第四讲微分方程

1、第四讲 微分方程考纲要求1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.2.掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法.3.会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程.4.会用降阶法解下列微分方程：，和.5.理解线性微分方程解的性质及解的结构.6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，比会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.7.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程.8.会解欧拉方程.9.会用微分方程解决一些简单的应用问题.一、基本概念问题1 微分方程的基本概念答 考纲要求了解微分方程及其

2、阶、解、通解、初始条件和特解等概念.微分方程：含有自变量、未知函数、未知函数的导数的等式.微分方程的阶(order)：微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数.微分方程的解：满足微分方程的函数.微分方程的通解：微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数.定解条件：确定微分方程通解中任意常数的值的条件（初始条件和边界条件）.微分方程的特解：确定了通解中任意常数的值后所得到的解.初值问题（Cauchy问题）：求微分方程满足初始条件的特解.一阶微分方程初值问题：，.二阶微分方程初值问题：，.微分方程的积分曲线：微分方程的解的图形（通解的图形是一族曲线）.二、一阶微分方程问题

3、2 如何求解一阶微分方程？答 一阶微分方程的一般形式是：，解出：，考纲要求掌握变量可分离的微分方程、一阶线性微分方程、.齐次微分方程、伯努利方程的解法. 求解微分方程的步骤是：判断方程的类型并用相应的方法求解.1.可分离变量的微分方程：解法 分离变量：；两端积分：.2.齐次型方程：解法 令，则，代入方程，得并求解.可化为齐次型的方程：.解法 令，方程化为，再令求出，这样方程就化为齐次型方程：.3.一阶线性微分方程：若，则称它是齐次的，否则，称它为非齐次的.解法（常数变易法）先解对应齐次线性微分方程，求得通解；再令非齐次线性微分方程的解为，代入方程求出.其通解公式为一阶非齐次线性微分方程的通解对

4、应的齐次线性微分方程的通解非齐次线性微分方程的一个特解.4.伯努利方程：.（与一阶线性微分方程比较）解法 令，将方程化为一阶线性微分方程.例题11. 【】2. 【】3. 【】4. 【】5. 【】6.， 求连续函数，使.【 】7. 【】8. 【】9.当时，是比高阶的无穷小，求.【】10.设是微分方程的一个解，求此微分方程满足条件的特解. 【】11.作变量替换，求解.【】例题2 综合题1.设为连续函数，求初值问题的解，其中为正常数；【】若（为常数），证明：当时，有.2.设，其中函数，在内满足以下条件：，且，.求所满足的一阶微分方程；求出的表达式. 【；】3.设为可微函数，且对任意恒有，求满足的一阶

5、微分方程，并求.【；】习题1.微分方程的通解是 .【06-1-2，】2.微分方程满足的解为 .【05-1-2，】3.微分方程满足的特解为 .【05-3-4，】4.微分方程满足的特解为 .【04-2，】5.微分方程的通解是 .【94-3，】6.微分方程满足的特解为 .【93-1-2，】7.微分方程满足初始条件的特解为 .【07-3-4，】8.微分方程的通解为 .【08-2-4，】9.设非齐次线性微分方程有两个不同的解，则该方程的通解为 .【06-3-4，】三、二阶可降阶的微分方程问题3 如何求解可降阶的二阶微分方程？答 二阶微分方程一般形式，解出，数学一、数学二的考纲要求掌握下列三种类型可降阶方

6、程的解法：1.型的微分方程特点：右端仅含.解法：积分两次.2.型的微分方程特点：右端不显含未知函数.解法：换元，化为一阶方程求解. 步骤如下：令，则，方程化为（这是关于变量，的一阶方程）；解出；再由解出.3.型的微分方程特点：右端不显含.解法：换元，化为一阶方程求解. 步骤如下：令，则，方程化为（这是关于变量，的一阶方程）；解出；再由解出.例题1.求微分方程的通解.解 令，则，方程化为，再令，2.求初值问题的解.解 令，则，方程化为，分离变量，得，两边积分，得，即.将初始条件代入，得，故，解得，（舍去）.再解，分离变量，得，两边积分，得，将初始条件代入，得，所求特解为，即.二阶可降阶方程求特解

