数值分析期末复习课

1、数数 值值 分分 析析1第一章第一章 数值分析与科学计算引论数值分析与科学计算引论2 若近似值若近似值 的误差限是某一位的半个单位，的误差限是某一位的半个单位，*x该位到该位到 的第一位非零数字共有的第一位非零数字共有 位，就说位，就说 有有 位位有效有效数字数字. . *xn*xn定义定义3 3一、有效数字一、有效数字注注：用：用四舍五入取准确值的前四舍五入取准确值的前n位位x*作为近似值作为近似值,则则x*必有必有n位位 有效数字。如有效数字。如3.142作为作为 的近似值有的近似值有4位有效数字，而位有效数字，而 3.141为为3位有效数字；位有效数字；3x3=1.7320是其近似值是其

2、近似值,问它们分别有几位有效数字问它们分别有几位有效数字?2121| |31.73| 0.0020508.0.20508. 100.5 10 ,xxx故 有三位有效数字，准确到小数点后两位。4333| |31.7320| 0.0000508.0.508. 100.5 10 ,.xxx故 有四位有效数字4242| |31.7321| 0.0000491.0.491. 100.5 10 ,.xxx故 有五位有效数字31.7320508x 设例例x1=1.73, x2=1.7321,4 二、二、 避免误差危害的若干原则避免误差危害的若干原则 1. 1. 要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法要避

3、免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法 2. 2. 要避免两相近数相减要避免两相近数相减 3. 3. 要防止大数要防止大数“吃掉吃掉”小数小数 4. 4. 注意简化计算步骤，减少运算次数注意简化计算步骤，减少运算次数 5第二章第二章 插值与逼近插值与逼近6kkkkkkkkxxxxxlxxxxxl 1111)(,)(1、线性插值、线性插值(n =1) 设已知区间设已知区间 xk , xk+1 端点处的函数端点处的函数.)(,)(1111 kkkkyxLyxL称为节点上称为节点上线性插值基函数线性插值基函数求求线性插值线性插值)()()(111xlyxlyxLkkkk 一、一、 拉格朗日拉格朗日(

4、Lagrange)插值多项式插值多项式 值值yk= f (xk)，yk+1 = f (xk+1)，多项式多项式L 1(x ) ，使其满足，使其满足72、抛物插值法、抛物插值法 (n =2 时的二次插值时的二次插值) 设插值节点为：设插值节点为：xk-1, xk, xk+1 , 求求二次插值多项式二次插值多项式L2(x)，使得使得L2( x j ) = y j , j = k- -1, k, k+1 . 先求先求 插值基函数插值基函数l k- -1(x), l k (x), l k+1(x) 二次函数二次函数,且在节点且在节点 , 0)()(, 1)(;0)()(, 1)(;0)()(, 1)(

5、111111111111kkkkkkkkkkkkkkkkkkxlxlxlxlxlxlxlxlxl满足：满足：8)( )()( )()(11111 kkkkkkkxxxxxxxxxl)( )()( )()(1111 kkkkkkkxxxxxxxxxl)( )()( )()(11111kkkkkkkxxxxxxxxxl )( )()( )()( )()( )()( )()( )()(111111111111112kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxL 9, ),(),., 1, 0( ) )(,()(jixxnixfxxfyjiii 当

6、当函函数数表表设设的的插插值值多多项项式式为为，则则满满足足插插值值条条件件).1 , 0()()(nixfxLiin nkkknxlxfxL0)()( ）0011011( )(0,1,. )()()()()()()()()njkjkjj knkkknkkkkkxxlxknxxxxxxxxxxxxxxxxxx其中 3、 n次次Lagrange 插值多项式插值多项式10).).()(.()(1101nkkkkkkknxxxxxxxxx ）（ ).()()(101nnxxxxxxx .)()()()(:011 nkknknknxxxxyxL 则有形式则有形式若引入记号若引入记号优点优点: 结构紧凑

7、结构紧凑, 理论分析方便理论分析方便 缺点缺点: 改变一个节点则全改变一个节点则全部的插值基函数都改变部的插值基函数都改变,即即节点增加节点增加,基函数失效基函数失效 11,),., 1, 0),(,()()1(jiiixxnixfxxfy 函函数数表表设设已已知知定理定理3 3（插值多项式余项）（插值多项式余项）4 4、插值多项式的余项、插值多项式的余项插插值值多多项项式式余余项项为为则则对对任任何何,bax ,),()(,)()2()1()(内内存存在在在在上上连连续续在在设设baxfbaxfnn 次次插插值值多多项项式式。为为满满足足插插值值条条件件的的当当nxLbaxjini)(, )

