范例将有理化

1、【範例】：將有理化。 解 ：。 【範例】：將有理化。 解 ：。 【範例】：將有理化。 解 ： 。 二重根式的化簡： 假設a、b為兩個非負的數，而且ab。 因為，所以。 因此得到： （其中ab） ，則xab，yab。 【範例】：化簡。 解 ：。 【範例】：化簡。 解 ：。 【範例】：化簡。 解 ：。 = = = 1 - 【範例】：化簡。 解 ：。= = )【範例】：化簡。 解 ：。【範例】：化簡。 解 ： = = = ()。 【範例】：化簡。 解 ： 。【範例】：化簡。 解 ： 。 = = +。【範例】： 【範例】：利用乘法運算展開(21)(21)。 解 ： (21)(21) (21)2 (21

2、)(21) 24221 2(14)(-22)1 231 也可以用直式乘法或分離係數法作答，如下圖所示： 【範例】：若(x+1)(x+2)(x+3)(x+10)=a10x10+a9x9+a1x+a0，則求(1)x9項的係數a9= ，(2) x8項的係數a8= 。Ans：(1)55(2)1320 只考慮後幾項相乘，故有： x + 55x+ 1320x+ + 【範例】：求(1)的商式及餘式。 解 ：方法一：直式計算法 方法二：分離係數法 商式為(1)，餘式為1。 (1)(1)1， (1)(1)1。 【範例】：求(20402)(01)的商式及餘式。 解 ：步驟a. 將原式改變成降冪排列，且缺項部分補零

3、: (20402)(01) 步驟b. 步驟c. 故可知(422)(1) 22 。 【範例】：求(232)(1)的商式及餘式。 解 ： (232)(1)的商式是(1)，餘式是(51)。 【範例】：求的商式及餘式。 解 ：方法一：直式計算法 方法二：分離係數法商式為2x2x1，餘式為7。範例：用(x-1)2除x10+2所得的餘式為何？ Ans：10x-7 (直接除觀察係數規則即可得，或是利用綜合除法)範例：以(x+1)2除x50+1之餘式為 。Ans：-50x-48 (直接除觀察係數規則即可得，或是利用綜合除法)設f(x)，g(x)為二多項式且g(x)不是零多項式，則可找到二多項式q(x)及r(x

4、)滿足f(x)= q(x)g(x)+r(x)，其中r(x)=0或deg r(x)deg g(x)。此時稱f(x)為被除式，g(x)為除式，q(x)為商式，r(x)為餘式。綜合除法：當除式g(x)=x-a時，我們介紹綜合除法去求商式、餘式。【範例】：設f (x)=2x4+x2 -5x，g(x)= x-2，求f(x)除以g(x)的商式、餘式。解 ：2 x4 + x2 -5x = ( 2x+ 4x + 9x +23 ) ( x 2) +46 綜合除法的原理：設f(x)=a3x3+a2x2+a1x+a0，g(x)=x-b，若存在商式q(x)=c2x2+c1x+c0，餘式r(x)=d。由除法的定義：(a

5、3x3+a2x2+a1x+a0)=( c2x2+c1x+c0)( x-b)+d 經比較係數可得： 上面的關係可寫成以下的形式：當f(x)除以g(x)=ax+b時，我們也可利用綜合除法求餘式r(x)、商式q(x)。由除法的定義：f(x)=(ax+b)q(x)+r(x)=(x+)aq(x)+r(x)可先利用綜合除法求出f(x)除以(x+)的商式q/(x)=aq(x)與餘式r(x)， 而所要求的商式q(x)=，餘式r(x)不變。【範例】：f (x)=3x3+5x2-46x+42除以g(x)=3x-7，求f(x)除以g(x)的商式、餘式。解 ：f (x)=3x3+5x2-46x+42除以g(x)=3x

6、-7 3x3+5x2-46x+42 = (x+12x 18) (3x -7) + 0 【範例】：試分別利用綜合除法計算下列各小題的商式、餘式。(1)以x-3除5x3-8x2+2x-1 (2) 以x+4除2x4+3x2-5x-4 Ans：(1)商式=5x2+7x+23,餘式=68；(2) 商式=2x3-8x2+35x-145,餘式=576【範例】：利用綜合除法計算下列各題之商式與餘式：(1) 以2x-1除4x4+5x2+3x-2；(2)以3x+7除6x3+12x2+11Ans：(1) 商式=2x3+x2+3x+3,餘式=1 (2)商式=2x2- x +,餘式=【範例】：設f(x)=x5-2x4-

