立体图形的计算

1、立体图形的计算在小学阶段，我们除了学习平面图形外，还认识了一些简单的立体图形，如长方体、正方体（立方体）、直圆柱体，直圆锥体、球体等，并且知道了它们的体积、表面积的计算公式，归纳如下见下图在数学竞赛中，有许多几何趣题，解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计，把形象思维和抽象思维结合起来例1 下图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的，求它的表面积分析与解答 求这个长方体的表面积，如果一面一面地去数，把结果累计相加可以得到答案，但方法太繁如果仔细观察，会发现这个立体的上下、左右、前后面的面积分别相等因此列式为：（987）×248（平方厘米）答：它的表面积是48平方厘米例2 一个圆

2、柱体底面周长和高相等如果高缩短了2厘米，表面积就减少12.56平方厘米求这个圆柱体的表面积分析 一个圆柱体底面周长和高相等，说明圆柱体侧面展开是一个正方形解题的关键在于求出底周长根据条件：高缩短2厘米，表面积就减少12.56平方厘米，用右图表示，从图中不难看出阴影部分就是圆柱体表面积减少部分，值是12.56平方厘米，所以底面周长C12.56÷26.28（厘米）这个问题解决了，其它问题也就迎刃而解了解：底面周长（也是圆柱体的高）：12.56÷26.28（厘米）侧面积：6.28×6.2839.4384（平方厘米）两个底面积（取3.14）：表面积：39.43846.28

3、45.7184（平方厘米）答：这个圆柱体的表面积是45.7184平方厘米例3 一个正方体形状的木块，棱长为1米若沿正方体的三个方向分别锯成3份、4份和5份，如下图，共得到大大小小的长方体60块，这60块长方体的表面积的和是多少平方米？分析 如果将60个长方体逐个计算表面积是个很复杂的问题，更何况锯成的小木块长、宽、高都未知使得计算小长方体的表面积成为不可能的事如果换一个角度考虑问题：每锯一次就得到两个新的切面，这两个面的面积都等于原正方体一个面的面积，也就是，每锯一次表面积增加112平方米，这样只要计算一下锯的总次数就可使问题得到解决解：原正方体表面积：1×1×66（平方米

4、），一共锯了多少次：（次数比分的段数少1）（31）（41）（51）9（次），表面积： 62×924（平方米）答：60块长方体表面积的和是24平方米例4 一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如下图已知它的容积为26.4立方厘米当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？分析 由题意，液体的体积是不变的，瓶内空余部分的体积也是不变的，因此可知液体体积是空余部分体积的3倍（6÷2）62.172立方厘米62.172毫升0.062172升答：酒精的体积是62172立方厘米，合0062172升例5 一个稻谷

5、囤，上面是圆锥体，下面是圆柱体（如下图）圆柱的底面周长是9.42米，高2米，圆锥的高是0.6米求这个粮囤的体积是多少立方米？分析 按一般的计算方法，先分别求出锥、柱的体积再把它们合并在一起求出总体积但我们仔细想一想，如果把圆锥形的稻谷铺平，把它变成圆圆柱体，高是（20.2）米这样求出变化后直圆柱的体积就可以了解：圆锥体化为圆柱体的高：底面积：体积：7.065×（20.2）15.543（立方米）答：粮囤的体积是15.543立方米例6 皮球掉在一个盛有水的圆柱形水桶中皮球的直径为12厘米，水桶底面直径为 60厘米皮球有 2/3的体积浸在水中（下图）问皮球掉进水中后，水桶的水面升高多少厘米

6、？分析 皮球掉进水中后排挤出一部分水，使水面升高这部分水的体积的大小等于皮球浸在水中部分的体积，再用这个体积除以圆柱形水桶底面积，就得到水面升高的高度解：球的体积： 288（立方厘米）水桶的底面积：×302900（平方厘米） 例7 下图所示为一个棱长6厘米的正方体，从正方体的底面向内挖去一个最大的圆锥体，求剩下的体积是原正方体的百分之几？（保留一位小数）分析 直圆锥底面直径是正方体的棱长，高与棱长相等剩下体积等于原正方体体积减去直圆锥体积解：正方体体积：63216（立方厘米）56.52（立方厘米）剩下体积占正方体的百分之几（21656.52）÷2160.73873.8答：剩下体积占正方体体积的73.8例8 有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，如下图圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米如果将这个零件接触空气部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？分析 解题时，既要注意圆柱体的外表面积，又要注意圆孔内的表面，同时还要注意到零件的底面是圆环由于打孔的深度与柱体的长度不相同，所以在孔