第二部分空间与图形

1、第二部分、空间与图形五个公理：1、 等于同一个量的两个量相等2、 等量加等量，和相等3、 等量减等量，差相等4、 互相重合的量一定相等5、 整体大于部分命题：用来判断一件事情的语句命题的构成：命题由题设和结论两部分组成.判断点是题设和结论的分界点.题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项一线和角1、(公理)两点之间,线段最短.2、(公理)经过两点有一条直线,并且只有一条直线.3、等角(同角)的余角(补角)相等.4、对顶角相等.5、(公理)经过直线外或直线上一点,有且只有一条直线与已知直线垂直.6、(公理)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.说明:几何最小值的基础:在几何问题中

2、,经常出现最小值问题.解决的基础和基本思路是设法归结为以下两个情形之一:两点间连线中,以线段最短.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.7、(公理)经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.8、平行线的判定(1) (公理)同位角相等,两直线平行. (2) 内错角相等, 两直线平行.(3) 同旁内角相等, 两直线平行.(4) 在同一平面内,垂直于同一条直线的两直线平行.(5) 如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也平行.9、平行线的性质(1) (公理)两直线平行,同位角相等.(2) 两直线平行,内错角相等.(3) 两直线平行,同旁内角相等.10、平移的相关知识 定义：

3、在平面内，将一个图形整体沿某个方向移动一定的距离，这样的图形移动叫做平移变换，简称平移 对应点的定义:新图形中的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点称为对应点.平移变换的特征 在平移下，每一对对应点的连线都互相平行（平行于平移方向），每一对对应点之间的距离都相等（等于平移距离）.简言之,每一对对应点的连线都平行且相等. 这样,要判断两个图形是否平移就可以通过判断每一对对应点的连线是否都平行且相等. 平移变换的确定 给定了平移方向和平移距离,就确定了平移.根据平移变换的特征可知,给定一对对应点,也确定了平移. 图形在平移下的不变性和不变量 平移把任一线段变成与它平行（或在同一条直

4、线上）且相等的线段,即在平移下,任一线段保持方向和长度不变. 平移把任一个角变成与它相等的角,即在平移下,任一个角保持大小不变.平移把任一图形变成与它全等的图形. 说明：图形的变化是“空间与图形”领域中一块重要的内容，图形的变换主要包括图形的平移、图形的轴对称、图形的旋转和图形的相似等，通过将图形的平移、旋转、折叠等活动，使图形动起来，有助与在运动变化的过程中发现图形不变的几何性质，因此几何的变换是研究几何问题、发现几何结论的有效工具.11、轴对称的有关定理: 如果图形关于某一直线对称,那么连结对应点的线段被对称轴垂直平分. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称的两

5、个图形是全等形.图形翻折型问题图形翻折型问题是把某些特殊平面图形，按照某种程序折叠，然后按此程序模拟出平面几何图形，再按要求进行计算和证明。图形翻折型问题具有以下性质：互相重合的点是以折痕为对称轴的对称点，连结两重合点的线段被折痕垂直平分。互相重合的线段是以折痕为对称轴的对称线段。互相重合的部分是全等图形，也是折痕为对称轴的轴对称图形。镜子中的像与实际物体成轴对称，像与实际物体平行时特点：上下位置不变，左右位置颠倒. 像与实际物体垂直时特点:左右位置不变,上下位置颠倒.(注:水中倒影与实际物体也是成轴对称,其情景与镜子中的像与实际物体垂直时类似)12、旋转的相关知识： 旋转的定义：在平面内，把

6、一个图形绕一个定点沿某一方向转动一个角度，这样的图形运动，叫做旋转.旋转的性质:旋转的图形上的每一点都绕旋转中心旋转了同一个角度,这个角度等于旋转角.对应点到旋转中心的距离(旋转半径)相等.对应线段相等.对应角相等.旋转后的图形与原图形形状、大小不变-全等，只是改变了位置.对应线段的夹角等于旋转角.旋转对称图形定义:一个图形绕旋转中心旋转一定角度后能与自己重合,这个图形叫做旋转对称图形.中心对称图形:一个图形绕其旋转中心旋转180后能与自身重合,这个图形叫做中心对称图形,这个中心叫做对称中心.中心对称:一个图形绕某一点旋转180,如果它能够和另一个图形重合,那么称这两个图形成中心对称,这个点称

