空洞探测论文

1、题 目 空洞探测问题摘要本文的主要目的是研究如何利用弹性波测量物体内部的空洞。在此我们通过问题中的具体的数据，主要利用几何排除法，对问题进行了分析与讨论。本题空洞探测，通过计算得出方程为：用求得在此波上空洞的长度，通过几何作图画出不通过空洞的所有的边，那么没有边通过的方格即为空洞的所在。最后得出空洞在这8个区域中。第二问中，我们对纵向的波源和接收器组合进行分析，通过作图，发现存在大量的、不可避免的“死区”存在，从而导致探测结果的不精确，所以只根据由发出的弹性波到达的时间，不能确定空洞的位置。然后在第一问的基础上，单独使用纵向和横向的波源和接收器的组合，适当的减少、改变发射器和接收器的个数与位置

2、，尽量使所发出的波能覆盖更大的面积，避免“死区”的存在。合理放置波源和接收器的位置，最后使得平板的被覆盖率尽可能的大，“死区”的面积，尽可能的小，不影响探测。关键词：几何排除法，避免盲区。一、问题重述山体、隧洞、坝体等的某些内部结构可用弹性波测量来确定。一个简化问题可描述为，一块均匀介质构成的矩形平板内有一些充满空气的空洞，在平板的两个邻边分别等距地设置若干波源，在它们的对边对等地安放同样多的接收器，记录弹性波由每个波源到达对边上每个接收器的时间，根据弹性波在介质中和在空气中不同的传播速度，来确定板内空洞的位置。现考察如下的具体问题：一块240（米）×240（米）的平板（如图），在

3、AB边等距地设置7个波源Pi (i=1,7)，CD边对等地安放7个接收器Qj (j=1,7)，记录由Pi发出的弹性波到达Qj的时间tij(秒); 在 AD边等距地设置7个波源Ri (i=1,7)，BC边对等地安放7个接收器Sj (j=1,7)，记录由Ri发出的弹性波到达Sj的时间ij (秒)（数据表见附录I）。已知弹性波在介质和空气中的传播速度分别为2880（米/秒）和320（米/秒），且弹性波沿板边缘的传播速度与在介质中的传播速度相同。1）确定该平板内空洞的位置。2）只根据由发出的弹性波到达的时间，能确定空洞的位置吗？讨论在同样能够确定空洞位置的前提下，减少波源和接受器的方法。QjABCDP

4、iRiSj二、模型假设1、假设题中给出的数据除了误差以外均为准确数据。2、假设弹性波传播时间的测量值存在测量误差。3、假设任意路径上的弹性波传播时间的实际测量值与路径上无空洞时的传播时间理论计算值的差值在误差范围内，则该路径上无空洞存在。4、假设弹性波的传播方向为直线，不发生衍射现象和折射现象。5、假设弹性波在传播的过程中互不干扰。三、符号说明从的弹性波的传播距离从的弹性波的传播距离从的弹性波在空洞中传播的距离从的弹性波在空洞中传播的距离从的弹性波的实际传播时间从的弹性波的实际传播时间理论值与实际值的最大误差36个划分区域中的区“死区”的大概面积四、问题分析4.1对于问题一的分析已知均匀平板的

5、尺寸为240（米）×240（米），而弹性波在介质和空气中的传播速度分别为2880（米/秒）和320（米/秒），当弹性波的通过路径中不存在空洞时，从或从的弹性波的传播时间应该是：然而，对于表格中的数据进行研究后发现，从或从的弹性波的传播时间从（秒）到（秒）不等，与理论计算得出的0.0833（秒）有一定的出入，其中最大的偏差为：显然，实际测量值在理论上是不会低于理论测量值的，然而题目中给出的数据低于理论值只有可能是误差所致，所以我们把视为弹性波测量值的最大误差。因为存在测量误差，所以对于测量精度也会存在一些限制，以乘以弹性波在空气中的传播速度，得到：所以通过弹性波的测量，只能测得沿传播方

6、向上洞径大于8米的空洞。然后根据假设3的观点可知，在的连线上均无空洞，所以空洞仅可能分布在由的连线所划分的36个区域内。4.2对于问题二的分析在问题二中，假设如果只由发出的弹性波到达的时间，那么弹性波的传播路径图如下图所示：图1：的弹性波传播路径图从图中，我们发现，如果存在平行于的空洞时，不能计算出空洞的宽度。而且，在平板的周边区域，还是有很大的空隙，并没有被路径覆盖，不能探测出在周边是否有空洞存在。对于这部分空隙，我们称为“死区”。而“死区”无法测量，所以必须通过计算来弥补。五、模型的建立与求解5.1问题一的模型建立与求解时间计算公式的建立根据题目中的所给的关系，弹性波在从或从的传播路径中会

7、通过均匀介质和空气两种不同的介质，而且因为在介质和空气中的传播速度不同，以及经过的路程也不同，可以写出下列计算弹性波传播时间的方程：其中，（1）式为从的弹性波传播方程，（2）式为从的弹性波传播方程。式中，5.1.2无空洞的区域筛选根据上述的公式，我们将题中的数据代入公式中进行计算，运用软件进行编程（程序见附录II），计算出每一条传播路径中的空洞洞径，如下表所示：表1：的空洞洞径表XijQ1Q2Q3Q4Q5Q6Q7P1-8.0041.80618740.2332239.61098114.4605138.1768160.8296P25.190187-8.688128.4542123.8252138.

