第五章管网平差

1、12第第5章章 给水管网水力分析给水管网水力分析 5.1 给水管网水力分析基础给水管网水力分析基础 给水管网中有两类基本水力要素：给水管网中有两类基本水力要素：流量与水头，流量与水头，包包括管段流量、节点流量、管段压降（损失水头）、括管段流量、节点流量、管段压降（损失水头）、节点水头等。它们之间的关系反映了给水管网的水节点水头等。它们之间的关系反映了给水管网的水力特性。力特性。 当给水管网各管段特性已知且处于恒定流状态时，当给水管网各管段特性已知且处于恒定流状态时，流量与水头两类要素的关系由恒定流方程组确定流量与水头两类要素的关系由恒定流方程组确定。 在这种情况下，只要适当的给出部分流量和水头

2、值，在这种情况下，只要适当的给出部分流量和水头值，其它流量与水头值可以由恒定流方程组解出。其它流量与水头值可以由恒定流方程组解出。3 水力分析的工程意义水力分析的工程意义在于已知给水管网部在于已知给水管网部分水力参数，求其余水力参数分水力参数，求其余水力参数,是解决给水是解决给水管网设计、调度和管理运行等各种应用问管网设计、调度和管理运行等各种应用问题理论基础。题理论基础。 本章分析恒定流基本方程组的特点，为简本章分析恒定流基本方程组的特点，为简化求解对恒定流基本方程组进行线性变换化求解对恒定流基本方程组进行线性变换和代入变换，得出新形式。和代入变换，得出新形式。45.1.1 给水管网水力分析

3、的前提给水管网水力分析的前提 给水管网水力分析的前提就是要使恒定流基前提就是要使恒定流基本方程组可解本方程组可解5（1）必须已知各管段的水力特性）必须已知各管段的水力特性 所谓管段的水力特性，就是管段流量与水头之所谓管段的水力特性，就是管段流量与水头之间的关系，可以表示为：间的关系，可以表示为： i=1,2,3,M (5.1) 式中式中 hi 管段压降，即管段的水头损失，可以认为管段压降，即管段的水头损失，可以认为 就是测压管水头的降低量，单位就是测压管水头的降低量，单位m. qi 管段流量，管段流量，m3/s； si 管段阻力系数管段阻力系数 ，反映管段对水流，反映管段对水流 的阻力大小，应

4、为该管段上的管道、管件的阻力大小，应为该管段上的管道、管件 阀门、泵站等设施阻力系数之和阀门、泵站等设施阻力系数之和1niiiieihs q qhi iali ial()ii isal6 hei管段扬程，反映管段上泵站提供给水管段扬程，反映管段上泵站提供给水流的总能量，即泵站静扬程流的总能量，即泵站静扬程(m) n 管段内壁的粗糙率，或称管段的阻力管段内壁的粗糙率，或称管段的阻力指数应与水头损失计算公式一致。式中考指数应与水头损失计算公式一致。式中考虑到了水头损失的方向恒与实际流向一致虑到了水头损失的方向恒与实际流向一致 管段阻力系数管段阻力系数 i=1,2,3,M (5.2) 式中式中 sf

5、i管段管段i之之管道摩阻系数；管道摩阻系数；ifimipissss7 smi管段管段i之管道局部阻力系数；之管道局部阻力系数； spi管段管段i泵站内部阻力系数。泵站内部阻力系数。 将式（将式（5.1）代入管段能量方程组（式）代入管段能量方程组（式4.15）得：得： i=1,2,3,M (5.2) 其中，其中，si、hei、n必须为已知量，对于不设泵必须为已知量，对于不设泵站且忽略局部阻力的管段，管段能量方程可简站且忽略局部阻力的管段，管段能量方程可简化化 为：为： i=1,2,3,M (5.4)1nFiTiiiieiHHs q qh1nFiTiiiiHHsq q8（2 2）节点流量与节点水头

6、必须一个未知）节点流量与节点水头必须一个未知 由数学理论由数学理论，方程组可解的基本条件就是方程，方程组可解的基本条件就是方程组数与未知量数相等组数与未知量数相等 在管网水力分析中，管段流量均为未知量，它在管网水力分析中，管段流量均为未知量，它们正好对应的用管段能量方程求解，们正好对应的用管段能量方程求解，即节点流即节点流量和节点水头必须只有一个未知，另一个必须量和节点水头必须只有一个未知，另一个必须为已知。为已知。 因此，若节点水头已知，则节点流量可作为未因此，若节点水头已知，则节点流量可作为未知量求解。若两者已知，将导致矛盾方程；若知量求解。若两者已知，将导致矛盾方程；若两者均未知，将导致

7、方程组不可解。两者均未知，将导致方程组不可解。9 定压节点：定压节点：已知节点水头而未知节点流量的节点已知节点水头而未知节点流量的节点称为定压节点。管网中定压节点总数为称为定压节点。管网中定压节点总数为R； 定流节点定流节点:已知节点流量而未知节点水头的节点已知节点流量而未知节点水头的节点称为定流节点，管网中的定流节点总数为称为定流节点，管网中的定流节点总数为N-R. 水塔问题：水塔问题： 1)当水塔高度未知时，当水塔高度未知时，应给定水塔供水流量，即应给定水塔供水流量，即已知节点流量，该节点为定流节点，通过水力分已知节点流量，该节点为定流节点，通过水力分析可以求解出节点水头，从而确定水塔高度