8、,(! ) 1()()()()(1)1(xnfxLxfxRnnnn .),(xba于于依依赖赖且且其其中中 12证证上上任任一一点点，为为设设,bax),., 1 , 0() 1 (nixxi 若若定定理理成成立立。右右端端即即,0)( xRn),., 1, 0(, ,)2(nixxbaxi 且且若若),., 1, 0(0)(nixRin 于于由由).()()()(,10nnxxxxxxxkxR 设设所所以以)()(1xxkn ,),()()()()(1battxktLtftnn 作作辅辅助助函函数数:)( 有有性性质质则则t ,),).()()()()(10batxtxtxtxktLtfnn

9、 连连续续，在在,)()(batn )!1( )()()(),()() 1()1()1( nxktftbatnnn 存存在在，且且在在)(xk个个互互异异的的零零点点，内内至至少少有有在在定定理理可可知知，由由1),()( nbatRolle 内内至至少少有有一一个个零零点点，在在),()()1(batn 个个互互异异的的零零点点，内内至至少少有有在在nbat),()( ),()(inixLxf 则则插值条件插值条件当当t=x时时，Rn（x）当当t=x时时，Rn（x） nkknxxx01)()( 有有关关的的待待定定函函数数为为与与其其中中xxk)(个个互互异异的的零零点点，上上有有在在，即即

10、2,)(),., 1 , 0(0)(, 0)( nbatnixxi 130)(),()1( nba使使，即存在即存在0)!1()()()1( nxkfn niinnxxnfxR0)1()()!1()()( 余余项项公公式式：! )1()()()1( nfxkn )., 1, 0(nixxi 由由(1)(1)、(2)(2)知定理结论成立。知定理结论成立。 # #个个互互异异的的零零点点，内内至至少少有有在在定定理理可可知知，由由1),()( nbatRolle 内内至至少少有有一一个个零零点点，在在),()()1(batn 个个互互异异的的零零点点，内内至至少少有有在在nbat),()( ,)(

11、)(xkxRn )(1xn nkkxx0)(14),()( )(!2)()()()(111baxxxxfxLxfxRkk 余余项项为为),()( )( )(! 3)()()()(1122baxxxxxxfxLxfxRkkk 余余项项为为 线性插值：线性插值： n = 1, 2 时的插值余项时的插值余项 ： 抛物线插值：抛物线插值：1534. 0,314567. 0,32. 0100 xyx.352274. 0,36. 0,333487. 0221 yxy32. 00 x用线性插值计算，取用线性插值计算，取，及及34. 01 x得得)3367. 0(3367. 0sin1L )3367. 0(0

12、01010 xxxyyy 0167. 002. 001892. 0314567. 0 330365. 0 ,333487. 034. 0sin314567. 032. 0sin ，已给已给用线性插值及用线性插值及,3522787. 036. 0sin ,3367. 0sin的值的值计算计算并估计截断误差。并估计截断误差。抛物插值抛物插值例例由题意取由题意取解解16:其截断误差为其截断误差为 , )(21021xxxxMxR 可取可取因因xxfsin)( ,3335. 0sinsinmax1210 xxMxxx于是于是)3367. 0(3367. 0sin)3367. 0(11LR 610*92

13、. 00033. 0*0167. 0*3335. 0*21 时，时，用抛物插值计算用抛物插值计算3367. 0sin2.6由 公 式 （ ） 得17 )()(3367. 0sin2010210 xxxxxxxxy)()()()(12021022101201xxxxxxxxyxxxxxxxxy 330374. 0)3367. 0(2 L 这个结果与六位有效数字的正弦函数表完全这个结果与六位有效数字的正弦函数表完全一样。一样。 其截断误差为其截断误差为:1802203maxcos1 0.314567( )xx xxMfx 226(0.3367)sin0.3367(0.3367)1(0.9492)(

14、0.0167)(0.033)(0.0233)6=2.0315 10RL)()(6)(21033xxxxxxMxR 其中其中于是于是19商）商）阶均差（均差也称为差阶均差（均差也称为差的的为为kxf)(111021010,.,.,., kkkkkkxxxxxfxxxxfxxxf121020210,:xxxxfxxfxxxf 二阶均差二阶均差.,)()()(,0000的一阶（均差）的一阶（均差）关于点关于点为函数为函数称称定义定义kkkkxxxfxxxfxfxxf-=二、差商与牛顿插值多项式二、差商与牛顿插值多项式1 、差商（均差）、差商（均差）202 基本性质基本性质 kjijkjiijxxxf

