，则方程没有实数根，所以点P不存在即直线AB绕点C旋转45后，能与双曲线相交，交点P的坐标为 (，)，(，)（第24题图5）（方法二）分两种情况：设将直线AB绕点C逆时针旋转45后，与双曲线相交于点P（如图4）设点P坐标为 (，)，在RtPCD中，CD=，PD=，即PD=3CD，即，整理得：解得，经验证：点P的坐标为(，)，(，)（方法1）设将直线AB绕点C顺时针旋转45后，由作图可以看出

21、与双曲线没有交点（方法2）设将直线AB绕点C顺时针旋转45后与双曲线相交于点P，如图5，过点P作PDCD于点D，交直线AB于点F，可得在RtPCD中，CD=，PD=，即CD=3PD，整理得，因为，则方程没有实数根，所以点P不存在即直线AB绕点C旋转45后，能与双曲线相交，交点P的坐标为(，)，(，)（方法三）分两种情况：（如图6）设将直线AB绕点C逆时针旋转45后与x轴交于点F，与双曲线交点P设直线CF的解析式为，则点F坐标为 (，0)，在RtCOF中，即OC=3OF，求得，即，联立，解得，或，即直线AB绕点C逆时针旋转45后能与双曲线相交，交点P的坐标为(，)，(，)（第24题图6）（如图7

22、）设将直线AB绕点C顺时针旋转45后得到直线CG，与x轴交于点F设直线CF的解析式为：，所以点F坐标为 (，0)，在RtCOF中， ，即3OC=OF，求得，即，则， 整理得，因为，则方程没有实数根，所以点P不存在即直线AB绕点C旋转45后，能与双曲线相交，交点P的坐标为(，)，(，)（第24题图7）7. （2015北京，23，5分）在平面直角坐标系中，直线y=kx+b（k0）与双曲线的一个交点为P（2，m），与x轴、y轴分别交于点A，B(1)求m的值；(2)若PA=2AB，求k的值【答案】（1）=2 （2）k-=1或k=3【解析】解：（1）因为点P（2，m）在反比例函数上，所以（2）因为点P（2，4）在一次函数y=kx+b上，所以4=2k+b， b=4-2k因为y=kx+b与x，y轴交于A，B两点，令y=0，x=；令=0，=4-2k所以A（，0），B（0，4-2k）作PDx轴于点D，下面分情况讨论： 如图1，因为PA=2AB，所以PB=AB，故OD=OA=2，即：=2，所以k=1 如图2，因为PA=2AB，所以PD=2OB=4，所以OB=2，2k4=2，k=3综上所述：k=1或k=38. （