8、析可以求解出节点水头，从而确定水塔高度 2)当水塔高度已确定时，当水塔高度已确定时，即已知该节点水头，该即已知该节点水头，该节点为定压节点，通过水力分析可以求解出节点节点为定压节点，通过水力分析可以求解出节点流量，从而可以确定水塔的供水量。流量，从而可以确定水塔的供水量。10 在在给水管网水力分析时：给水管网水力分析时： 1）若定压节点数）若定压节点数R1，称为多定压节点称为多定压节点 管网水力分析问题；管网水力分析问题； 2）若定压节点数）若定压节点数 R=1，称为单定压节点称为单定压节点 管网水力分析问题；管网水力分析问题； 3）定压节点数）定压节点数R=0是不允许的。是不允许的。（3）必

9、须至少有一个定压节点）必须至少有一个定压节点 方程组和未知量的个数相等是方程组可解方程组和未知量的个数相等是方程组可解的必要条件，而不是充分条件，作为充分的必要条件，而不是充分条件，作为充分条件，要求管网中至少有一个定压节点。条件，要求管网中至少有一个定压节点。11 管网中无定压管网中无定压节点（节点（R=0)R=0)时，恒定流方程组无时，恒定流方程组无确定解，可用反证法证明如下：确定解，可用反证法证明如下： 当管网中所有节点水头均未知时，假定其恒定当管网中所有节点水头均未知时，假定其恒定流基本方程组有解为流基本方程组有解为H Hj j* *(j=1,2,N)(j=1,2,N)，显然，显然H

10、Hj j* *+ +H H (j=1,2,N(j=1,2,N，H H 为任意值为任意值) )也也必定为必定为方程组的解，因为：方程组的解，因为： ( (H HFiFi* *+ +H)- H)- ( (H HTiTi* *+ +H)= H)= H HFiFi* * - - H HTiTi* *=h=hi i* * (i=1,2,M) (i=1,2,M) 可看出对于任意的可看出对于任意的HH值，值，H Hj j* *+ +H H 均均满足满足基本基本方程组，所以确是无确定解。方程组，所以确是无确定解。125.1.2 恒定流基本方程组的线性变换恒定流基本方程组的线性变换 线性变换，即对方程组实施以下

11、两种运算线性变换，即对方程组实施以下两种运算或它们的组合运算或它们的组合运算:1）方程组两边同时乘以一个不为）方程组两边同时乘以一个不为0的常数的常数2）两个方程式相加或相减。两个方程式相加或相减。 注意：注意：线性变换不能增加或减少方程未知线性变换不能增加或减少方程未知量的数目，节点流量连续性方程组和管段量的数目，节点流量连续性方程组和管段能量守恒方程组可以分别进行变换能量守恒方程组可以分别进行变换13（1）节点流量连续性方程组的变换）节点流量连续性方程组的变换 如图如图P78图图4.12 管网模型，可列流量方程组：管网模型，可列流量方程组： (7) (8)-q1+q2+q5+Q1=0（1）

12、 4 -q2+q3+q6+Q2=0 （2） Q7 1 (1) 2 (2) 3 (3)-q3-q4+q7+Q3=0 （3）-q5+q8+Q4=0 （4） Q1 Q2 Q3 Q8-q6-q8+q9+Q5=0 （5）-q7-q9+Q6=0 （6） 5 6 7q1+Q7=0 （7）q4+Q8=0 （8） (4) 8 (5) 9 (6) (4.6) Q4 Q5 Q6-q6 -q7 -q8+Q5 +Q6 =0 （5.7） 图图4.12某给水管网模型某给水管网模型将两个或多个节点相加得到新的流量连续性方程。将两个或多个节点相加得到新的流量连续性方程。14 相加的节点一般是彼此关联的节点，其工程意相加的节点一

13、般是彼此关联的节点，其工程意义是得到由多个节点组成的大节点的流量连续义是得到由多个节点组成的大节点的流量连续性方程。如图性方程。如图4.12管网，将管网，将(5)、(6)两个节点两个节点的连续性方程式相加得方程：的连续性方程式相加得方程： -q6 -q7 -q8+Q5 +Q6 =0 （5.7） 该方程可以代替原节点（该方程可以代替原节点（5）或（）或（6）的流量连）的流量连续性方程（只能代替一个）。对节点续性方程（只能代替一个）。对节点(5)、(6)割集取为隔离体，运用质量守恒定律，可以直割集取为隔离体，运用质量守恒定律，可以直接写出式（接写出式（5.7）。将整个管网作为割集，可）。将整个管网

14、作为割集，可得得 (5.6)10NjjQ15 对于树状管网，每条管段均为一个割集，可列出它们的对于树状管网，每条管段均为一个割集，可列出它们的流量连续性方程。这些方程具有一个共同特点，即每个流量连续性方程。这些方程具有一个共同特点，即每个方程中只包含一个管段流量，如果方程中只包含一个管段流量，如果 节点流量已知，则通过这些节点流量已知，则通过这些 方程可以直接方程可以直接 (7) (8) 求出管段流量求出管段流量。 4 Q7 1 (1) 2 (2) 3 (3) Q83: -q3 +Q3 + Q6 +Q8=0 Q1 Q2 Q34: q4+Q8=05: -q5+Q4=0 （5.8）6: -q6+Q

