【金学案】高中数学（北师大版选修12精品学案第三章 推理与证明 第1课时 合情推理

1、第1课时合 情 推 理1.结合已学过的数学实例和生活实例,了解归纳推理与类比推理的含义.2.能利用归纳方法进行简单推理,体会并认识归纳推理在数学发展中的作用.3.掌握类比推理的一般方法,会对一些简单问题进行类比,得出新的结论,培养学生的类比推理能力.重点:了解合情推理的含义,能利用归纳进行简单的推理.难点:用归纳、类比进行推理,作出猜想.历史上,人们提出过许多永动机的设计方案,有人采用“螺旋汲水器”的原理,有人利用轮子惯性原理,有人利用水的浮力或毛细作用的原理,但均以失败告终.于是人们纷纷认为:不可能制造出永动机.问题1:他们为什么认为不可能制造出永动机?通过大量失败的例子归纳推理得到的,并由

2、后人提出的能量守恒定律彻底说明永动机不可制造.问题2:归纳推理、类比推理及其特点(1)归纳推理:根据一类事物中部分事物具有某种属性,推断该类事物中每一个事物都有这种属性,我们把这种推理方式称为归纳推理. 它具有以下几个特点:归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理. 利用归纳推理得出的结论不一定是正确的,但是可以为我们的研究提供一种方向.(2)类比推理:由于两类不同对象具有某些类似的特性,在此基础上,根据一类对象的其他特征,推断另一类对象也具有类似的其他特征,我们把这种推理过程称为类比推理. 它具有以下几个特点:类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的

3、事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性,是一种从特殊到特殊的推理. 类比的结果不一定正确,但它却有发现的功能.问题3:归纳推理、类比推理的一般步骤(1)归纳推理:通过观察个别情况发现某些相同的性质;从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想);如果归纳的个别情况越多,越具有代表性,那么推广的一般性命题就越可能为真.归纳推理的一般思维过程:实验、观察概括、推广猜测一般性结论(2)类比推理:找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想;检验猜想.类比推理的一般思

4、维过程:观察、比较联想、类推猜想新结论问题4:合情推理及其意义归纳推理和类比推理都是最常见的合情推理.合情推理是根据实验与实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等),推测出某些结果的推理方式. 尽管合情推理的结果不一定正确,但是,在数学、科学、经济和社会的历史发展中,合情推理有非常重要的价值,它是科学发现和创造的基础. 数学中有一条三角形定理:三角形的两边之和大于第三边,根本不存在一条边大于其他两边之和的三角形.这个数学原理被一位科学家成功地运用到社会科学领域.他认为,历史上如果三个割据势力并存,就形成了三足鼎立,这是一种比较稳定的结构.如果

5、强者侵犯了弱者,被侵犯的弱者就会与另一个弱者联合起来.结盟之后,两边之和大于第三边,稳定的三足结构就不会被破坏.只有当强者的力量超过了两个弱者之和,三国鼎立的局面才会结束.这位科学家利用类比推理表达自己的思想,使抽象的道理具体化,使论述更加形象,收到了良好的表达效果.1.数列an的前四项为,1,由此可以归纳出该数列的一个通项公式为().A.an=B.an=C.an=D.an=【解析】将前四项分别写成,即可作出归纳.【答案】B2.由数列1,10,100,1000,猜测该数列的第n项可能是().A.10nB.10n-1C.10n+1D.11n【答案】B3.已知点A(x1,)、B(x2,)是函数y=

6、x2的图像上任意不同两点,依据图像可知,线段AB总是位于A、B两点之间函数图像的上方,因此有结论>()2成立.运用类比思想方法可知,若点C(x1,lg x1)、D(x2,lg x2)是函数y=lg x(x>0)的图像上的不同两点,则类似地有成立. 【解析】因为线段总是位于C、D两点之间函数图像的下方,所以有<lg.【答案】<lg4.观察圆周上n个点之间所连的弦,发现两个点可以连一条弦,3个点可以连3条弦,4个点可以连6条弦,5个点可以连10条弦,由此可以归纳出什么规律?【解析】设f(n)为n个点可连的弦的条数,则f(2)=1=,f(3)=3=,f(4)=6=,