7、过程中，任意常数出现一个，确定一个，有利于下一步求解.3.物体从出发沿轴正向运动，速度大小为，另一物体从同时出发，始终指向物体，速度大小为，建立物体的运动轨迹所满足的微分方程，并写出初始条件. （93-1）解 【利用速度的方向和大小建立方程】设物体的运动轨迹方程为，时刻，物体位于，物体位于，依题意，有，即，对求导，得， 又，对求导，得，代入，得，初始条件为，.习题1.微分方程的通解为 .【】2.求初值问题的解.【】3.解方程.【】4.求初值问题的解.【】5.求微分方程满足初始条件的特解.【07-2，】四、二阶常系数线性微分方程问题4 关于线性微分方程解的性质、解的结构.答 二阶线性微分方程的一

8、般形式：，若，则称方程是齐次的，否则称方程是非齐次的.二阶线性微分方程一般形式：若，则称方程是齐次的，否则称方程是非齐次的.1.线性微分方程解的性质如果与是齐次方程的两个解，则是此齐次方程的解.如果与是非齐次方程的两个解，则是对应齐次方程的解.（解的叠加原理）设是线性方程的特解，则是的特解.2.线性微分方程解的结构定理1（齐次方程解的结构）如果与是齐次方程的两个线性无关的特解，则是此齐次方程的通解.定理2（非齐次方程解的结构）设是非齐次方程的一个特解，是对应的齐次方程的通解，则是此非齐次方程的通解.例题 设是的三个线性无关的解，则其通解为 .【】问题5 如何求解二阶常系数线性齐次方程？答 先求

9、出它的特征方程的两个根，再根据特征根的三种不同情形写出通解（见下表）.特征方程的根 方程的通解两个不等实根 两个相等实根 两个共轭复根 考纲还要求会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.问题6 如何求二阶常系数线性非齐次方程的特解？答 考纲要求会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程，由非齐次方程解的结构，只要求出它的一个特解和对应的齐次方程的通解，而齐次方程的通解已经解决，关键是求它的一个特解. 读者要熟练掌握自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积时特解的形式.1.若，则令，其中2.若，则令，其中，例题1.求满足的

10、解.【】2.求的通解，其中.【，】3.求的通解.【】4.的特解形式可设为 .【】5.设是方程的满足条件，的解，证明是方程的满足条件的解.习题1.微分方程的通解为 .【】2.微分方程的通解为 .【】3.微分方程的通解为 .【】4.函数满足的一个微分方程是（）.【06-2，D】（A）（B）（C）（D）5.在下列微分方程中，以为通解的是（）.【08-1-2，D】（A） （B）（C） （D）问题7 如何求解欧拉方程？（数学一）答 令，则，代入欧拉方程，将方程化为二阶常系数线性方程求解. 例题 欧拉方程的通解为 .【】五、其它问题8 如何利用变量替换化简方程？例题1.利用变量替换将化简，并求原方程的通解

11、.【】解 【函数替换，关键是求出】，代入原方程，得.（下略），再代入原方程.2.利用变量替换将方程化简，并求的特解 【05-2，】解 【自变量替换，关键是求出】，代入原方程，得.（下略）问题9 如何求解含变限积分的方程（积分方程）？答 积分方程通过求导可化为微分方程，这种方程通常含有初始条件（令积分上限等于积分下限）.例题1.设函数可导，且满足，求.【】2.设，为连续函数，求.解 ，两边对求导，得，两边再对求导，得，故满足微分方程，由，得初始条件.3.函数在上可导，且满足等式，求；【】证明：当时，.解 由，得，令，即，又，得，故.当时，其中，故当时，.4.设函数在内连续，且对任意满足条件，求.