15、5=0 5 6 77: -q7+Q6=0 (4) (5) (6). Q4 Q5 Q62：-q2 +Q2 +Q3 +Q5+ Q6 +Q8=0 图图5.1 某树状管网树枝割集某树状管网树枝割集16 如果将整个管网作为割集，可得如果将整个管网作为割集，可得 1）如果图）如果图5.1所示树状管网所示树状管网只有一个定压点只有一个定压点（如节点（如节点7），定压节点（），定压节点（7）的流量）的流量Q7可通过可通过式（式（5.6）求出，如管段流量通过式（）求出，如管段流量通过式（5.8）解）解出。所以单定压节点树状管网的水力分析求解出。所以单定压节点树状管网的水力分析求解非常简单。非常简单。 2） 对于

16、多定压节点树状管网，对于多定压节点树状管网，列出不含定压列出不含定压点的割集（如图点的割集（如图5.1中中S4,S5,S6)的连续性方程的连续性方程可以求出各管段流量，可以求出各管段流量，但无法直接求出定压节但无法直接求出定压节点流量点流量，所以水力分析问题不能直接求解。，所以水力分析问题不能直接求解。810jjQ17 3）对于单定压节点环状管网，对于单定压节点环状管网，虽然可以虽然可以直接求出定压节点流量，但无法列出直直接求出定压节点流量，但无法列出直接求解管段流量的连续性方程组，所以接求解管段流量的连续性方程组，所以水力分析问题也不能直接求解。水力分析问题也不能直接求解。 4）对于多定压节

17、点环状管网，对于多定压节点环状管网，则既不能则既不能直接求出定压节点流量，也不能列出直直接求出定压节点流量，也不能列出直接求解管段流量的连续性方程组，所以接求解管段流量的连续性方程组，所以水力分析问题更不能直接求解。水力分析问题更不能直接求解。18（2） 管段能量守恒方程的变换如果一些管段如果一些管段 (7) (8)首尾相连，形首尾相连，形 4 成一条路径，成一条路径， Q7 1 (1) 2 (2) 3 (3)将这些管段的将这些管段的 Q8能量方程相加能量方程相加 或相减，导出或相减，导出 Q1 Q2 Q3 新的能量方程，新的能量方程， 5 6 7即路径能量方即路径能量方程。程。 (4) 8

18、(5) 9 (6)例：图例：图4.12，从节点，从节点（7）到节点（）到节点（8）之之 Q4 Q5 Q6间的一条间的一条路径路径的能量的能量 图图4.12 某给水管网模型某给水管网模型方程可由管段方程可由管段1、2、3的能量方程相加再减去管段的能量方程相加再减去管段4的能量方程得到：的能量方程得到： H7 -H8= h1+h2+h3 - h4 (5.9)19 管网连通图，任意两个节点之间都能给出至管网连通图，任意两个节点之间都能给出至少一条路径，故可列出任两节点之间路径的少一条路径，故可列出任两节点之间路径的能量方程能量方程 在水力分析时，在水力分析时，有两类路径能量方程很有用，有两类路径能量

19、方程很有用，一类是定压节点之间路径的能量方程，另一一类是定压节点之间路径的能量方程，另一类回路或环能量方程。类回路或环能量方程。 如果回路是一个环，则称如果回路是一个环，则称环能量方程，简称环能量方程，简称环方程。环方程。对于图对于图4.12简网图，用简段简网图，用简段2、3、7能量方程相加，再减去管段能量方程相加，再减去管段9、8、5能量方程，得回路能量方程：能量方程，得回路能量方程： h2+h3 +h7 - h9 - h8 - h5=0 (5.10)20同理，可得两个环能量方程同理，可得两个环能量方程 h2+h6 - h8 - h5=0 (5.10) h3 +h7 - h9 - h6=0

20、环环能量方程的一般形式能量方程的一般形式 k=1,2,3,L 上述两类能量方程均不包含节点水头未知量。上述两类能量方程均不包含节点水头未知量。从从数学意义上讲，这两类能量方程导出，就是解方数学意义上讲，这两类能量方程导出，就是解方程的消元过程。因此，这两类方程在水力分析中程的消元过程。因此，这两类方程在水力分析中很有用。很有用。 在上述两类能量方程中，又以环方程形式在最简在上述两类能量方程中，又以环方程形式在最简单，所以在工程中使用最为普遍。单，所以在工程中使用最为普遍。 通过环方程可以导出任意回路方程，但不能导出通过环方程可以导出任意回路方程，但不能导出定压节点之间路径的能量方程，便于统一，

21、对于定压节点之间路径的能量方程，便于统一，对于多定压节点管网，工程上提出了虚环的概念。多定压节点管网，工程上提出了虚环的概念。()0KiiRh21 多定压多定压节点管网的虚环概念：节点管网的虚环概念： 1）在管网中增加一个虚节点，编号为）在管网中增加一个虚节点，编号为0，该节，该节点为虚定压节点，其节点水头恒为零，虚节点点为虚定压节点，其节点水头恒为零，虚节点供应整个管网的流量；供应整个管网的流量； 2）从虚定压节点到每一个定压节点设一条虚）从虚定压节点到每一个定压节点设一条虚管段，并设想该管段将流量输送到实际定压节管段，并设想该管段将流量输送到实际定压节点，该管段无阻力，但设有一个泵站，泵站

22、扬点，该管段无阻力，但设有一个泵站，泵站扬程为所关联的定压节点水头，泵站也无阻力，程为所关联的定压节点水头，泵站也无阻力，即管段能量方程为：即管段能量方程为： （5.13） Ti定压节点定压节点0TiiTiHHhH 22 3）定压节点流量改由虚管段供应，其节点流）定压节点流量改由虚管段供应，其节点流量变为量变为0，成为已知量，其节点水头设为未知，成为已知量，其节点水头设为未知量（由虚管段能量方程可求解，实际值不变）量（由虚管段能量方程可求解，实际值不变）因此不再将它们作为定压节点，管网成为单定因此不再将它们作为定压节点，管网成为单定压节点管网。压节点管网。 若原管网有若原管网有R个定压节点，通

