追求无止境——《分段函数》课的改进

1、追求无止境分段函数课的改进工大附中 龙御妹作为高三的任课教师，不仅仅要传授知识技能，关注课改方向，不断学习新的教育教学理念，还要对把握高考命题趋势，对高考题所涉及的知识和能力进行归纳，再反馈给学生进而掌握。在高三复习课上要重视知识间的横向联系、和纵向拓展，通过教师对知识的横、纵知识网络的编织，来提升学生的学习能力、创新能力、应用能力，开阔学生思维。就拿分段函数来说吧，在新教材中给出了确切的定义，而早在前几年的高考题中就涉及到了分段函数。一、 第一次讲分段函数：我在05年教高三时，把05年各省份的高考题的分段函数整理出来，分析其考查的知识内容和能力，而后把分段函数作为函数复习的一个内容，在第二轮

2、复习函数图象时，作为一节课的一部分处理。选择05年广东的一个高考题作为例题：在同一平面直角坐标系中，函数和的图象关于直线对称现将图象沿轴向左平移个单位，再沿y轴向上平移个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示），则函数的表达式为( )（）（）（）（）我带着学生一起分析此题的解题思路：通过平移所给函数的图象得到g(x)的图象及其解析式，再求g(x)的反函数得到f(x)的解析式，涉及到分段函数如何求反函数，进而进行归纳。而后学生做练习：05年湖北卷高考题：函数的图象大致是（ ）给学生两分钟思考，学生方法比较多：方法一：带入特殊值：令x=e,排除答案C，令x=，排除A、B；方法二：取极限：

3、x趋于0时，y趋于+，排除A、B,x趋于+时，排除C；方法三：分类讨论：直接得到函数图象.大部分学生并没有把此题化成分段函数解决，但是用到了分类讨论的思想解决，从而归纳出含绝对值问题可利用分类讨论的思想解决。05年高考复习课时，当时讲分段函数时仅仅局限到这里，而分段函数的性质和解决的方法并没有完整进行归纳，没有进行拓展。就在当年06年高考题就出了分段函数单调性问题：已知是上的减函数，那么a的取值范围为( ).A B C D 当时第一次看高考题时，我觉得学生会想不清分段函数的单调性问题，但是与学生交流发现此题学生错得并不多，原因是选择题，看到C是B的子集，就有用代特殊值排除的，有带边界验证的，连

4、蒙带猜地选出答案，我都替他们捏把汗，反思自己的教学还是缺乏拓展的深度，平时三次函数求单调区间总强调的，若求出的是两个区间，不要写并集啊，学生总弄不清楚，而我自己明白却总也没有详细进行说明，学生只是死记下来，效果可想而知。而此高考题却把两个单调区间并起来了，只有对分段函数透彻理解，才能真正体会何时能写并集，何时不能。二、 第二次讲分段函数这个学年我承担了朝阳区的区级研究课的任务，在全区研讨高三第二轮复习。第二轮的专题复习就是要抓住知识主干，重点重点知识强化，而函数是高中代数内容的主干，分段函数在最近几年的高考试题中出现频率很高，在新课程中对分段函数也进行了定义（在函数的定义域内，对于x的不同自变

5、量的取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数），而现在高考正慢慢向新课程过渡，这引起我们在高考复习中对分段函数的重视。从另一角度分析，分段函数也是培养学生数学思想，渗透数学方法较好的一个素材。于是我把分段函数设单独计为一节课。制定的教学目标为：（1） 通过分析分段函数的基本性质（值域、单调性、奇偶性、反函数、连续性）进一步巩固函数的性质，提高对函数的认识；（2） 通过利用分类的思想把分段函数转化为基本函数去研究，再对所得结果进行整合，来渗透分类整合的思想和转化方法；通过利用函数的图象突破难点直观分析函数的性质，来提高数形结合解决问题的能力；（3） 通过利用函数思想解决方程、不等式等

6、问题，提高学生综合分析问题的能力，进一步渗透函数思想.教学重点是分段函数的性质.教学难点是分段函数的单调性.教学过程（简记）：（一）在课前布置了练习，为本节课打好基础：1、（06-辽宁）设则_.2、（06-安徽）函数的反函数是AB C D 3、（06-北京）已知是上的减函数，那么的取值范围A B C D 4、已知函数，则f(x)为A奇函数B偶函数 C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数5、(07-湖北)为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒。已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示，根据图中

