第二轮专题四 三角函数与平面向量

1、第二轮专题四第二轮专题四 三角函数与平面向量三角函数与平面向量一、 三角函数的定义1诱导公式“奇变偶不变，符号看象限”2.三角函数值的符号在求角的三角函数值和三角恒等变换中，显得十分重要，根据三角函数的，可简记为“一全正，二正弦，三两切，四余弦” ，其含义是：在第一象限各三角函数值皆为正；在第二象限正弦值为正；在第三象限正余切值为正；在第四象限余弦值为正3.在利用同角三角函数的基本关系式化简、求值和证明恒等关系时，要注意用是否“同角”来区分和选用公式，注意切化弦、 “1”的妙用、弦化切、方程思想等数学思想方法的运用，在利用诱导公式进行三角式的化简、求值时，要注意正负号的选取专题训练1若角的终边

2、与直线y=3x重合且 sin0，又P（m，n）是角终边上一点，且|OP|= 10 ，则mn等于( )A2B2C4D42若xxsin|sin|+|cos|cosxx+xxtan|tan|=1，则角x一定不是( )A第四象限角B第三象限角 C第二象限角D第一象限角3若A、B是锐角ABC的两个内角，则P（cosBsinA，sinBcosA）在( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限4下列三角函数：sin（n+34） ；cos（2n+6） ；sin（2n+3） ；cos（2n+1）6 ；sin（2n+1）3 （nZ） 其中函数值与 sin3的值相同的是（ ）ABCD5、已知2tan，求（1）si

3、ncossincos；（2）22cos2cos.sinsin的值.6tan=m，则)cos(-sin()cos(3sin(） 二、三角恒等变换1.三角函数的化简与求值、证明的难点在于众多三角公式的灵活运用和解题突破口的合理选择，要认真分析所给式子的整体结构，分析各个三角函数及角的相互关系是灵活选用公式的基础，是恰当寻找解题思维起点的关键所在（1）化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的求出值来；（2）求值，要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响，较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围（3）证

4、明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于，或都将左右进行变换使其左右相等2.对于三角变换公式务必要知道其推导思路，从而清晰地“看出”它们之间的联系，它们的变化形式.如tan()(1tantan)tantan， 221 cos1 coscos,sin2222等.从而可做到:正用、逆用、变形用自如使用各公式；三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备。3.三角函数恒等变形的基本策 。常值代换：特别是用“1”的代换，如 1=cos2+sin2=tanxcotx=tan45等。项的分拆与角的配凑。如分拆项：222222sin2cos(sincos) cos1

5、cosxxxxxx ;配凑角(常用角变换):2()()、2()()、22、22、()等.降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切） 。引入辅助角。asin+bcos=22ba sin(+)，这里辅助角所在象限由 a、b 的符号确定，角的值由 tan=ab确定。4. 三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，即（1）找差异：角、名、形的差别；（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式，如升、降幂公式， cos=

6、coscos（-）- sinsin（-） ，1= sin2+cos2，0030tan130tan1=000030tan45tan130tan45tan=tan（450+300）等。、例题分析例 1.已知7 27sin(),cos241025，求sin及tan()3例 2. 设关于x的方程sinx3cosxa0 在(0, 2)内有相异二解、.求的取值范围;专题训练1若cos222sin4 ，则cossin的值为（）721212722求值000cos20cos351 sin20（ ）A1 B2 C2 D33在ABC 中，coscossinsinABAB，则ABC 为（ ）A锐角三角形 B直角三角形

7、 C钝角三角形 D无法判定4已知2cos23，则44sincos的值为（ ）A1813 B1811 C97 D15.已知0,4，0,，且1tan2，1tan7 ，则2的值是 （ ） A、56 B、23 C、 712 D346. 求值：0010001 cos20sin10 (tan5tan5 )2sin20三、三角函数图象与性质1.求三角函数值域的常用方法：求三角函数值域除了判别式、重要不等式、单调性等方法之外，结合三角函数的特点，还有如下方法：（1）将所给三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域；（2）利用sin ,cosxx的有界性求值域；（3）换元法，利用换元法求三角函数的值域，要注意前后

8、的等价性，不能只注意换元，不注意等价性5. 三角函数的图象与性质（一）列表综合三个三角函数sinyx，cosyx，tanyx的图象与性质，并挖掘：最值的情况；了解周期函数和最小正周期的意义会求sin()yAx的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，了解加了绝对值后的周期情况；会从图象归纳对称轴和对称中心；sinyx的对称轴是2xk()kZ，对称中心是(,0)k()kZ；cosyx的对称轴是xk()kZ，对称中心是(,0)2k()kZtanyx的对称中心是(,0)()2kkZ注意加了绝对值后的情况变化.写单调区间注意0.（二）了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点