23、过以上假设，增个定压节点，通过以上假设，增加加P条虚管段，同时也就产生条虚管段，同时也就产生R-1个虚环。个虚环。 例：图例：图4.12增设一个虚节点（增设一个虚节点（0），两条虚管），两条虚管段段10 、11构成一个虚环，原管网变成为单构成一个虚环，原管网变成为单定压节点管网。定压节点管网。 若原管网有若原管网有R个节点，通过以上的假定，增加个节点，通过以上的假定，增加R条虚管段，同时也就产生条虚管段，同时也就产生R-1个虚环。个虚环。23 例：图例：图4.12增设一个虚节点（增设一个虚节点（0），两条虚管段），两条虚管段 10、11 ，构成一个虚环，构成一个虚环R1 。原管网变成为单定压节

24、点管原管网变成为单定压节点管网。如图网。如图P82图图5.2。 （0） 10 Q0 11 (7) R1 (8) 0 (Q7) 1 4 0(Q8) (1) 2 (2) 3 (3) Q1 Q2 Q3 5 R2 6 R3 7q10 = -Q7 q11 = -Q8 (4) 8 (5) 9 (6) H0=0 Q4 Q5 Q6 图图5.2 多定压节点管网虚环的构成多定压节点管网虚环的构成24 对于图对于图5.2环能量方程为：环能量方程为： (5.14) 式中式中 ，所以上式中第一个，所以上式中第一个虚环能量方程就是式（虚环能量方程就是式（5.9）所表示的定压节）所表示的定压节点间路径能量方程。点间路径能量

25、方程。 引入虚环后，管网的环数为引入虚环后，管网的环数为 (5.15)1011432126583796000hhhhhhhhhhhhhh107118,hHhH /1LLR25 代入管段水力特性公式，式（代入管段水力特性公式，式（5.14）所列环能）所列环能量方程变为：量方程变为： (5.16)1111784 443 332 221 110nnnnelHH sq qsq qsq qsq qh11112 226 665 558 880nnnns q qs q qs q qsq q11113 337 779 996 660nnnns q qs q qs q qs q q265.1.3 恒定流方程组求

26、解方法 求解恒定流方程组组往往需要采用求解恒定流方程组组往往需要采用消元消元和迭代两种手段和迭代两种手段。 综合应用两种手段，可以得到管网水力综合应用两种手段，可以得到管网水力分析的三种基本方法：解管段方程、解分析的三种基本方法：解管段方程、解环方程和解节点方程。其中，环方程和解节点方程。其中，解环方程解环方程和解节点方程和解节点方程更为常见更为常见。27管网平差管网平差什么叫管网平差什么叫管网平差 由于初分流量时是严格按照节点流量平衡来进行的，所以由于初分流量时是严格按照节点流量平衡来进行的，所以连续性方程能够满足，但是能量方程就有可能不满足，即环连续性方程能够满足，但是能量方程就有可能不满

27、足，即环内正反两个方向的水头损失不相等。内正反两个方向的水头损失不相等。环内正反两个方向的水环内正反两个方向的水头损失之差称作闭合差。调整管段流量，减少闭合差到一定头损失之差称作闭合差。调整管段流量，减少闭合差到一定精度范围的过程就叫精度范围的过程就叫管网平差管网平差0ijiqQ0ijh连续性方程连续性方程能量方程能量方程28 实际管网中的流量分配总是自动的满足连续实际管网中的流量分配总是自动的满足连续性方程和能量方程，如果初分流量不能满足能量性方程和能量方程，如果初分流量不能满足能量方程，那只能说明我们初分的流量在管网的实际方程，那只能说明我们初分的流量在管网的实际流量中永远都不会发生，所以

28、就不能根据这个初流量中永远都不会发生，所以就不能根据这个初分流量进行后面的水力计算。这就要求对初分流分流量进行后面的水力计算。这就要求对初分流量进行调整，使之符合实际情况。量进行调整，使之符合实际情况。为什么要进行管网平差为什么要进行管网平差29如何进行管网平差如何进行管网平差管网平差有下面管网平差有下面3中方法中方法（1）解环方程组法）解环方程组法 原理：原理：在初步分配流量的基础上，逐步调整管段流在初步分配流量的基础上，逐步调整管段流量以满足能量方程。量以满足能量方程。L个非线性的能量方程：个非线性的能量方程：0),(3211PqqqqF0),(3212PqqqqF0),(321PLqqq

29、qF30初步分配的流量一般不满足能量方程：初步分配的流量一般不满足能量方程： 0),(00302011PqqqqF0),(00302012PqqqqF0),(0030201PLqqqqF31 初步分配流量与实际流量的的差额为初步分配流量与实际流量的的差额为q，实际流量应满足能量方程：实际流量应满足能量方程：0),(03032021011PPqqqqqqqqF0),(03032021012PPqqqqqqqqF0),(0303202101PPLqqqqqqqqF32将函数在分配流量上展开，并忽略高阶微量：将函数在分配流量上展开，并忽略高阶微量：0)(),(1221111002011PPPqqFq