7、提供的信息，回答下列问题：从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为 ，据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室。6、（理科）关于函数f(x)= (a是常数，a>0)，下列关于函数f(x)表述正确的是 最小值是0 在每一点处都连续 在R上是增函数在每一点处都可导有反函数（二）上课时先指出，在高考题中分段函数以小题和解答题形式都出现过，该知识点主要考查分类整合、数形结合的数学思想，以及综合能力.（三）方法归纳（利用PPT演示）：订正课前练习题，并对其进行归纳：第

8、5小题：归纳分段函数的解析式、定义域、值域（看图说话）；第2小题：归纳分段函数的反函数（分段求再整合）；第3小题：归纳分段函数的单调性（利用几何画板演示说明）；第4小题：归纳分段函数的奇偶性（用定义证明或画函数图象观察）。第6小题：归纳分段函数的连续性（利用间断点处的极限）。（四）例题分析：例1、已知函数f (x) =，则不等式xf (x 1) < 10的解集是 提问：（1）分段函数的复合形式如何写？（2）如何解不等式？（3）答案如何整理？解：f (x1) =解得解集为小结：分段函数在解决问题时分段解决，即分类讨论解决，最后要对答案进行整合.引伸：（1）方程的根的个数为 （落在什么区间）

9、（2）不等式的解集为 小结：利用函数图象解决有关分段函数的不等式和方程，直观简洁.例2、已知函数,求f(x)的单调区间.分析：如何转化为我们熟知的函数？小结：（1）含绝对值符号的函数可根据零点转化分段函数研究（2）单调区间应进行整合.例3、（05-上海高考题）对定义域是、的函数、，规定：函数。（1）若函数，写出函数的解析式；（2）求问题（1）中函数的值域；（3）若，其中是常数，且，请设计一个定义域为R的函数，及一个的值，使得，并予以证明。（给学生时间审题并完成第一问）提问：（1）分段函数的值域如何得到？请学生解决第二问（方法：均值定理、判别式法、求导）；（2）从结构形式上分析g(x)是否为分段

10、函数？有a和h(x)有何联想？（五）小结：1、 分段函数在解决问题时利用分类的思想转化为基本函数解决，最后对各段上的情况再加以整合；2、 对于含绝对值的函数可以转化为分段函数来解决.（六）检测：1、已知函数在点处连续，则 2、函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则的取值范围是_。3（07-海南 ）设函数（I）解不等式；（II）求函数的最小值（七）作业：完成学案课后练习观课的同组教师和教研员在课后真诚地与我探讨。首先我先谈上完这节课的体会：学生是重点班学生，接受、理解、分析、归纳问题的能力较好，课堂容量较大，一题多解和例题拓展的方式有助于培养优秀生；例1的拓展（2）学生做此题时暴露出了问题，

11、并及时进行了纠正，处理较好；例3的第（2）问，学生求函数的值域时方法灵活，给学生展示的机会，这个环节处理较好。不足的地方例3的第（3）问由于时间的原因处理比较仓促，后面的检测时间没有了；在知识归纳上耽误时间较多，还可再简练些；课堂节奏较快，在普通平行班学生会跟不上，需要调整内容和节奏。与会教师肯定了我的优点，并提出需要改进的地方：1、 例1中函数y=xf (x 1)的图象过渡较快，这是一个难点，应该引导学生先写出y=f (x 1)的解析式，加以铺垫，再画函数图象；2、 例1中的引伸（2）此题编造痕迹过重，应该舍去；3、 课前练习的几个题目使得整个课程显得凌乱，可以把重点作为例题来讲解，注重课堂

12、的落实；4、 学生活动较多，但是在学生回答完问题时，教师总在纠正补充，说得太多，应该让学生充分发挥，让学生对知识进行归纳总结，少说多倾听；5、 应该注意语言的简练，提问还需精心设计，有口头语，应该纠正；6、 使用多媒体时教师所站的位置应该注意随时调整，使用多媒体时也要注意教态.三、 第三次讲分段函数调整教学目标为：1、 通过分析分段函数的基本性质进一步巩固基本函数的性质，提高对函数的认识；2、 过利用分类的思想把分段函数转化为基本函数去研究，再对所得结果进行整合，来渗透分类整合的思想和转化方法；3、 通过利用函数的图象突破难点直观分析函数的性质，来提高数形结合解决问题的能力；4、 通过利用函数

