最短路径问题

1、惠阳区第一中学惠阳区第一中学 叶剑亭叶剑亭 如图如图A，B是路边两个新建小区，要在路边增设一是路边两个新建小区，要在路边增设一个公共汽车站个公共汽车站C。使两个小区到车站的路程最短，该。使两个小区到车站的路程最短，该公共汽车站应建在什么地方？公共汽车站应建在什么地方？AB.C复习巩固复习巩固 导入课题导入课题解：连接AB交直线于点C，该公共汽车站就建在C点的位置上两点之间，线段最短两点之间，线段最短复习巩固复习巩固 导入课题导入课题情景情景1 牧马人牧马人从图中的从图中的A 地出发，到一条笔直的河地出发，到一条笔直的河边边l 饮马，然后到饮马，然后到B 地牧马人到河边什么地方饮马可使地牧马人到

2、河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？他所走的路线全程最短？BAl设置情景设置情景 合作探究合作探究你能将这个问你能将这个问题抽象为数学题抽象为数学问题吗？问题吗？将将A，B 两地抽象为两个点，将河两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直抽象为一条直 线线当点当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB 的和最小的和最小BAlC设置情景设置情景 合作探究合作探究同侧问题同侧问题异侧问题异侧问题如何将点如何将点B“移移”到到l 的另一的另一侧侧B处，满足直线处，满足直线l 上的上的任意一点任意一点C都保持都保持CB 与与CB的长度相等？的长度相等？ 作法：作法：（1）作点）作点B

3、 关于直线关于直线l 的对称的对称 点点B；（2）连接）连接AB，与直线，与直线l 相交相交 于点于点C 则点则点C 即为所求即为所求 BlABC如何说明如何说明AC AC + +BCBC最短呢？最短呢？设置情景设置情景 合作探究合作探究证明：证明：如图，在直线如图，在直线l 上任取一点上任取一点C（与点（与点C 不不重合），连接重合），连接AC，BC，BC 由轴对称的性质知，由轴对称的性质知， BC = =BC，BC=BC AC + +BC = = AC + +BC = = AB， AC+ +BC= = AC+ +BCBlABCC 在在ABC中中， ABAC+ +BC， AC + +BCAC

4、+ +BC即即AC + +BC 最短最短设置情景设置情景 合作探究合作探究情景2：如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥EF。桥造在何处才能使从A到B的路径AEFB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）。 再设情景再设情景 深入探究深入探究你能仿照情景1将这个问题抽象为数学问题吗？ 把河的两岸看成两条平行线把河的两岸看成两条平行线a a和和b b，A A、B B两地抽象为两地抽象为两个点，把两个点，把F F点看成是直线点看成是直线b b中的动点，中的动点，EFEF垂直于直线垂直于直线b b，交直线于点交直线于点E E，当点，当点F F在直线在直线b b的什么位置时，的什么

5、位置时，AE+EF+FBAE+EF+FB最小？最小？再设情景再设情景 深入探究深入探究由于河岸宽度是固定由于河岸宽度是固定的，因此当的，因此当AE+FB最最小时，小时， AE+EF+FB最最小，即当点小，即当点F在直线在直线b的什么位置时，的什么位置时，AE+FB最小？最小？能否通过图形的变化（轴对称、平移等），把问能否通过图形的变化（轴对称、平移等），把问题转化为两点之间，线段最短问题呢？题转化为两点之间，线段最短问题呢？.aBEFA.A .bFE作法：作法：将点将点A沿与河垂直的方向平移沿与河垂直的方向平移EF的距离到的距离到A ，那那么为了使么为了使AEFB最短，只需最短，只需A B最短

6、。根据两点之间距离最短。根据两点之间距离最短，最短，连接连接A B，交河岸于点，交河岸于点N，在此处造桥，在此处造桥EF，所得，所得路径路径AEFB就是最短路径。就是最短路径。 再设情景再设情景 深入探究深入探究A.ab.BEFA 拓展拓展1：如图4，如果A、B两地之间有两条平行的河，我们要建的桥都是与河岸垂直的。我们如何找到这个最短的距离呢？再设情景再设情景 深入探究深入探究加强训练加强训练 体验成功体验成功1、如图正方形ABCD的AB边上有一点E，在AC上找一点P使EP+BP的距离最短E.ABCD2、如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD

7、，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？什么解决问题的？ 归纳总结归纳总结归纳归纳：在解决最短路径问题是，我们通常：在解决最短路径问题是，我们通常利用利用轴对称、平移轴对称、平移等变化把已知问题等变化把已知问题转化转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。选择。布置作业布置作业课外作业课外作业一、必做题：一、必做题： 1、课本:P93 复习题13 第15题。 二、选做题：二、选做题： 1、如图，某河CC 处直角拐弯，河宽均相同。现要在河流拐弯的两旁分别造桥DD、 E