30、qFqqFqqqF0)(),(2222112002012PPPqqFqqFqqFqqqF0)(),(221100201PPLLLPLqqFqqFqqFqqqF33100302011),(hqqqqFP200302012),(hqqqqFPLPLhqqqqF),(0030201 方程组左边的第一部分即为我们初分流方程组左边的第一部分即为我们初分流量时环内正反两个方向水头损失差，称为闭量时环内正反两个方向水头损失差，称为闭合差：合差：34 将闭合差项移到方程组的左边，得到关将闭合差项移到方程组的左边，得到关于流量误差（校正流量）的线性方程组：于流量误差（校正流量）的线性方程组：11221111hq

31、qFqqFqqFPP22222112hqqFqqFqqFPPLPPLLLhqqFqqFqqF221135 利用线性代数的多种方法可求解出校正流量。因为利用线性代数的多种方法可求解出校正流量。因为忽略了高阶项，得到的解仍然不能满足能量方程，需要反忽略了高阶项，得到的解仍然不能满足能量方程，需要反复迭代求解，直到误差小于允许误差值。复迭代求解，直到误差小于允许误差值。 环方程组解法特点环方程组解法特点 ： 方程数目少方程数目少 要求输入的参数的多要求输入的参数的多 适合于手工平差适合于手工平差36（2）解节点方程组法）解节点方程组法 原理：在初步拟订节点压力的基础上，逐原理：在初步拟订节点压力的基

32、础上，逐步调整节点水压以满足连续性方程。步调整节点水压以满足连续性方程。 节点流量应该满足连续性方程：节点流量应该满足连续性方程：0ijiqQ021212121jijiijiijijijiHHHHSQhhSQ2ijijijqSh ijijijijhhSq212137012112111kkkHHHHSQ022122122kkkHHHHSQ02121,kSJkSJkSJSJHHHHSQ个连续性方程：个连续性方程：38一般表达式：一般表达式：0),(3211SJHHHH0),(3212SJHHHH0),(321SJSJHHHH39初步拟定的水压一般不满足连续性方程：初步拟定的水压一般不满足连续性方程

33、： 0),(3211SJHHHH0),(3212SJHHHH0),(321SJSJHHHH40 初步拟定水压与实际水压的差额为初步拟定水压与实际水压的差额为，实际水压应满足连续性方程：实际水压应满足连续性方程：0),(02021011SJSJHHHHHH0),(02021012SJSJHHHHHH0),(0202101SJSJSJHHHHHH41将函数在初拟压力上展开，并忽略高阶微量：将函数在初拟压力上展开，并忽略高阶微量：0)(),(1221111002011SJSJSJHHHHHHHHH0)(),(2222112002012SJSJSJHHHHHHHHH0)(),(221100201SJS

34、JSJSJSJSJSJHHHHHHHHH42100302011),(qHHHHSJ方程组的第一部分称为流量闭合差：方程组的第一部分称为流量闭合差：200302012),(qHHHHSJSJSJSJqHHHH),(003020143 将闭合差项移到方程组的右边，得到关将闭合差项移到方程组的右边，得到关于水压误差（校正压力）的线性方程组：于水压误差（校正压力）的线性方程组：11221111qHHHHHHSJSJ22222112qHHHHHHSJSJSJSJSJSJSJSJqHHHHHH221144求解步骤：求解步骤：根据已知节点（控制点和泵站）的水压，初步确定其根据已知节点（控制点和泵站）的水压，

35、初步确定其他各节点的水压；他各节点的水压；根据流量与水头损失的关系求出各管段的流量；根据流量与水头损失的关系求出各管段的流量；计算各节点的不平衡流量；计算各节点的不平衡流量；计算各节点的校正压力；计算各节点的校正压力；重复第重复第24步直到校正压力符合要求为止。步直到校正压力符合要求为止。节点方程组方法的特点：节点方程组方法的特点： 方程数目较多方程数目较多 要求输入的参数较少要求输入的参数较少适合于计算机进行平差适合于计算机进行平差45（3）解管段方程组法）解管段方程组法 原理：直接联立求解原理：直接联立求解 J- -S 个个连续性方程连续性方程和和 L 个能量方程，求出个能量方程，求出 P

36、L+ +J- -S 个管段流个管段流量。量。具体步骤：具体步骤：对能量方程进行线性化处理；对能量方程进行线性化处理；给定流量初值并计算线性系数；给定流量初值并计算线性系数；解线性方程求出管段流量；解线性方程求出管段流量；根据所得流量计算线性系数并重新求解管段根据所得流量计算线性系数并重新求解管段流量直到误差符合要求。流量直到误差符合要求。46041211qqQ02414141254545425252522212121qLAqLAqLAqLA连续性方程：连续性方程：Q Q1 1Q Q2 2Q Q3 3Q Q4 4Q Q5 5Q Q6 621q32q63q52q41q54q65q能量方程：能量方程

37、：4 45 56 63 32 21 105232212qqqQ063323qqQ054414qqQ06554525qqqQ02323232252525226565652636363qLAqLAqLAqLA47将非线形的能量方程转化为线性方程：将非线形的能量方程转化为线性方程：041414141545454545252525221212121qqLAqqLAqqLAqqLA032323232525252526565656563636363qqLAqqLAqqLAqqLA04141545452522121qRqRqRqR03232525265656363qRqRqRqR4814121Qqq2523

38、221Qqqq36332Qqq45441Qqq5655452Qqqq04141545452522121qRqRqRqR03232525265656363qRqRqRqR解管段方程组法特点：解管段方程组法特点： 未知数多未知数多 要求初分流量要求初分流量实际中应用少实际中应用少49（1）解环方程 针对求解单定压节点环状管网提出的，多针对求解单定压节点环状管网提出的，多定压节点可以通过假设虚环转化为单定压定压节点可以通过假设虚环转化为单定压节点环状管网求解。节点环状管网求解。 解环方程的基本思想：解环方程的基本思想：先先进行进行管段流量初管段流量初分配，分配，使它们满足流量连续性方程，然使它们满足