13、思想解决方程、不等式等问题，提高学生综合分析问题的能力，进一步渗透函数思想；5、 通过对解析式的理解联想猜想合情推理，培养学生猜想论证的能力，培养学生的创新意识.教学内容和过程进行了大幅度调整：（一）引入：分段函数定义：自变量取不同的取值范围，对应法则不同.（二）例题：例1(07-湖北)为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒。已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为 ，据测

14、定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室. 给学生时间进行审题分析，得到解析式，进一步利用图象解不等式。从函数图象归纳出这个函数的定义域、值域、最值、单调性，特别是单调性的归纳让学生分析补充，进而引出例2.例2（06-北京）已知是上的减函数，那么a的取值范围为( ).A B C D 分析如何求？学生答分段求，得到选项B，教师利用几何画板动态演示几种情况 引导学生如何才能满足在为减函数，从而归纳出判断分段函数的单调性的方法：分段解决是为了转化为基本函数，画图象是为了对结果进行整合，体现的是分类整合的思想.从另一

15、方面，也帮学生分析选项，由选项的提示，可以利用特殊值法进行排除，从而得到正确答案.例3已知函数f (x) =（1）不等式xf (x 1) < 10的解集是 ；（2）方程xf (x 1)=log4x的根的个数为 .请学生分析如何解这个不等式，对于问题(1)，学生都使用的代数方法解决.(2)问学生解决有些困难，和学生一起分析采用什么方法，学生想到数形结合解决，教师巡视，给学困生进行辅导，等大部分学生完成，请一位学生利用实物投影演示，学生的图象出现错误，找原因是没有写出y= xf (x 1)的解析式，纠正改进后得到正确答案，继而再问，根分布在哪个区间？引发学生进一步思考，最后对此题进行归纳小结

16、，解决分类函数问题一般先分类再整合，体现的是分类整合思想.引出例4，并指出这是05年上海高考题的最后一个题，引起学生解决这个问题的兴趣.例4、（05-上海）对定义域是、的函数、，规定：函数.（1）若函数，写出函数的解析式；请学生自己解决问题（1），教师巡视，指导，最后请一个学生订正答案.（2）带学生分析分段函数值域如何来求，得到解析式，后分段求x=1时，值域为1，当x1时，如何求的值域？观察解析式的结构，让学生想解决的方法.学生有用判别式的，有用求导的，有用均值定理的，大家对比选择了用均值定理求值域，体会简洁解法，最后问分段函数的值域如何写？要整合。（3）若，其中是常数，且，请设计一个定义域为

17、R的函数，及一个的值，使得，并予以证明.教师提示构造一个函数，要求满足定义域为R，那么定义域应该是什么？函数h(x)怎么写？用分段吗？请同学们课后思考.（目的是作业分层）（三）小结：分段函数研究的方法：分段解决再整合，体现了分类整合、数形结合的思想。另外也要注意自变量的取值在分段函数问题中的作用.（四）作业练习：完成学案.反思第三次的课，对比前两次有的地方得到了改进：（1）例题的选配更合理，符合学生情况，例1的调整，注重考察学生解决实际问题的能力，符合新课标要求，把这个题发挥得较好，总结了分段函数的重要性质，并提高了学生的识图能力；例2的调整把学生的主要问题暴露在课堂上，从而使得重点内容在课上

18、加以落实；（2）每个例题在解题方法上予以指导，表达规范，注重培养学生良好的学习习惯，每个题后都有小结、反思、方法提炼，并进行了思维的发散，有助于学生能力的提高；（3）更多地关注学生，精心设计提问语言，师生交流融洽，通过展示学生练习并进行纠错，使得气氛变得更活跃，注重引导，调动了学生的积极性，充分发挥了学生的主体作用和教师的主导作用；（4）高三的复习课不能只注重应试教育，也应该为培养学生能力，渗透提高数学思想而设计；（5）注意调整了使用多媒体的教态、站立的位置，使得教师形象更大方.需要改进的地方：（1）我讲课选的班级是（7）班，是很活跃的班级，但我没有预料到学生会紧张，在分析第一个例题时，学生还没有进入状态，开始有些不敢说，导致分析此题时间过长，课前应先调动好学生，使得气氛宽松，才能更