题根研究 平面坐标为平面向量之根

1、题根研究 平面坐标为平面向量之根一、向量的坐标式向量本有3个要素：（1）大小，（2）方向，（3）起点位置.当我们不需考虑向量的起点位置时，则只关心向量的2个要素：（1）大小；（2）方向.起点位置全部会于坐标原点. 向量集合 a 与有向线段，与终点的坐标（x，y）则形成一一映射.此时，我们用向量终点的坐标表示向量 这就是向量的坐标式.1、用坐标表示向量的大小和方向设有向量 a = （x， y），其长度用| a |表示，方向用向量 a 与 x轴成角的函数值表示.1.向量大小 | a | =2.向量方向用的函数表示的取值范围2、向量的加法运算加法法则：设有向量则 几何意义：向量，的和仍是一个向量，它

2、是以OA，OB为邻接边的平行四边形的对角线. 和向量夹在两个“加向量”之间.3、向量的减法运算设，则几何意义：向量与的差仍是一个向量，它与减向量分居在被减向量的两侧，使得被减向量成为以，向量为邻接边的平行四边形的对角线.【说明】 向量，向量的平行与共线同义. 4、向量的数量积运算设有向量和，且两向量的夹角为，则两向量的数量积为a b = | a | | b |cos = x1 x2 + y1 y2几何意义：| b |cos （ 或 | a | cos ） 是向量 b （ 或a） 在向量a （或b） 上的射影.向量和数量积a b 是个标量，不考虑方向.5、向量的实数积坐标运算：向量a=（x，y）

3、与实数的乘积a =（x，y）= bb也是一个向量，称作向量a与实数的积.几何意义：（1）=1时，b = a，是a的等向量； （2）= -1时，b = - a，是a的反向量； （3）> 1时，| b | > | a |，是a的伸长； （4）0 << 1时，b | < | a |，是b的压缩； （5）= 0 时，b = 0，是 a 退化到了原点.二、坐标研究向量的位置关系坐标运算来自向量运算的几何意义，反过来，坐标运算又为向量运算服务.由于坐标使得向量“数码化”，从而坐标运算使得向量关系运算化. 如向量的平行问题、垂直问题等原非计算问题，但实现向量的坐标化后，全部可通

4、过坐标计算而判定.1、两向量夹角的坐标公式设向量a =（x1，y1），b =（x2，y2），a ，b夹角为，由向量的数量积运算式a b = | a | | b | cos= x1x2 + y1 y2得 这就是向量a，b的夹角公式.特别地，当a，b为单位向量时，即| a |=1，| b |=1时，则有cos= x1 x2 + y1 y22、坐标判定向量垂直与平行由a ，b的夹角公式 可以推出：（1）ab的充要条件为 cos=1（2）ab的充要条件为 cos=1三、坐标运算的应用一个向量对应着唯一的坐标，反过来，一个坐标却对应着无穷个向量. 由于这无穷向量是相等向量. 故可以把它们的起点都化归到原

5、点来研究.如起点为P1（x1，y1），终点为P2（x2，y2）的向量可化归为两向量之差来研究.在不考虑向量起点的条件下，向量与坐标之间首先建立了一一对应，接着建立了向量的终点与坐标的一一对应，最后建立了平面上的点与坐标的一一对应.这就为用坐标研究图形创造了条件.1、距离公式【距离】 向量与向量的差向量的长度确定了平面上两点A和B的距离 .【例题】 设有定向量，动向量且有. 求动点P的轨迹.【解答】 P点轨迹是一个以点 A（1，2）为圆心，以r = 3为半径的圆.2、图象平移【公式】 将点P（x，y）沿向量a =（h，k）平移到Q（x'，y'），则有【例题】 函数y=32x-5的

6、图象按向量a平移后，图象的解析式为y=32x，则向量a的坐标为（A）A. B. C.（-5，0） D.（5，0）【解答】 设a =（h，k），则函数y=32x-5的图象按向量a平移后所得图象的解析式为y-k = 32（x-h）-5 = 32x-2h-5，它应与y = 32x表示同一个函数. 所求向量为a =3、定比分点【公式】 设点P（x，y）以定比分有向线段，则有【例题】 设O（0，0），A（1，0），B（0，1），点P是线段AB上的一个动点，若，则实数的取值范围是（B）A. B. C. D. 【解答】 设P（x，y），由得 （x-1，y）=（-1，1）=（-，），【点评】 本题是定比分点型