39、流量连续性方程，然后后保持节点流量连续性不被破坏的条件下，保持节点流量连续性不被破坏的条件下，通过施加通过施加环流量，环流量，设法使各环的能量方程设法使各环的能量方程得到满足。得到满足。 管段流量初分配管段流量初分配：拟定各管段流量初值，：拟定各管段流量初值，使它们满足节点流量连续性条件。使它们满足节点流量连续性条件。50 而管段而管段流量共有流量共有M个，对于环状管网，个，对于环状管网，M=N+L-1 N-1个，即未知的管段流量数目大于方程数，所以个，即未知的管段流量数目大于方程数，所以满足节点流量连续性条件的管段流量分配方案有无满足节点流量连续性条件的管段流量分配方案有无穷多个，其自由度为

40、穷多个，其自由度为M -（N-1）=L，所以必须在每所以必须在每一个环内初步拟定一条管段流量，一个环内初步拟定一条管段流量，才能确定其它管才能确定其它管段流量。段流量。 (2) 289.90 (3) 36.27 (4) 管段号管段号初分配流量（节点初分配流量（节点号）号）-179.80 5 89.90 6 32.46 7 22.65 节点流量节点流量 854.87 95.00 连枝连枝 (6) (7) (8) 35.03 82.33 27.65 图图5.3 管网流量初分管网流量初分配配 51 1) 以图以图5.3管网为例，管网为例，在两个环中在两个环中,分别拟定段段流量分别拟定段段流量 q8、

41、q9 2) 引入管网图生成树的概念，引入管网图生成树的概念，在两个环中分别拟定在两个环中分别拟定连枝连枝管段管段89的流量，则确定一颗生成树，可以写出如下树枝割集的流量，则确定一颗生成树，可以写出如下树枝割集流量连续方程流量连续方程(5.17) 。 -q5+q8+Q6=0 -q6-q8+q9+Q7=0 -q7-q9+ Q8 =0 (5.17) -q3- q9 +Q4+ Q8 =0 -q2-q8+ Q3 +Q4+ Q7 +Q8=0 式式(5.17)中，因节点流量和连枝流量中，因节点流量和连枝流量q8、 q9已知，所以每个已知，所以每个方程都只有一个未知量，易求取方程都只有一个未知量，易求取树枝树

42、枝流量。流量。 3) 也可直接利用大节点的概念，也可直接利用大节点的概念，根据节点根据节点(6)、(7)、(8)和大和大节点节点(4,8)、(3,4,8,7)的流量连续性方程式的流量连续性方程式(5.17)，可以顺序，可以顺序解出管段解出管段5673和和2的流量，如图中所示。的流量，如图中所示。52 环流量：环流量：即沿着顺时针方向或逆时针方向给管网即沿着顺时针方向或逆时针方向给管网中一个环内的每条管段施加一个相同的流量。由中一个环内的每条管段施加一个相同的流量。由于环流量在节点处流入和流出的量相等，故施加于环流量在节点处流入和流出的量相等，故施加任意环流量都不改变节点流量的平衡，即不破坏任意

43、环流量都不改变节点流量的平衡，即不破坏节点流量连续性条件节点流量连续性条件 。 一般规定：顺时针方向的环流量为正，逆时针方一般规定：顺时针方向的环流量为正，逆时针方向的环流量为负。向的环流量为负。 施加环流量虽然不影响流量连续性，但却改变环施加环流量虽然不影响流量连续性，但却改变环能量方程的平衡，通过找出适当的环流量，使能能量方程的平衡，通过找出适当的环流量，使能量方程平衡，即可找到正确解。量方程平衡，即可找到正确解。53（2）解节点方程）解节点方程 与解环方程相反，解节点方程先满足能量方程，与解环方程相反，解节点方程先满足能量方程，后设法满足流量连续性方程。后设法满足流量连续性方程。 解节点

44、方程以节点水头为未知量，首先拟定各解节点方程以节点水头为未知量，首先拟定各节点水头初值（定压节点水头已知，则不必拟节点水头初值（定压节点水头已知，则不必拟定），通过管段能量方程和管段水力特性式，定），通过管段能量方程和管段水力特性式，可求出各管段流量，即可求出各管段流量，即 (5.18) 式中式中Sgn(HFi-Hti+hei)表示表示取取(HFi-Hti+hei)的符号的符号()FiTieiniFiTiiHHhqSgn HHs54u解节点方程的基本思想：解节点方程的基本思想：给各个给各个定流节点水定流节点水头施加一个增量头施加一个增量（正值为提高节点水头（正值为提高节点水头,负负值为降低节点

45、水头），并值为降低节点水头），并设法使各定流节点设法使各定流节点流量连续性方程得到满足流量连续性方程得到满足。此增量就是解节。此增量就是解节点方程的未知量，求解定流节点节点流量连点方程的未知量，求解定流节点节点流量连续性方程组，未知量和方程数目均为续性方程组，未知量和方程数目均为N-R。 解节点方程不必限定为单定压节点管网，而解节点方程不必限定为单定压节点管网，而且定压节点愈多，定流节点愈少，未知量也且定压节点愈多，定流节点愈少，未知量也愈少，所以该方法适合于求解包括较少节点愈少，所以该方法适合于求解包括较少节点的管网，且适合电算。的管网，且适合电算。55解解节点方程用于电算的优点：节点方程用

