第九讲无穷级数

1、第九讲 无穷级数9.1 级数的知识框架9.1.1 级数的概念与性质1叫做无穷级数2称为部分和,若称无穷级数收敛3性质1） 收敛到，则收敛到.2） ,收敛到,则级数收敛到.3） 在级数中去掉,加上或改变有限项,不会改变级数的收敛性.4） 如果级数收敛,则对这级数的项任意加括号后所成的级数(4)仍收敛,且其和不变.5） 收敛,则9.1.2 数项级数1 正项级数2 任意项级数9.1.3 函数项级数1 幂级数2 付氏级数 狄利克雷收敛定理要求总体理解概念，重点掌握幂级数9.2 例题例1 判别下列说法正确与否1）数列与级数同时收敛或同时发散；2）收敛，发散，则发散；3）发散，发散，则发散；4）收敛，收敛

2、，则收敛；5）发散，发散，则发散；6）收敛，则收敛；7）收敛，则收敛；8）收敛，则收敛；9），收敛，则收敛。解 1）错；2）对；3）错；4）错；（5）错；（6）错 ;(7)错；（8）错；（9）。例2 选择题1）设为正项级数，下面结论正确的是（A）若收敛，则，当时，；（B）若发散，则，当时，；（C）若，当时，则收敛；（D）若，当时，则发散；解 选D （A）反例，当偶数时当为奇数时；（B）反例，（C）反例(B)2) 设收敛（A）则；（B）又设当时，则收敛。（C）又设收敛，则收敛。D）设收敛，则收敛。解 C（A）反例，（B）见例1（8）；（D）见例1（4）（C），当时，3）设收敛，则（A）绝对收敛；

3、（B）条件收敛；（C）发散；（D）不定。解 （D） （A）反例，（B）同（A）；（C）反例3) 级数收敛，则级数（A）发散；（B）条件收敛；（C）绝对收敛；（D）敛散性不定。解 （C）因收敛，当时，当收敛，所以收敛。例3 判别下列级数的敛散性(正项级数)1；2. ；3. ；4. ；5. ；6. ；7. ；8. 解 （略）（1）注意比较极限形式；（2）会用无穷小等价分析；（3）放大法常用。例4 判别级数的敛散性，是绝对收敛还是条件收敛1解 令（），单增，即单减。又，由莱布尼兹收敛法，原级数收敛。又发散，理由，故原级数收敛。2解 因为由收敛，故原级数绝对收敛。例5 （抽象级数的敛散性）（1）已知于

4、上连续，单减，且，记。证明 收敛，且其和。分析：，故。即单增，有上界，从而有极限，即原（抽象）级数收敛。（2）若，都收敛，且，证明 收敛。证 ，而收敛，则收敛，从而收敛。（3）设收敛，绝对收敛，证明：绝对收敛。证 收敛，收敛收敛，有界，即存在，使，故原级数收敛。（4） 若正项数列单调上升且有上界，试证明：级数收敛。证：单调上升，有上界，必有极限，从而有界，存在，使记单增有上界，必有极限，故原级数收敛。（小结：抽象单调有界）9.3 关于幂级数9.3.1 幂级数的收敛半径于收敛域一、基本内容1 若，则2 于内收敛。（且内闭一致收敛）二、例题例1 求的收敛域。解 令，对于，当时，当时，发散，即时级数

5、收敛。解得或级数收敛。例2 求幂级数的收敛域。解 ，。当时，发散。当时，收敛。则，即是收敛域。例3 求的收敛域。解 ，得，当时，发散，当，发散，收敛域为例4 设在点条件收敛，则该幂级数的收敛半径为_，收敛区间为_ (4,-5<x<3)解 于点收敛，但布绝对收敛，则是收敛区间得端点，4，。例5 设收敛半径为3，则的收敛区间为（2，4）解求导后收敛半径不变，故，从。9.3.2 函数展开成幂级数一、基础内容1或2直接法：仅用上述公式展开，研究收敛性3间接法，由如下基本公式演绎展开1）2）3）4）5）6）7）二、例题 例1 将于点展开成幂级数。解 例2 将函数展开成的幂级数.解 因为再积分

6、,由,得例3 将展开成得幂级数。解 ，故说明：1. 如例2，例3求导后易于展开，之后积分 2. 被展函数最多出现的是ln，arctan，这两类函数。 3积分后注意考察。9.3.3 函数展开成幂级数一、 基本方法1 使用函数展开公式（7个公式应用）2 变换之后使用公式，求导，积分公式可和型变回原型3 和式求导（或积分）于原式结合微分方程，求和二、 例题例1 求的和函数解 记 例2 求的收敛域及和函数。解 当时，级数发散，故收敛域为令 则例3 求的收敛域及和函数。解 易得令，解方程得例4 求的和解 考察，则即为所求。易得收敛半径，而 。说明：例1，2，3体现了三种基本方法，例4是一种应用。9.4 付氏级数付氏级数基本知识点有两点：函数展开成付氏级数；付氏级数的收敛性。一、 函数展开成付氏级数1定义于上，连续或分段连续。2定义于上其中3定义于上展开成正弦级数，做奇延拓，则展开成余弦级数，做偶延拓，则4定义于上将展成正弦级数，做奇延拓，则 将展成余弦级数，做偶延拓