第十二讲微分方程

1、第十二章 微分方程一、学习目的与要求1、会识别下列类型的一阶微分方程：可分离变量的微分方程，齐次方程、一阶线性微分方程、贝努利方程及全微分方程，并会通过适当变换化成上述微分方程。2、熟练掌握可分离变量的微分方程，一阶线性微分方程的解法，以及掌握齐次微分方程是本次习题课的难点.3、会利用微分方程解决几何与物理上的简单应用问题，（由实际问题建立微分方程是本次习题课的难点，应通过各种教学环节来提高分析问题与解决问题的能力。）4、熟悉下列几种特殊的高阶方程：的降阶法。5、了解二阶线性微分方程解的结构。6、熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并知道高阶常系数齐次线性微分方程的解法。7、掌握自由项系

2、数非齐次线性微分方程的解法。8、知道欧拉方程及其解法。9、会用微分方程解一些简单的几何和物理问题。二、学习重点可分离变量的微分方程及一阶线性微分方程的解法。可降阶的二阶微分方程及二阶常系数线性微分方程的解法。三、内容提要1、 基本理论（）微分方程解的基本定理（存在唯一性定理）二阶线性微分方程 (1)及初始条件 （2）如果区间I上连续，则一定存在唯一的函数,它在I上满足方程（1）及初始条件（2）。注：此定理的作用是保证方程（1）在初始条件（2）下解的存在与唯一性。由于（1）的通解中有任意常数出现，这往往使通解的形式不唯一。但是对于满足初始条件（2）的特解则是唯一的。即使有所不同，那也只是表达方式

3、有别而已。（）二阶线性微分方程解的结构定理 设方程（1）对应的齐次线性微分方程为： （3）如果,是方程（3）的两个线性无关的解，则y=C1y1+C2y2是方程（3）的通解（其中C1、C2 为相互独立的任意常数,）如果y*(x)是(1)式的一个特解,则是方程（1）的通解。注:此定理说明在求出方程(3)的两个线性无关的解后,可以方便地写出方程(3)的通解,在求方程(1)的通解时首先应求出相应的齐次方程的通解,还要求出方程(1)的一个特解,最后将二者结合起来,就构成方程(1)的通解.因此有以上定理的保证,在求解微分方程时,我们将集中精力寻找（3）的线性无关解y1和y2以及方程(1)的特解y*,而不用

4、操心通解的表达方式.2、基本方法(I) 一阶微分方程基本类型与计算方法。(1) 直接积分型：(2) 可分离变量型：(3) 齐次方程：(4) 全微分方程：。满足(5) 线性方程：） 伯努里方程：(II) 高阶微分方程基本类型与计算方法：（1） 积分降阶型：（2） 不显含y可降阶型：(3). 不显含x可降阶型：（4）、二阶常系数线性方程上述计算中常用到的计算方法有：特征方程特征根法，待定系数法，常数变易法，分离变量法，换元法以及全微分方程积分因子法等，虽然不同类型的微分方程有不同的计算方法，但由于不同方程类型可以适当转换，故同一个方程可以有不同的求解方法，希望读者在学习中灵活运用！四、思考题1、是

5、几阶微分方程？函数（为任意常数，为常数）是微分方程的解吗？是通解吗？ 2、微分方程的通解是否包含了所有特解？3、函数（c为任意常数）是不是微分方程的通解？方程除此解外还有其它解吗？4、 线族（C为任意常数）满足什么微分方程？5、 可分离变量的微分方程一定是全微分方程。对吗？6、 识别下列微分方程的类型：（1） （2）（3） （4）（5）y (6)(7)7、 对微分方程利用降阶法求解时均设，试问，前一个方程在所作变量代换下，二阶导数；而第二个方程，二阶导数则必须表示成，这是为什么？8、 易观察到函数 的特解，试问：（1）是否为上述方程的解？是通解吗？为什么？（2）如不是通解。你能否再找出一个与y

6、1或y2是线性无关的特解？并写出方程的通解。9、 对于常系数齐次线性微分方程：,当n分别是2、3、4时，请考虑对应方程的通解。10、对下列各常系数齐次线性微分方程，所设特解哪个是正确的？（1）特解：（1） （2） （3）（2）特解：（1）（2）（3）（3）特解：（1） （2）（3）五、典型例题分析例1、求微分方程： 的通解解：将方程分离变量，得两边积分有： 所以微分方程的通解为 说明：如将微分方程化为这是线性微分方程，于是也可按线性微分方程求解。例2、设连续函数y(x)满足方程： ,且y(1)=0,试求函数y(x).分析：此题所求未知函数y(x)出现在积分号下，这样的方程称为积分方程，根据条件