8、179152.656597.92875P378.24922118.3022-8.472119.0942117.993294.7269833.02849P482.41498128.6852115.0262-3.43233.99019-4.9827842.85098P589.58449129.50349.8452238.598190.20433.2341933.53722P698.0007578.3164951.5629878.6812249.398193.8046.702187P7112.769683.2407592.3204936.80298-4.26278-5.645817.512表2：的空

9、洞洞径表xijS1S2S3S4S5S6S7R1-6.78-8.74181-2.3547893.03498103.1565116.2528163.5296R2-3.30581-4.872.25819124.653292.13498136.7445140.2288R392.7932284.966195.064116.9342121.0172129.89975.97649R498.0389886.78122122.47826.25286.5501945.201223.07098R577.8844953.1829884.0812286.802192.54437.0501945.05722R659.91

10、275104.0205178.67976.9532243.674190.276-4.99781R7117.1976138.0328104.4885-5.24502-6.098782.490187-9.012因为存在测量误差而引起的测量精度问题，而通过计算得知测量精度为8米，在理论上空洞洞径超过8米的空洞是无法测出的。所以可以认为，在上述洞径表中，理论洞径数值不超过8米的传播路径上都无空洞存在。我们将上表中无空洞路径提取出来，在平板上将此类路径所对应的收发点用直线连接起来，如下图所示：图2：无空洞路径5.1.3空洞位置的确定我们根据和的连线将平板划分成36块方格区域，如图所示，除了这8个区域以外

11、，其他区域都有1条或多条无空洞路径通过，所以我们认为在这些区域中没有空洞的存在。而空洞的位置就在这8个区域中。5.2问题二的模型建立和求解因为存在“死区”的问题，所以我们对“死区”的面积进行了大概的计算：图3：“死区”面积示意图1过，分别作,的垂线，高分别为，如上图所示。因为，所以。所以，死区的大概面积为：由此可知，在每一个波源附近存在面积大概为空间区域为死区，而这些空间区域是仪器的精度可以探测到但因为减少波源和接收器的个数而使波束线无法到达的死区，若在这些区域中有空洞存在，则将无法测出影响准确性。图4：“死区”面积示意图2在的中点处也有面积大约为也是仪器测量的死区，若存在空洞也无法测量。所以

12、，为了确定空洞的位置，则可在的中点，点和的中点各设置1个波源，边的对称点处安放3个接收器，如下图所示：图5：波源与接收器的补充图1这么做能够可消除附近的死区，则按照此方法波源和接收器可减少4对。增加后的效果，如下图所示：图6：效果图1同理，当我们只由发出的弹性波到达的时间，那么弹性波的传播路径图如下图所示：图7：的弹性波传播路径图同样存在面积很大的“死区”，然而为了能够消除“死区”，确定空洞的位置，则可在的中点，点和的中点各设置1个波源，边的对称点处安放3个接收器，如下图所示：图8：波源与接收器的补充图2这么做能够可消除附近的死区，则按照此方法波源和接收器可减少4对。增加后的效果，如下图所示：

13、图9：效果图2然后，我们把新得到的波源和接收器组合进行分析和结合，结果如下图所示：图10：改良后的效果图发现，对于平板的覆盖率达到的百分之百，未被弹性波传播路径覆盖的“死区”面积非常小。而且，无论去掉任意一组波源和接收器都会产生较大的“死区”面积。所以，最优的波源和接收器组合为每边个5对。六、模型的评价与改进6.1模型的优点1、使用连线的方法，方便容易，计算简单。2、多用图形表示，更加直观，便于观察和研究。3、结果合理，可信度高，清晰明确，有说服力。6.2模型的缺点1、结果依赖于分区，有偏差，不能更精细的指出空洞的具体位置。2、精度过低，不能适用于复杂的空洞探测。七、模型的推广该模型可以适用于

14、精度较低的空洞探测，在精度不高的空洞探测问题中，能够很好的降低成本，达到探测出空洞的目的。合理安排波源和接收器的位置，不仅能够使平板被完全覆盖，同时也能够减少机器的使用，降低能耗，降低成本，减少探测使用的时间，达到最好的效果。但此模型不适用于精度较高的空洞探测，因为考虑到存在误差的问题，以及在连线处也可能存在空洞的问题，应该寻找更精细，也更合理的模型进行求解。八、参考文献1邹建光，刘丹娟，曾德刚，空洞探测，数学的实践与知识，31：1，20012王一清，黄惟一，宋爱国，基于随机搜索策略确定介质间边界的非线性规划方法，电子测量与仪器学报，1，20053杜秀丽，朱群生，王建锋，探测空洞的方法，数学的

15、实践与认识，3，2001附录I表：的时间表tijQ1Q2Q3Q4Q5Q6Q7P10.06110.08950.19960.20320.41810.49230.5646P20.09890.05920.44130.43180.47700.52420.3805P30.30520.41310.05980.41530.41560.35630.1919P40.32210.44530.40400.07380.17890.07400.2122P50.34900.45290.22630.19170.08390.17680.1810P60.38070.31770.23640.30640.22170.09390.1031P70.43110.33970.35660.19540.07600.06880.1042表：的时间表ijS1S2S3S4S5S6S7R10.06450.06020.08130.35160.38670.43140.5721R20.07530.07000.28520.43410.34910.48000.4980R30.34560.32050.09740.40930.42400.45400.3112R40.36550.32890.42470.10070.32490.21340.1017R50.31650.24090.32140.