7、问题，欲求实数的取值范围，只需建立关于的不等式.因此将不等式中的向量坐标化是求解问题的基本策略.4、三点共线【定理】 设且，则P1，P2，P三点共线的充要条件为1+2 =1.【证明】 必要性 若P1，P2，P共线，则有 即P（x，y）为的定比为的分点.【例题】 已知向量=（k，12），且A，B，C三点共线，则k=【法1】 A、B、C三点共线【说明】 A、B、C三点共线【法2】 由已知条件易得 因为A、B、C三点共线，故有 -5（k-4）=7（k+4），即12k=-8，所以k=-【说明】 利用两向量共线的充要条件时，所涉及的两向量应当是有公共点的向量. 5、直线方程的坐标形式【形式】 设有向量和

8、，则过A，B两点的直线方程为（x - x1 ）（y2 - y1） =（y - y1）（x2 - x1）【证明】 设三点P，A，B共线，则有 ，同时有6、证明三角公式【公式】 差角余弦公式C-cos（-）=coscos+sinsin.【证明】 如图的单位圆所示，角和的终边交单位圆于A（cos，sin）和B（cos，sin）向量的夹角为-，由夹角公式cos（-）=即 四、向量在代数中的应用【题1】 （在不等式中的应用）已知：a2 + b2 + c2 =1，x2+y2+z2 =1，a，b，c，x，y，zR.求证：-1ax+by+cz1.【解答】 构造平面向量=（a，b，c），=（x，y，z）.则由题

9、设知|2 = 1，|2 =1. |=1，|=1.令、的夹角为，则0，.cos=又-1cos1，-1ax+by+cz1.【题2】 （求最值） 设m，nR，求s=的最小值，并指出此时m、n满足的条件.【解答】 s=可化为s=设向量a=（m-1，1-n）， b=（2-m，n），则a+b=（1，1），s=|a|+|b|a+b|= 这里向量a、b都有是零向量的可能，但它们不可能同时为零向量.当a=0，或b=0时，式都是成立的，这时m=1，n=1；或m=2，n=0. 当a0，且b0时，式成立，当且仅当a与b同向共线，所以a=kb（k>0），即 （m-1，1-n）=k（2-m，n），所以 由上面的方程

10、组，可得 m+n-2=0， 由、可知s的最小值是，此时m、n满足的条件是m+n-2=0（1m2）.【说明】 本题的解答过程有三个关键环节：（1）设a=（m-1，1-n）与b=（2-m，n）的技巧是把m、n的符号设成各一正一负，这样才能使a+b=（1，1）的坐标是常数，从而求得|a+b|=.（2）不等式|a|+|b|a+b|中等号成立的条件是a、b至少有一个是零向量，或a、b均为非零向量且同向共线.由于a、b的坐标所致，所以，a=b=0的情况是不存在的，否则，矛盾有三处，即“m=1且m=2；n=0且n=1；0”. 对a与b同向共线，如果使用形如“x1y2-x2y1=0”的式子去求m与n的关系，只

11、有共线的结果m+n-2=0，得不到限制性条件1<m<2与0<n<1.（3）题目的结论中，限制性条件1m2与0n1是等价的，所以，只保留了1m2.五、高考中的平面向量【题1】（山东卷）设向量a=（1，-2）, b=（-2, 4）, c =（-1，-2），若表示向量4a，4b2c，2（ac），d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为（A）（2，6） （B）（2，6） （C）（2，6） （D）（2，6）【解答】 设d（x，y），因为4a（4，12），4b2c（6，20），2（ac）（4，2），依题意，有4a（4b2c）2（ac）d0，解得x2，y6 选D.【说明】 这是一

12、道向量与平面几何的综合题. 注意，多边形（首尾相连的封闭图形）的“向量和”等于零.【题2】 （湖北卷）已知向量a=，b是不平行于x轴的单位向量，且a b=，则b=A. B. C. D.（1，0）【解答】 设b（x，y），则有a b = （1）由已知 x2+y2=1（y0） （2）（1）（2）联立，解得，选B【说明】 这是一道向量与线性规划的综合题.【题3】 （湖南卷）如图：OMAB，点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）. 且则实数对（x，y）可以是A. B. C. D. 【解答】 x= a<0， y = a+b， x+y = b（0，1）， 故选C.【说明】 这是一道向量与线性规划的综合题.【题4】 （江苏卷）已知两点M（2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足，则动点P（x，y）的轨迹方程为（A）y2 = 8x （B）y2 = -8x （C）y2 = 4x （D）y2 = -4x【解答】 设P（x，y），x>0，y