7、与所给方程知y(x)可导，为此将积分方程两边对x 求导，把问转化为求微分方程满足一定初始条件的解。 解：将方程两边对x求导得即：这是齐次微分方程，令得为可分离变量的微分方程,分离变量并积分有： 即： 或：由初始条件：所以 故所求函数为：例3、求微分方程满足初始条件的特解分析：方程是一阶非齐次线性微分方程，可采用公式解法及常数变易法，在使用公式解法时，要注意将线性微分方程化成标准型:解法1： 与标准型微分方程比较有： 故其通解为： =由初始条件，得C=1，于是所求特解为：解法2、常数变易法先求对应齐次线性微分方程：又由常数变易法，设所求特解为： 将它们代入非齐次线性微分方程。得 1取C1=0故所

8、求非齐次线性微分方程的通解为：满足初始条件的特解为：说明：对线性微分方程除以上两种基本解法外，可以验证它具有积分因子，因此线性微分方程也可转化成全微分方程求解。例4、求微分方程的解分析：粗看本题，它既不能分离变量，又不是齐次,也不是线性方程，似乎无从入手，其困难在于分母由三项组成。但如果将分子分母交换位置，将方程化为： 即：这样把原方程化为以y为自变量，而以x 为函数的线性微分方程。解：根据线性方程的解法有 =本题也可用常数变易法求解：例5 求可微函数使曲线积分 ，其中c为第一象限内且过点（1、）的任意闭曲线。分析 由题设条件知，曲线积分（在第一象限内）与积分路径无关，因此可得函数所满足的微分

9、方程。解：由，有即 这是贝努利方程，令： 方程可化为线性方程： 所以： 由 得C=2故所求函数为： 例6、设函数连续且满足方程：试求解： 将积分方程两边对求导得： 即：这是一阶线性微分方程，其通解为：=2+由，故所求函数为：说明：微分方程的初始条件f(0)=0,通常由积分方程 来确定例7：求微分方程：的通解。分析：从方程的形式判断，它有可能是全微分方程型，令显然它满足全微分方程的充要条件，故可利用全微分方程的有关解法求其通解解法1、在某单连通域G内，由于表达式：是某函数u(x,y)的全微分，即根据曲线积分与路径无关的理论，全微分方程的通解为即：所以通解为：解法2、将微分方程重新分项组合得即d(

10、sinx+lny)+即：于是微分方程的通解为：解法3、因为为全微分方程。故必有函数使得从而有：于是： =对y求偏导得：所以：故全微分方程所求之通解为： 说明 此题介绍了全微分方程的几种常用解法，在解法一中曲线积分的的起点一般选原点较为简单，但本题被积函数在原点无意义，故始点选为（0，1）。例8、求微分方程的通解分析 此题虽不属于一般教材中一阶微分方程所述的几种形式。但如果注意观察方程左边是函数的导数，而方程右边也含有此因子。因此可用变换试解，事实上若用此变换，方程便化为可分离变量的一阶微分方程，解：设将其代入微分方程并分离变量，得： 两边积分得通解为：即：例9、求微分方程的通解。分析 求解本题

11、的关键是选取适当的变换。使方程化成一阶微分方程中的几种准标型之一。从题目看，难点在于中的因子，因此将方程变形为或且用变换试解解： 令, 则原方程化为：xdu+udx=(u+tanu)dx即 这是可分离变量的微分方程，分离变量得： 两边积分得 所以微分方程的通解为例10、求微分方程的全部解。解 ： 这是一阶微分方程的又一种特殊类型，将微分方程变形有：=所以原方程化为： (1) 有 （2）故（1）、（2）两式为原微分方程的全部解。例11、在第一象限有一曲线经过点（4、1）且曲线上任意一点p(x,y)向x 轴和y轴作垂线，其垂足分别为Q与R，又P点处曲线的切线交x轴于T点，若使矩形OQPR（O为坐标