7、对称中心.两个图形关于此点对称也称中心对称.中心对称的特征: 关于中心对称的两个图形是全等形.关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.13、角平分线的性质和判定性质;角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.判定:到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.集合:角平分线上是到角的两边距离相等的所有点的集合.14、线段垂直平分线的性质和判定性质:线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.判定:到一条线段的两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.集合:线段的垂直平分线是和线段的两个端点距离相等的点的集合.二、三角形、多边形1、三角形中有关公理、定理 三

8、角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；三角形的外角和等于360. 三角形内角和定理：三角形的内角和等于180. 三角形边的关系定理：三角形任何两边之和大于第三边；三角形任何两边之差小于第三边. 三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 三角形是具有稳定性的图形,而四边形没有稳定性.2、多边形中的有关公理、定理： 多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（n-2）*180. 多边形的外角和定理：n 边形的外角和等于360.3、平面镶嵌 定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形平

9、面镶嵌（或覆盖平面），简称镶嵌.具体地说，用形状、大小完全相同的一种或多种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌. 一般地,多边形能覆盖平面需要满足两个条件: 拼接在同一个点的各个角的和恰好等于360。 相邻的多边形有公共边. 可以用予镶嵌的平面图形 任意剪出一些形状、大小相同的三角形纸板，能镶嵌成平面图案；任意剪出一些形状、大小相同的四边形纸板，能镶嵌成平面图案；用一种正多边形镶嵌，只有边长相同的正三角形、正方形、正六边形才可以；。用两种或多种正多边形镶嵌，关键是在一个顶点处，两种正多边形的内角的和要等于360。. 说明：总之，要判断

10、多边形是否能镶嵌平面就要看这些多边形的内角的组合是否会等于3604、等腰三角形中的有关公理、定理： 等腰三角形的性质： 等腰三角形的两个底角相等. 等腰三角形的“三线合一”定理: 等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和底边上的高线互相重合，简称“三线合一”. 等边三角形的各个内角都相等，并且每一个内角都等于60. 等腰三角形的判定: 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等. 三个角都相等的三角形是等边三角形. 有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.5、直角三角形的有关公理、定理： 直角三角形的性质： 直角三角形的两个锐角互余. 勾股定理: 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平

11、方. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 在直角三角形中,如果有一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 直角三角形的判定: 勾股定理的逆定理:如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和,那么这个三角形是直角三角形.三、特殊四边形 1、平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等.平行四边形的对角相等.平行四边形的对角线互相平分. 2、平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.对角线互相平分的四边形是平行四边形.3、矩形的性质：矩形的四个角都

12、是直角.矩形的对角线互相平分且相等.4、矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形.有一个角是直角的平行四边形是矩形.对角线相等的平行四边形是矩形.5、菱形的性质:菱形的四条边相等.菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角.6、菱形的判定：四条边相等的四边形是菱形.一组邻边相等的平行四边形是菱形.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.7、正方形的性质:正方形的四个角都是直角.正方形的四条边都相等.正方形对角线相等,且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角.8、正方形的判定：有一个角是直角的菱形是正方形.有一组邻边相等的矩形是正方形.9、等腰梯形的判定：同一条底边上的两个角相等的梯形是等

13、腰梯形.两条对角线相等的梯形是等腰梯形.10、等腰梯形的性质:等腰梯形的同一条底边上的两个角相等.等腰梯形的两条对角线相等.11、梯形中位线定理：梯形中位线平行于梯形的两底边，并且等于两底和的一半.四、相似形与全等形相似形 1、相似多边形的性质 相似多边形的对应边的比相等. 相似多边形的对应角相等. 相似多边形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.2、相似三角形的判定 如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似. 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似. 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成

14、比例,那么这两个三角形相似. 平行于三角形的一边的直线和其它两边相交所构成的三角形与原三角形相似.3、位似图形：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形.这个点叫做位似中心. 位似中心可以在两个图形的两侧，或两个图形的同侧，或两个图形之间，或图形内，还可以在其中一个图形的边上或顶点. 在平面直角坐标系中,以原点为位似中心,将一个图形按照一定相似比k放大或缩小，有两种情况：一种是两个图形在原点的同侧，这时对应点的坐标比为k，另一种是两个图形在原点的异侧，这时对应点的坐标比为-k .性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.