7、f(5)=10=,故f(n)=.归纳推理的应用已知函数f(x)=,设f1(x)=f(x),fn(x)=fn-1fn-1(x)(n>1,nN+),则f3(x)的表达式为,猜想fn(x)(nN+)的表达式为. 【方法指导】写出f1(x),f2(x),f3(x),观察fn(x)的特点,从而归纳出fn(x).【解析】由f1(x)=f(x)得f2(x)=f1f1(x)=,f3(x)=f2f2(x)=,由此猜想fn(x)=(nN+).【答案】f3(x)=fn(x)=(nN+)【小结】归纳推理的一般步骤:(1)经过观察个别情况发现某些相同的性质;(2)从已知的相同性质中推出一个有明确结论的一

8、般性命题.利用类比推理猜想结论在等差数列an中,若a10=0,则有等式a1+a2+an=a1+a2+a19-n(n<19,nN+)成立,类比上述性质,相应地:在等比数列bn中,若b9=1,则有等式成立. 【方法指导】寻找类比对象,理解等差数列性质,结合等比数列性质给出结论.【解析】等差数列用减法定义性质用加法表述(若m,n,p,qN+,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq);等比数列用除法定义性质用乘法表述(若m,n,p,qN+,且m+n=p+q,则am·an=ap·aq).由此,猜测本题的答案为b1b2bn=b1b2b17-n(n<17,nN+

9、).【答案】b1b2bn=b1b2b17-n(n<17,nN+)【小结】本题考查等差数列与等比数列的类比.类比问题的关键是找好对应的类比对象,理解类比前问题成立的条件也是个关键.通过类比方法解题通过计算可得下列等式:22-12=2×1+132-22=2×2+142-32=2×3+1(n+1)2-n2=2×n+1将以上各式分别相加得:(n+1)2-12=2×(1+2+3+n)+n,即1+2+3+n=.类比上述求法,请你求出12+22+32+n2的值.【方法指导】利用提示的思路求得(n+1)3-n3=3×n2+3×n+1,

10、再叠加即可.【解析】23-13=3×12+3×1+133-23=3×22+3×2+143-33=3×32+3×3+1(n+1)3-n3=3×n2+3×n+1将以上各式分别相加得:(n+1)3-13=3×(12+22+32+n2)+3×(1+2+3+n) +n,所以12+22+32+n2=(n+1)3-1-n-3··n=n(n+1)(2n+1).【小结】类比推理是由特殊到特殊的推理,其关键就是注重本质的推导方式,通过这种推导方式对解决另一个问题起到指导作用.(1)设函数f(x)

11、=(x>0),观察:f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x)=,f3(x)=f(f2(x)=,f4(x)=f(f3(x)=,根据以上事实,由归纳推理可得:当nN+且n2时,fn(x)=f(fn-1(x)=. (2)观察下列等式:13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,根据上述规律,第五个等式为. 【解析】(1)观察给定的各个函数解析式,可知分子都为x,分母都为关于x的一次式的形式且各个式子的常数项分别为2,4,8,16,这样fn(x)对应的函数的分母的常数为2n,x的系数比常数少1即为2n-1,因此fn(x)=f(fn-1(

12、x)=.(2)由题中等式可知第i个等式左边为1到i+1的立方和,右边为1+2+(i+1)的平方,所以第五个等式为 13+23+33+43+53+63=212.【答案】(1)(2)13+23+33+43+53+63=212下列是用类比法进行猜测的几个结论:由“a=bac=bc”类比得到“a>bac>bc”;由“a(b+c)=ab+ac”类比得到“sin(A+B)=sin A+sin B”;由“=(a>0,b>0,c>0)”类比得到“=(a>0,b>0,c>0)”;由“分数的分子、分母同乘一个非零的数,分数值不变”类比得到“分数的分子、分母同乘一个非

