数学：1.4.1《导数在实际生活中的应用》课件(苏教版选修2-2)

1、一、一、知识回顾知识回顾：1 1、求函数最值的常用方法：、求函数最值的常用方法：(1)(1)利用函数的单调性利用函数的单调性; ;(2)(2)利用函数的图象利用函数的图象; ;(3)(3)利用函数的导数利用函数的导数2 2、用导数求函数、用导数求函数f(x)f(x)的最值的步骤的最值的步骤: : (2) (2)将将y=f(x)y=f(x)的各极值与的各极值与f(a)f(a)、 f(b)f(b)比较，其中最大的一个为最大值，比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值最小的一个为最小值 (1) (1)求求f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b内极值内极值( (极大值或极小值极大值或极小值)

2、 )；注意：注意：若函数若函数f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b内只有一个极大内只有一个极大值值( (或极小值或极小值) )，则该极大值，则该极大值( (或极小值或极小值) )即为函数即为函数f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b内的最大值内的最大值( (或最小值或最小值) )二、新课引入二、新课引入: : 导数在实际生活中有着广泛的应用导数在实际生活中有着广泛的应用, ,利用利用导数求最值的方法导数求最值的方法, ,可以求出实际生活中的某可以求出实际生活中的某些最值问题些最值问题. .1.1.几何方面的应用几何方面的应用2.2.物理方面的应用物理方面的应用 3.3.经济学方面的应用经

3、济学方面的应用( (面积和体积等的最值面积和体积等的最值) )( (利润方面最值利润方面最值) )( (功和功率等最值功和功率等最值) )实际应用问题实际应用问题审 题（设设）分析、联想、抽象、转化分析、联想、抽象、转化构建数学模型构建数学模型数学化 （列列）寻找解题思路（解解）解答数学问题解答数学问题还原 （答答）解答应用题的基本流程解答应用题的基本流程三、新课讲授三、新课讲授例例1、把长为、把长为60cm的铁丝围成矩形，长、宽各为的铁丝围成矩形，长、宽各为多少时矩形的面积最大？多少时矩形的面积最大？ 方法一方法一S=x(30-x)=-x2+30 x,是是x的二次函数当的二次函数当x=15时

4、，时，S最大最大 答：长、宽都为答：长、宽都为15cm时，矩形的面积最大时，矩形的面积最大解：设长为解：设长为xcm,则宽为则宽为30-xcm，0X30方法二方法二S=x(30-x)=225，等号成立等号成立x=30-x=15 答：长、宽都为答：长、宽都为15cm时，矩形的面积最大时，矩形的面积最大230()2xx方法三方法三S= x(30-x)=-x2+30 x,S=-2x+30,0X0,S(x)；x15时时S0,S(x)；当当x=15时，时，S极大，在定极大，在定义域内无其他极值，故义域内无其他极值，故S最大最大 答：长、宽都为答：长、宽都为15cm时，矩形的面时，矩形的面积最大积最大说明

5、1：解应用题一般有四个要点步骤：设-列-解-答 说明2：用导数法求函数的最值，与求函数极值方法类似，加一步与几个极值及端点值比较即可。 变形1：把长为60cm的铁丝分成两段，各围成一个正方形，怎样分法能使正方形面积和最小？ 变形2：把长为60cm的铁丝分成两段，一个围成一个正方形，另一个围成圆，怎样分法能使正方形和圆的面积和最小？1.1.几何方面的应用：几何方面的应用：例2、有一个容积为256m3的方底无盖水箱，它的高为多少时，用料最省？ 练习：练习：在边长为在边长为60 cm60 cm的正方形铁片的四角切去的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起相等的正方形，再把它的边沿虚线