15、 全等形1、全等多边形的性质：全等多边形的对应边、对应角相等.2、全等三角形的判定： 如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等. 如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等, 那么这两个三角形全等. 如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等, 那么这两个三角形全等. 有两个角及其中一个角的对边分别对应相等, 那么这两个三角形全等. 如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等, 那么这两个直角三角形全等.五、解直角三角形（一）锐角三角函数1、锐角三角函数的定义 （1）锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sinA,即：sinA=（2）锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记

16、作cosA,即：cosA= (3) 锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作tanA,即：tanA=2、特殊角的三角函数值三角函数值 a030456090Sina01Cosa10Tana01不存在3、三角函数值的变化规律及范围（1）当0a90时，sina,tana随着a的增大（或减小）而增大（或减小），cosa,cota随着a的增大（或减小）而减小（或增大）. (2)当0a90时,0sina1,0cosa1.4、互为余角的三角函数之间的关系若A+B=90则sinA=cos(90-A)=cosB,cosA=sin(90-A)=sinB, 6、 同角的三角函数之间的关系 （1） 平方关系：sin2

17、a+cos2a=1 2 商数关系：tana=。 (二)解直角三角形 直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳：（1） 三边之间的关系：a2+b2=c2（2） 锐角之间的关系：A+B=90（3） 边角之间的关系：sinA=, cosA=, tanA=.六、圆1、圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴. 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等.2、圆是旋转对称图形

18、，把圆绕圆心作任意旋转不变，因而圆也是中心对称图形，圆心为其对称中心.3、半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90（直角）. 90的圆周角所对的弦是圆的直径.4、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等.5、不在同一条直线上的三个点确定一个圆.6、切线的判定： 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.7、切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径.8、推论：一条直线若具备过圆心过切点垂直于切线中的任两条，则剩余一条同时也具备.9、切线长性质定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，

19、这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.七、视图与投影（一）投影：投影是光线(投射线)通过物体,向选定的面(投影面)投射,并在该面上得到图形的方法.根据光源、投射线和投影面三要素的相对位置，投影可分为中心投影和平行投影1、平行投影：投射线相互平行的投影称为平行投影（正投影）太阳光线是平行光线,这样的光线所形成的投影称为平行投影.由此我们可以得到两个结论:等高的物体垂直地面放置时,在太阳光下,它们的影子一样长.等长的物体平行地面放置时,它们在太阳光下的影子一样长,且影子等于物体本身的长度.2、太阳光线下物体影子的方向和长度变化(北半球)一天之中,由于太阳东升西落,所以早晨人的影子向西,傍晚人的影

20、子向东.但由于我们处在北半球,即使是夏天的正午,由于受太阳直射点的影响,人的影子会略微向北偏移,故一天之中,影子的方向变化为:正西正北正东;一天之中影子的长度变化为:长短-长.3、投影及中心投影的概念、特点投影：物体在太阳光线照射下，会在地面留下它的影子，把物体变成它的影子叫做投影.中心投影：投射线交于一点的投影称为中心投影若一束光线是从一点出发的,这样的光线形成的投影称为中心投影,这个“点”就是中心.中心投影的特点等高的物体垂直地面放置时,在灯光下,离点光源近的物体它的影子短;离点光源远的物体它的影子长.等长的物体平行地面放置时,一般情况下,离点光源越近,影子越长;离点光源越远,影子越短,但

21、不会小于物体本身的长度.点光源、物体边缘的点以及它的影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.4、视点、视线、视角和盲区观测点的位置叫做视点，由视点发出的观测线叫做视线，两条视线的夹角叫做视角，视线遇到障碍物，会有看不到的地方，称为盲区.5、灯光下的影子与太阳光下的影子的区别太阳光线是平行的,太阳光下的影子与物体高度成比例;灯光光线是发散的,灯光下的影子与物体高度不成比例.同一时刻,太阳光下的影子都在同一方向,而灯光下的影子则不一定(二).视图1、视图的概念：物体向投影面正投影所得到的图形称为视图。如果物体向三个互相垂直的投影面分别投影，所得到的三个图形摊平在一个

22、平面上，则就是三视图。即物体的三视图实际上是物体在三个不同方向的正投影.正投影面上的正投影就是主视图，水平投影面上的正投影就是俯视图，侧投影面上的正投影就是左视图从正面、上面和侧面（左面或右面）三个不同的方向看一个物体，然后描绘出三张所看到的图，即视图.主视图:从正面看到的图,称为主视图,又叫正视图. 主视图反映：上、下 、左、右从左面看到的图形称为左视图,从右面看到的图形称为右视图,左视图和右视图统称为侧视图。左视图反映：上、下 、前、后俯视图:从上面向下看到的图形,称为俯视图. 俯视图反映：前、后 、左、右三视图的要求:(1)从三个不同的方向观察;(2)观察的必须是同一个物体.画在同一平面上时，都是从