13、零的式子,分数值不变”.其中,正确结论的个数为().A.0B.1C.2D.3【解析】当c0时,类比的结论不正确;类比的结论是学生刚学习三角时经常出现的错误;类比的结论也是学生在学习对数时常犯的错误,即类比推理的结论不一定正确;类比的结论是正确的.【答案】B在平面上,若两个正三角形的边长之比为12,则它们的面积比为14,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为12,求它们的体积之比.【解析】由类比推理得,若两个正四面体的棱长的比为12,则它们的体积比为18.下面计算验证,假设两个正四面体的棱长分别为1和2,如图,正四面体ABCD的棱长为1,取BC的中点E,作AOED于O,则OD=ED=

14、15;=,又在RtAOD中,AO=,则V正四面体ABCD=SBCD·AO=××=.同理,可算得棱长为2的正四面体的体积V正四面体A'B'C'D'=2.V正四面体ABCDV正四面体A'B'C'D'=18.1.根据给出的数塔猜测123456×9+7等于().1×9+2=1112×9+3=111123×9+4=11111234×9+5=1111112345×9+6=111111A.1111110B.1111111C.1111112D.1111113

15、【答案】B2.对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”,可类比猜想出:正四面体的内切球切于四面体().A.各正三角形内一点B.各正三角形的某高线上的点C.各正三角形的中心D.各正三角形外的某点【解析】正四面体的四个面都是正三角形,其内切球与正四面体的四个面相切于各正三角形的中心.【答案】C3.在数列an中,a1=2,an+1=(nN+),可以猜测数列的通项an的表达式为. 【答案】an=(nN+)4.如图,在三棱锥S-ABC中,SASB,SBSC,SASC,且SA、SB、SC和底面ABC所成的角分别为1、2、3,三侧面SBC、SAC、SAB的面积分别为S1、S2、S3,类比三角形中的

16、正弦定理,给出空间情形的一个猜想.【解析】在DEF中,由正弦定理得=,于是类比三角形中的正弦定理,在四面体S-ABC中,猜想:=.(2022年·陕西卷)观察下列等式:12=112-22=-312-22+32=612-22+32-42=-10照此规律,第n个等式可为. 【解析】设等式右边的数的绝对值构成数列an,a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,an-an-1=n,以上所有等式相加可得an-a1=2+3+4+n,即an=1+2+3+n=,再观察各式的符号可知第n个等式为12-22+32-42+(-1)n+1n2=(-1)n+1·.【答案】12-22+3

17、2-42+(-1)n+1n2=(-1)n+1·    1.观察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cos x)'=-sin x,由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)等于().A.f(x)B.-f(x)C.g(x)D.-g(x)【解析】由给出的例子可以归纳推理得出:若函数f(x)是偶函数,则它的导函数是奇函数,因为定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),即函数f(x)是偶函数,所以它的导函数是奇函数,即有g(-x)=-g(x),故选D.

18、【答案】D2.下图所示的是一串白黑相间排列的珠子,若按这种规律从左往右排起来,则第36颗珠子的颜色为().A.白色B.黑色C.白色的可能性大D.黑色的可能性大【解析】把三颗白珠子与两颗黑珠子看作一个整体,即5个珠子一个周期,故第36颗珠子与第1颗珠子的颜色相同.【答案】A3.已知经过计算和验证有下列正确的不等式:+<2,+<2,+<2,根据以上不等式的规律,写出对正实数m,n成立的条件不等式:. 【答案】当m+n=20时,有+24.将全体正奇数排成一个三角形数阵:13 57 9 1113151719按照以上规律的排列,求第n(n3)行从左向右的第3个数.【解析】前n

19、-1行有1+2+3+(n-1)=个数,加上第n行(n3)从左向右的3个数共有(-+3)个数,故第n(n3)行从左向右的第3个数为2(-+3)-1=n2-n+5.5.观察下列各式:72=49,73=343,74=2401,则72022的末两位数字为().A.01B.43C.07D.49【解析】75=16807,76=117649,77=823543,78=5764801,发现74k-2的末两位数字为49,74k-1的末两位数为43,74k的末两位数为01,74k+1的末两位数为07,kN+,72022=74×504-2,末两位数为49.【答案】D6.观察式子:1+<,1+<,1+<,则可归纳出的式子为().A.1+<(n2)B.1+<(n2)C.1+<(n2)D.