46、于电算的优点： 1）解环方程要输入环的组成信息，而解节）解环方程要输入环的组成信息，而解节点方程则不必，数据输入量较少；点方程则不必，数据输入量较少； 2）解环方程要要拟定管段流量初值要满足）解环方程要要拟定管段流量初值要满足节点流量连续性条件，解节点方程拟定节节点流量连续性条件，解节点方程拟定节点水头初值则无条件限制，比较方便；点水头初值则无条件限制，比较方便； 3）解环方程只能求出管段流量，节点水头）解环方程只能求出管段流量，节点水头要另外计算，而解节点方程可直接求得管要另外计算，而解节点方程可直接求得管段流量和节点水头，计算步骤较少。段流量和节点水头，计算步骤较少。565.2 单定压节点

47、树状管网水力分析单定压节点树状管网水力分析 单定压节点树状管网，在设计时进行水力单定压节点树状管网，在设计时进行水力分析、计算比较简单，其管段流量可由节分析、计算比较简单，其管段流量可由节点流量连续性方程直接求出。点流量连续性方程直接求出。 计算步骤：计算步骤： 第一步第一步：用流量连续性条件：用流量连续性条件逆向推求各管逆向推求各管段流量段流量，并计算出管段压降；，并计算出管段压降； 第二步第二步：根据管段能量方程和管段压降从：根据管段能量方程和管段压降从定压节点出发，定压节点出发，顺向推求各节点水头顺向推求各节点水头。57例例 5.1 如图5.4 (5)4.48 节点水头节点水头44.54

48、 自由水压自由水压 32.74 (4) 地面标高地面标高11.80 3 150,150 30.74 11.63 (1) 1 (2) 2 (3) 5 (6) 9 (10)Q1 600,400 300,400 450,300 650,150 5.37 16.11 6 230,200 3.67 管段号管段号 （节点号）（节点号） 7.52 205,100 8 管长管长(m)， 管径管径(mm) 7190,150 节点流量节点流量 7.07 图图5.4 单定压节点树状管网水力分析单定压节点树状管网水力分析l4250,10058 例例5.1如前图，泵站如前图，泵站Sp1=311.1(流量单流量单位位m/

49、s,水头单位水头单位m），），he1=42.6，n=1.852根据清水池设计，节点根据清水池设计，节点(1)水头水头H1=7.80m,节点流量、管段长度、直节点流量、管段长度、直径如图所示各节点标高见表径如图所示各节点标高见表5.1。试进行。试进行水力分析。水力分析。 解解 第一步：逆推求管段流量（摘叶法）：第一步：逆推求管段流量（摘叶法）： q9=11.63 q8=3.67q7=10.74 q6=18.26 q5=60.63 q4=4.48 q3=11.64 q2=88.38 q1=93.7559 利用最后一个节点（定压节点利用最后一个节点（定压节点(1)的连续方程的连续方程q1+Q1=0

50、，得得Q1=- q1=-93.75(L/S) 。 进而利用公式进而利用公式 计算管段水头损失、平均流速、管段泵计算管段水头损失、平均流速、管段泵站扬程和管段压降等，见站扬程和管段压降等，见P94表表5.3 第二步顺推定流节点水头。第二步顺推定流节点水头。 H2=H1- h1 =7.80-(-37.35)=45.15,H3=H2-h2= 详见表详见表5.5。1.85224.8721.85210.674,iiifiipieiqiiiiifipiqlqhVhhS qCDDhhh606162 5.3 解环方程水力分析法解环方程水力分析法 解环方程是以环流量为未知量，求解环能解环方程是以环流量为未知量，

51、求解环能量方程组。解题时将非线性的能量方程组量方程组。解题时将非线性的能量方程组线性化，通过反复迭代消除线性化所造成线性化，通过反复迭代消除线性化所造成的误差。的误差。635.3.1 环能量方程线性化环能量方程线性化 （1）管段水力特性的线性化）管段水力特性的线性化 管段的水力特性，即管段流量与水头之间的关管段的水力特性，即管段流量与水头之间的关系系 i=1,2,3,M (5.1) 这是非线性方程组。这是非线性方程组。 给定初始工况点（给定初始工况点（ ）,对式（对式（5.1）微）微分得该点的切线方程：分得该点的切线方程： (5.19) 根据连续性函数性质，在管段的给定工况点根据连续性函数性质

52、，在管段的给定工况点 （ ）附近，管段水力特性可以用该）附近，管段水力特性可以用该 点点1niiiieihs q qh(0)(0),iiqh1(0)(0)niiiiiidhns qdqzdq(0)(0),iiqh64 的切线代替，如图的切线代替，如图5.6所示，只要所示，只要 的绝对的绝对值足够小，值足够小， 误差可以误差可以 忽略，忽略， Zi 为切线的为切线的 斜率，其斜率，其 意义是管意义是管 段压降段压降 随着流量随着流量 变化的灵变化的灵 敏程度，敏程度， 故称故称阻阻 图图5.6 管段水力特性的线性化管段水力特性的线性化 尼系数尼系数， 在给定点处为常数。在给定点处为常数。 线性误

53、差iidqdh和qi(0)dhi=zi(0)dqidqihi(0)+dhihi(0)hiqi(0)+dqiqi1Zi(0)65(2)环能量方程的线性化 在在初分配了管段流量的情况下，通过施加环流量初分配了管段流量的情况下，通过施加环流量可以使能量方程得到满足，因而环能量方程可表可以使能量方程得到满足，因而环能量方程可表示为：示为： k=1,2,L 式中式中 (5.21) 为为环环k的环流量；的环流量； 为环为环k的水头函数，它是各环流量的非线性的水头函数，它是各环流量的非线性函数，实际上它只与本环及相邻的环流量有关，函数，实际上它只与本环及相邻的环流量有关，不相邻环的环流量不改变该环的水头。不