7、7x3+2x2-4x+6，試求f ()=？Ans：-【範例】：設多項式f (x)=2x4-7x3+x2+5x+5= a (x+1)4+b (x+1)3+c (x+1)2+d (x+1)+e ，求a,b,c,d,e之值？求(x+1)2除f(x) 之餘式？解 ：f(x) = 2x-7x+ x+5x+ 5= a (x+1)4+b (x+1)3+c (x+1)2+d (x+1)+e f (-1) = 10 = e 2x-7x+ x+5x+ 5= a (x+1)4+b (x+1)3+c (x+1)2+d (x+1)+10 2x-7x+ x+5x - 5= a (x+1)4+b (x+1)3+c (x+1

8、)2+d (x+1) = ( x+1) ( a(x+1)+ b (x+1) + c(x+1) + d ) (2x-7x+ x+5x 5) (x+1) = a(x+1)+ b (x+1) + c(x+1) + d 2x -9x +10x-1 = a(x+1)+ b (x+1) + c(x+1) + d 兩邊代x= -1我們可得 d = -26 ，同理可得a=2, b-15, c=34。故f(x) = 2x-7x+ x+5x+ 5 = 2(x+1)15(x+1)+ 34(x+1) -26(x+1)+10 = (x+1) ( 2(x+1)-15(x+1)+34 ) - 26(x+1) +10 (x+

9、1)2除f(x) 之餘式為 - 26x -162-7155-1-29-1052-910-510=e-211-212-1121-26=d-2132-1334=c-22=a-15=b【範例】：設f(x)=x3-4x2+7x-1=a(x-2)3+b(x-2)2+c(x-2)+d，a,b,c,d為實數，求a,b,c,d的值？Ans: a=1,b=2,c=3,d=51-47-122-461-23520103212【範例】：設f(x)=54x3-99x2+66x-20 = a(3x-1)3+b(3x-1)2+c(3x-1)+d，試求數對(a.,b,c,d)=？Ans：a=2,b=-5,c=6,d=-754

10、-9966-201/328-271354-7139-718-2713 54x3-99x2+66x-20 = (3x-1)18 x -27x +13 -718-27131/306-718-2166-754x3-99x2+66x-20 = (3x-1) (3x-1) ( 6x 7 )+ 6 -7 = ( 3x 1)( 6x 7 )+ 6(3x-1) - 7 6-71/336-52 54x3-99x2+66x-20 = ( 3x 1)( (3x+1)2 -5) +6(3x 1) 7 = 2 (3x -1)- 5 ( 3x 1)+ 6(3x 1) 7【範例】：設f(x)= x10+2= a(x-1)+

11、 (x-1)+ a(x-1)+ + a(x-1)+ a(x-1) +a，試求數對 ( a, a, , a, a, a )=？ 用(x-1)2除x10+2所得的餘式為何？解 ：1000000000211111111111111111111131234567891234567891013610152128361361015212836451410203556841410203556841201515357012615153570126210162156126162156126252172884172884210183618361201919451110x + 2 = 1(x-1)+ 10(x-1)

12、+ 45(x-1)+120(x-1) + 210(x-1) + 252(x-1) + 210(x-1) + 120(x-1) + 45(x-1)+ 10(x-1) +3 x + 2 = (x-1)Q(x) + 10(x-1) +3 ，故餘式為10x -7範例：(1)以(x+1)2除x+1之餘式為？(2) 以(x+1)2除x+1之餘式為？ (3) 以(x+1)2除x+1之餘式為？10000000001-1-11-11-11-11-111-11-11-11-11-12-12-34-56-78-91-23-45-67-89-10x+1 = a(x+1)+ a(x+1)+ a(x+1)+ + a(x+

13、1)+ (-10) (x+1) +2故以(x+1)2除x+1之餘式為-10x-8x+1 = a(x+1)+ a(x+1)+ a(x+1)+ + a(x+1)+ (-50) (x+1) +2故以(x+1)2除x+1之餘式為-50x-48x+1 = a(x+1) + + (-2008)(x+1) + 2 故以(x+1)2除x+1之餘式為-2008x-2006多項式的係數和：f (x)= anxn+an-1xn-1+a1x+a0，則 各項係數之和=f (1)，常數項=f(0)，奇次項係數之和= ，偶數項的係數之和= 。【範例】：多項式f(x)=(x5-2x3+x+1)1999展開式中，試求下列各小題：(1)各項係數和 (2)常數項 (3)奇數項係數和 (4)偶數項係數和Ans：(1) f(1) = ( 1 -2 + 1+ 1)= 1, (2) f(0) = 1= 1,(3) 奇次項係數之和= = 0, (4) 偶數項的係數之和=1【範例】：設f(x)=x4-2x3+3x2-5x+1，g(x)=x17+5x