12、【01-4，】5.设函数在上可导，且其反函数为，若，求.【01-2，】6.设函数在上单调、可导，且，求.【07-2，】7.设连续函数满足，求.【】8.求连续函数，使它满足.【】六、微分方程的应用问题10 如何用微分方程求解应用问题？答 关键是建立微分方程（包括初始条件）.例题1.设是第一象限连接的一段连续曲线，为该曲线上任意一点，点为在轴上的投影，为坐标原点，若梯形的面积与曲边三角形的面积之和为，求的表达式.【】2.设位于第一象限的曲线过点，其上任一点处的法线与轴的交点为，且线段被轴平分.求曲线的方程；（）已知曲线在上的弧长为，试用表示的弧长.【】解 【利用导数的几何意义建立微分方程】曲线在点

13、处的法线方程为，令 ，得，故点的坐标为.由题设知，即，解得，将代入上式，得，故曲线的方程为.曲线在上的弧长，的参数方程为弧长.3.设在上连续，若由曲线，直线与轴所围成的平面图形绕轴旋转一周所成的旋转体体积为，求所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件的解.【；】4.现有一质量为9000kg的飞机，着陆的水平速度为700km/h经测试，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为），问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？【1.05km】解 【利用建立方程，关键是受力分析】质量，水平速度，飞机所受的总阻力，依题意，两边积分，得，即，将代入上式，得，故，飞机滑行的最长距离（km）5.一个半球体

14、状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积成正比,比例系数为.假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的，问雪堆全部融化需要多少时间？【6小时】解 设雪堆时刻的半径为，体积，侧面积，则（注意符号），即，即，初始条件为，解得.由，解得，雪堆全部融化时，.6.在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的，设该人群的总人数为，在时，已掌握新技术的人数为，在任意时刻，已掌握新技术的人数为（连续可微变量），其变化率与已掌握新技术的人数和未掌握新技术的人数之积成正比，比例常数，求.【】7.有一平底容器，其内侧壁是由绕轴旋转而成的旋转曲面，容器的底面圆的

15、半径为m.根据设计要求，当以的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以的速率均匀扩大.（假设注入液体前，容器内无液体）根据时刻液面的面积，写出与之间的关系；（）求曲线的方程.（03-2，）解 时刻液面的面积，故；时刻容器内液体体积，对求导，得，即，初始条件为，解得，所求曲线的方程为.8.设有一高度为（表示时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程（设长度单位为厘米，时间单位为小时），已知体积减少的速率与侧面积成正比（比例系数为0.9），问高度为130厘米的雪堆全部融化需要多少小时？（01-1，）9.要设计一形状为旋转体的水泥桥墩，桥墩高为，上底面直径为，要求桥墩在任意水平截面上所受的平均压强为常数

16、，求桥墩的形状.解 建立坐标系如下：以桥墩下底面直径为轴，桥墩中心轴为轴，设桥墩母线方程为，.考察中心轴上点处水平截面上所受的压力，有，方程两边的对求导，得，初始条件为，解得.10.桶内有清水100升，现在以每分钟3升的速度向桶内注入浓度为每升2克的食盐水，同时以每分钟4升的速度流出混合液，求30分钟后桶内液体的含盐量.解 【用微元法建立方程】设时刻桶内液体的含盐量，在内桶内液体的含盐量的改变量，即，初始条件为.七、差分方程（数学三）内容提要1.概念 函数的差分，二阶差分，2.一阶常系数线性差分方程：解法 特征方程，特征根，对应齐次方程通解为，设，非齐次方程通解为.例题1.设则差分 .【】2.设则差分 .【】3.差分方程的通解为 .【】解 先解特征方程，得特征根，齐次方程的通解为，令非齐次方程的特解为，代入原方程，得，比较同次