6、折起( (如图如图) )，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？箱底的容积最大？最大容积是多少？xx6060 xx演 示 文 稿1 23 后 等, http:/ 麻衣神算子最新章节 华疴夻 因此，因此，1600016000是最大值。是最大值。答：当答：当x=40cmx=40cm时，箱子容积最大，最大容积是时，箱子容积最大，最大容积是16000cm16000cm3 3 . .23( )602xV xx解：设箱底边长为解：设箱底边长为x xcmcm，则箱高，则箱高 cmcm，得箱子容积得箱子容积602xh(060)x

7、23260( )2xxV xx h令令 ，解得解得 x=0 x=0（舍去），（舍去），x=40 x=40，23( )6002xV xx并求得：并求得：V(40)=16000V(40)=16000 060,40040, 0 xvx；xvx时当时当解：解：设圆柱的高为设圆柱的高为h h，底半径为，底半径为R R，则则表面积表面积例例2 2：圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？2VhRS=2Rh+2RS=2Rh+2R2 2由由V=RV=R2 2h h，得得 ，则，则2222(

8、)222VVS RRRRRR22( )40VS RRR 令令32VR解得，解得， ，从而，从而答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省3322342()2VVVVhRV即即: : h=2Rh=2R因为因为S(R)S(R)只有一个极值，所以它是最小值只有一个极值，所以它是最小值例例3 3 有甲乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的有甲乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边岸边A A处，乙厂位于离甲厂所在河岸的处，乙厂位于离甲厂所在河岸的40kmB40kmB处，处，乙厂到河岸的垂足乙厂到河岸的垂足D D与与A A相距相距50km50km，两厂要在此岸，两厂要在此岸边

9、合建一个供水站边合建一个供水站C C，从供水站到甲厂和乙厂的，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米水管费用分别为每千米3a3a元和元和5a5a元，问供水站元，问供水站C C在何处才能使水管费用最省？在何处才能使水管费用最省？BADCX解：解：设供水站设供水站C C建在建在ADAD间距间距D D点点xkmxkm处能使水管费处能使水管费用最省，设水管费用为用最省，设水管费用为y y元元 . .则则BADCX22405)50(3xaxayaxxay340522，得得：令令0340522axxay，30-3021xx又0 50，x，为为唯唯一一极极值值点点，30 x答：答：供水站供水站C C建在

10、建在ADAD间距间距D D点点30km30km处能使水管费用最省处能使水管费用最省. .高考链接（高考链接（2006年江苏卷）年江苏卷） 请你设计一个帐篷，它的下部的形状是高请你设计一个帐篷，它的下部的形状是高为为m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为m的正六棱锥，试问：当帐篷的顶点的正六棱锥，试问：当帐篷的顶点O到底面到底面中心中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？的距离为多少时，帐篷的体积最大？OO1帐篷的体积为（单位：帐篷的体积为（单位：m3）V（x）=解:设OO1为x m，则1x4 由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m） 22228) 1(3xxx)28

11、 (233)28(436222xxxx1)28 (2332xx) 1()28 (233312xxx)1216(233xx于是底面正六形的面积为（单位：于是底面正六形的面积为（单位：m2）求导数求导数)312(23)( 2xxV令令V（x）=0 解得解得 x=-2 (不合题意不合题意,舍去舍去),x=2当当 1x2 时时 V（x） 0 ，V（x）为增函数）为增函数当当 2x4 时时 V（x）0 V（x） 为减函数为减函数 所以所以 当当 x=2时时V（x）最大）最大答：当答：当OO1为为2m时帐篷的体积最大时帐篷的体积最大.五、课堂小结五、课堂小结1 1、用导数求函数、用导数求函数f(x)f(x)的最值的步骤的最值的步骤: : (2) (2)将将y=f(x)y=f(x)的各极值与的各极值与f(a)f(a)、 f(b)f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值一个为最小值 (1) (1)求求f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b内极值内极值; ;( (极大值或极小值极大值或极小值) )；注意：注意：若函数若函数f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b内只有一个极大内只有一个极大值值( (或极小值或极小值) )，则