12、原点）和三角形PQT面积相等试求曲线方程。分析：设所求曲线方程为根据题意，由矩形面积与三角形面积相等的关系可建立函数所满足的微分方程。解：如图所示： 设y T当即时， R P(x,y) x 故有 0 Q 1 ( 于是矩形面积为三角形面积为从面得曲线所满足的微分方程为：即： 分离变量求得通解。并由初始条件可得所求曲线方程。，例12、一粒子弹以速度v0=200（m/s）打进一块厚度为10cm的木板，然后穿过木板且以速度V1=80（m/s）离开板。该木板对于子弹的阻力和运动速度平方成正比，问子弹穿过木板的运动持续了多长时间？（设子弹的质量m=1）解： 根据题意。由牛顿第二定律得分离变量并积分,得：

13、由初始条件解得：设子弹穿过木板所需时间为T秒,得又当从而,于是，有，所以子弹穿过木板的运动持续了：例13、求微分方程满足初始条件的特解解： 此方程属不显含自变量x 的方程，故设方程化为：这是可分离变量的一阶微分方程,解得。由条件定出，从而这又是可分离变量的一阶微分方程。分离变量：积分得由条件故所求特解为： 由此例可见，对可降阶的高阶方程，在求其特解时，可以采取边解边定任意常数的做法。这样会使解题简便得多。如果采取先求微分方程的通解，再定任意常数就比较麻烦。例14 求微分方程，解法1、此方程不显含y，故设 这是贝努里方程，解得： 将条件故解之得： 将条件故所求特解为：或解法2、因为，所以作变量代

14、换，则方程可化简为 这是以P为未知函数的一阶非齐次线性微分方程，解得：再将 下面的求解过程与解法1相同，从略：解法3、原方程可改写成： 这是以为未知函数的一阶线性为微分方程，解之得： 相比之下，解法3更为简单。例15 求微分方程：。分析 本题属二阶常系数非齐次线性微分方程，解题的关键是特解形式的假设。解： 原方程对应的齐次方程的特征方程为所以对应齐次方程的通解为： 因为方程的自由项是多项式与三角函数之和，故可设方程的特解为：于是：代入方程并化简得：比较两边对应项系数，得 所以，故：方程通解为将条件： 故所求特解为： 说明 求高阶线性常系数非齐次方程满足初始条件的特解时。必须先将方程的通解求出后

15、代以初始条件确定任意常数。决不可错误的在对应齐次方程的通解中代入初始条件确定常数，否则容易导致错误。例16、求微分方程 解法1、原方程对应的齐次方程的特征方程为： 特征根对应齐次方程的通解为原方程的自由项这里上述特征方程的根，故特解为： 求并代入原方程即可确定待定常数原方程的通解为：此法在求得定数A、B时比较繁，下面介绍另一种求特解的方法。解法2、引入变量代换，令4x+a=t,则自由项代入原方程得 其对应的齐次方程的特征方程为因此设特解为：代入（*）求得A= ，从而原方程的通解为：y=Y+y*=c1cos4x+c2sin4x-1/32(4x+a)cos(4x+a)说明 两种解法中，y*的形式虽

16、有不同，但它们的通解只是任意常数不同而已。解法2中通解可写为：例17、设=分析：（1）题中所给方程为一积分方程。根据积分方程的特点。应先将方程两端对x求导数。把问题转化为求微分方程满足一定初始条件的解；（2）方程右边的积分中。被积函数出现x ,相对于积分变量t而言x 可视为常数，可以将它提到积分号之外，再求导。解： 两边对x求导数 （2）再对x求导数得即： （3）这是二阶常系数线性微分方程，对应齐次方程的特征方程为并可观察出方程的一个特解： 故方程（3）的通解为 （4）由（1）及（2）式得初始条件：故所求函数为：例18、求微分方程的通解解法1、将方程两边同乘 x，得欧拉方程： 设原方程化为 对应齐次线性方程的特征方程为：=3.对应齐次线性方程的通解为 故的通解为： 将t=lnx代入，得原方程的通解： 解法2、因为方程不显含y，可按高阶方程降阶法，令这也是欧拉方程，解之得： 即：.积分，求得原方程的通解为：例19、一质点作直线运动，已知作用在质点上的力所作的功与经过的时间t成正比。且初始位置为so,初始速度为V0，求质点的运动规律。分析 此题的关键是建立位置函数s(t)所满足的方程，依题意作用在质点上的力应为位置s的函数F（s），而且应通过“作用在质点上的力所作的功与经过的时间t成正比”这一条件来建立方程。解： 设质点的运动规律，即位置函数为s(t)，质点