54、相邻环的环流量不改变该环的水头。12)(,)0kikli RhFqqq （kqkF66 图图4.12管网，其环能量方程式（管网，其环能量方程式（5.11）可以用环流）可以用环流量表示为：量表示为： (5.22) 为了简化表达此式中，此式中未考虑管段流量为为了简化表达此式中，此式中未考虑管段流量为负值的情况，若为负值，则应改为类似以下的表负值的情况，若为负值，则应改为类似以下的表示示:( 0 )( 0 )2216612( 0 )( 0 )88151()()()0nnnnsqqsqqqsqqsq 5（ q(0)(0)332772(0)(0)992612()()()0nnnnsqqsqqsqqsqq

55、 6（ q1(0)(0)(0)212121()()nnqqqqqq67牛顿法求解非线性方程组的基本思想牛顿法求解非线性方程组的基本思想 在在给定初分配管段流量下，在环流量初值点给定初分配管段流量下，在环流量初值点 处可以将环处可以将环水头水头 函数用线性切面函数代替，即有泰勒公式将（函数用线性切面函数代替，即有泰勒公式将（5.21）展开，忽略高次项，取线性项，得线性方程组展开，忽略高次项，取线性项，得线性方程组。 (0)(0)(0)120,0,0)Lqqq（(0)(0)(0)11112112(0,0,0)LLFFFqqqFqqq (0)(0)(0)22212212(0,0,0)LLFFFqqq

56、Fqqq (0)(0)(0)1212(0,0,0)LLLLLLFFFqqqFqqq 68 此式中， K=1,2,L (5.24) 线性方程式（5.23）可表示成为矩阵形式： (5.25） 式中1(0)(0)(0)(0,0,0)()()kknkiiiieiiRiRFhs qqh(0)(0)Fqh (0)(0)(0)011,TLhhhh 环水头闭合差向量；1,2,TLqqqq 环流量向量；69 k=j i为相邻环k和j的公 共管段。 （5.26）(0)1(0)(0)()kknkiiii Ri RjFns qzq1(0)()niiins qz (0)0kjFq,kj且环k和j不相邻。70 以图4.1

57、2管网为例，可以与出如下的线性能量方程组： = - (0)(0)(0)0(0)2685600(0)(0)(0)63796zzzzzzzzzz（ ）（ ）（ ）.12qq(0)1(0)2hh71 5.3.2 环能量方程组求解环能量方程组求解 环能量方程组经过线性化后，可以采用解线性方环能量方程组经过线性化后，可以采用解线性方程组的各种解法求解。常用算法：牛顿程组的各种解法求解。常用算法：牛顿-拉夫森算拉夫森算法和哈代法和哈代-克罗斯法，后者又称为水头平差法。克罗斯法，后者又称为水头平差法。 72（1）牛顿）牛顿-拉夫森算法拉夫森算法 直接求解线性化能量方程式（直接求解线性化能量方程式（5.23）

58、，），并通过迭代计算逐渐逼近环能量方程组并通过迭代计算逐渐逼近环能量方程组最终解。最终解。 步骤：步骤： 1）拟定满足节点连续性方程组的各管段拟定满足节点连续性方程组的各管段流量初值流量初值qi(0)(i=1,2,M),并给定环水头并给定环水头闭合差的最大允许闭合差的最大允许值值eh (手算手算=0.10.5m,电算电算eh=0.010.1m）； 2）由式（由式（5.24）计算各环水头闭合差）计算各环水头闭合差(0)(1,2,., )khkL73 3) 判断各环水头闭合差是否均小于最大允许闭合差，判断各环水头闭合差是否均小于最大允许闭合差，即即 成立，成立， 如果满足，则解环方程结束，转（如果

59、满足，则解环方程结束，转（7）进行后续计算，）进行后续计算，否则继续下一步否则继续下一步； 4）计算系数矩阵计算系数矩阵F(0) ，其元素按（，其元素按（5.26）计算；）计算； 5) 解线性方程组式（解线性方程组式（5.25），得环流量），得环流量 6）将环流量施加到环内所有管段，得到新的管段流将环流量施加到环内所有管段，得到新的管段流量，作为新的初值（迭代值），转第量，作为新的初值（迭代值），转第2步重新计算，步重新计算，(0 )(1, 2,.,)khhekL(1, 2,.,)kqkL74 管段流量迭代公式为；管段流量迭代公式为； 式中式中 7）计算管段压降、流速，用顺推法求各节点水头，计

60、算管段压降、流速，用顺推法求各节点水头，最后计算节点自由水压，计算结束。最后计算节点自由水压，计算结束。(0)(0),(1,2,.,)ijkiqqqqiL jqi管段 右边环（沿管段方向行走时）的环流量，若右边没有环，则取零；kq管段左边环（沿管段方向行走时）的环流量，若左边没有环，则取零。75 P98例5.2 如图5.7,已知节点地面标高见表5.6 定压节点H8=41.50m，Cw=110 ，试进行管网水力分析，要求eh=0.1m.76 解解 1）初分配流量，计算各管段的初分配流量，计算各管段的 2）计算各环闭合差：计算各环闭合差： (不满足要求，需修正）不满足要求，需修正）1.8521.8