9、法”画正弦、余弦函数和函数sin()yAx的简图，并能由图象写出解析式“五点法”作图的列表方式；求解析式sin()yAx时处相的确定方法：代（最高、低）点法（三）正弦型函数sin()yAx的图象变换方法如下：先平移后伸缩sinyx的图象 向左(0)或向右(0)平移个单位长度得sin()yx的图象()横坐标伸长(0 1)1到原来的纵坐标不变得sin()yx的图象()AAA 纵坐标伸长(1)或缩短(0 0, 0) x0,4的图象，且图象的最高点为 S(3，2)；赛道的后一部分为折线段 MNP，为保3证参赛运动员的安全，限定MNP=120o（I）求 A , 的值和 M，P 两点间的距离；（II）应如

10、何设计，才能使折线段赛道 MNP 最长？ 五、平面向量例 1、已知平面向量), 2(),2 , 1 (mba，且ab，则ba32 =（ ） A （-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10）例 2、在ABC中，角ABC，的对边分别为tan3 7abcC ，（1）求cosC；（2）若52CB CA ，且9ab，求c例例 3 3已知平面向量 a a(3，1)，b b(21, 23).(1) 若存在实数 k 和 t，便得 x xa a(t23)b b, y yka atb b，且 x xy y，试求函数的关系式 kf(t)；(2) 根据(1)的结论，确定 kf(t

11、)的单调区间例 4、如图在 RtABC 中，已知 BC=a，若长为 2a 的线段 PQ 以 A 为中点，问PQ与BC的夹角取何值时， BPCQ的值最大？并求出这个最大值 【专题训练专题训练】1、在平行四边形ABCD中，11,34AEAB AFAD CE与BF相交于G点.若,ABa ADb 则AG （ ）A. 2177ab B. 2377ab C. 3177ab D. 4277ab2.已知向量2,1 ,10,| 5 2aa bab，则|b A. 5 B. 10 C.5 D. 253已知 O，N，P 在ABC所在平面内，且,0OAOBOC NANBNC，且PA PBPB PCPCPA，则点 O，N

12、，P 依次是ABC的 （A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 内心 （C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 内心4在ABC中,M 是 BC 的中点，AM=1,点 P 在 AM 上且满足学2PAPM ,则科网()PAPBPC 等于（A）49 （B）43 （C）43 (D) 49 5.设a、b、c是单位向量，且ab0，则 acbc的最小值为 ( D )（A）2 （B）22 （C）1 (D)126设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，OxACBa例 7 图yACBaQPac a=c,则b c的值一定等于 A以a，b为邻边的平行四边形的面积 B. 以b，c为两

13、边的三角形面积Ca，b为两边的三角形面积 D. 以b，c为邻边的平行四边形的面积7已知点 M1（6，2）和 M2（1，7） ，直线 y=mx7 与线段 M1M2的交点分有向线段 M1M2的比为 3：2，则 m 的值为 （ ）A32 B23 C14 D48已知向量OB =(2，0),向量OC =（2，2） ，向量CA =（2cos ,2sin） ，则向量OA与向量OB 的夹角的范围为 （ ）A 0，4 B 4，512 C 512，2 D 12，5129设向量a（2，1） ，b（，1） （R） ，若a、b的夹角为钝角，则 的取值范围是（ ）A （, 12） B （12, ） C （12, ） D

14、（12, 2）（2, ）10已知| 2| 0,ab 且关于x的方程2|0 xa xa b 有实数根，则ab 与与的夹角的取值范围是 （ ）A, 3 B0,6 C2,33 D, 6 11. 把函数y312 x的图象按a a（1，2）平移到F，则F的函数解析式为Ay372 x By352 xCy392 x Dy332 x12.给定两个长度为 1 的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o.如图所示，点 C 在以 O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OCxOAyOB 其中, x yR,则xy的最大值是_.13.如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若ADxAByAC ，则 x 312 ，y 32 . 14. 已知2, 1 ,1,1 ,ABO为坐标原点，动点M满足OMmOAnOB ，其中,m nR且2222mn，则M的轨迹方程为 . 15. 已知点P是圆221xy上的一个动点，过点P作PQx轴于点Q，设OMOPOQ . （1）求点M的轨迹方程；（2）求向量OP 和OM 夹角的最大值