15、00)()( kjjkjxxf01)()( （2）k 阶差商阶差商 kxxxf,10关于节点关于节点kxxx,10是对称的，或说是对称的，或说均差均差与节点顺序无关，与节点顺序无关，即即 kxxxf,10 kjkjjjjjjjjxxxxxxxxxxxf01110)()()()(的线性组合，的线性组合，即即)(xf的的k阶差商阶差商 kxxxf,10是函数值是函数值)(,),(),(10kxfxfxf（1） kxxxf,10 kxxxf,01 01,xxxfkk 21则则n 阶差商与导数阶差商与导数(3)( ) , ,f xa bn设在区间存在 阶导数的关系为的关系为 ！nfxxxfnn )(1

16、0, 其中其中 ，ba, 的的区区间间。，为为包包含含nxxxba10,22ix0 x1x2x3x4xkx)(ixf)(0 xf)(1xf)(2xf)(3xf)(4xf)(kxf,10 xxf,21xxf,32xxf,43xxf,321xxxf,210 xxxf,432xxxf,3210 xxxxf,4321xxxxf,10kxxxf,12kkkxxxf ,1kkxxf 3 差商表差商表 计算顺序计算顺序: :每次用前一列同行的差商与前一列每次用前一列同行的差商与前一列 上一行的差商再作差商。上一行的差商再作差商。23 )()(,)(,)(,)()(11010102100100 nnnxxxx

17、xxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxP)()(,)(1100nnnnxxxxxxxxxxxfxR - - 牛顿插值多项式牛顿插值多项式- - 牛顿插值余项牛顿插值余项)(,10jnjnxxxxxf 4 Newton插值多项式插值多项式24 1,2,3,4,5, ()1,4,7,8,6. .iixf x例 设当时求四次牛顿插值多项式)()4)(3)(2)(1()()3)(2)(1( 0)2)(1(3) 1(1)(241314xxxxxxxxxxxN112332248331294241xxxx解：解：25三、埃尔米特插值三、埃尔米特插值 1、满足如下条件的插值多项式0120121( )()

18、( )()( )( )iiixxxxf xf xf xf xfxfx26方法方法1： 思路：仿拉格朗日法，构造插值基函数仿拉格朗日法，构造插值基函数。 需要满足如下插值条件：300112211( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ).P xl x f xl x f xl x f xl x f x0120121( )()( )()( )( )iiixxxxf xf xf xf xfxfx27其中的基函数需要满足条件：012101201211( )( )( )( )100001000010( )( )( )( ) 0 0 0 1l xl xl xl xxxxl xl xl xl

19、 xx根据这些条件确定基函数的具体形式。28方法方法2： 基于带重节点的差商计算，构造差商表，给出带重节点的牛顿插值多项式。00110111101122121120112( )( )( ) , ( )( ) , , ( ) , , , , , ,iixf xxf xxf xf x xxf xf xf x x xxf xf x xf x x xf x x x x1阶2阶3阶29 插值多项式为：00101130010111012( )()()()()()( ) , , , , , ,()N xx xx xf xf x xf x x xfx xx x x x xxxxxx30插值余项及证明 插值余项

20、为： 证明：证明：由插值多项式满足的插值条件可知 构造辅助函数： (4)233012( )( )( )( )()() ()4!fR xf xP xxxxxxx233012( )( )( )( )()() ().R xf xP xk x xxxxxx23012( )( )( )( )()() ().tf xP tk x txtxtx31 为 的零点，反复使用罗尔定理知，在 之间至少存在一点 使得即 所以0112,tx tx tx tx tx( ) t02,x x(4)( )0,(4)( )4! ( ),fk x(4)( )( ).4!fk x322、两点三次、两点三次Hermite插值插值010

21、101( )()( )( )()( )iiixxxf xf xf xfxfxfx33构造方法构造方法1300110011( )()( )( )( )()( )( )( )H xf xxf xxf xxf xx010101010101( )( )( )( )10000100( )( )( )( )00100001xxxxxxxxxxxx34( )x01 1）求求三三次次插插值值多多项项式式，满满足足：( )( )xxxxx 01001000 ( ),xx10是是的的二二重重零零点点解解可可设设( )() ()xxxaxb201()x 001由由，()x 000， 可可得得()axx 3012，(

22、)()xbxxxx023010121( )() ()xxxaxb 201()xx 21()xxx 3012()()xxxxx 023010121xxxx 01012xxxx 210135( )( )xxxxx 01110100( )( )xxxxx 01001000( )x0即即：( )x12 2）求求三三次次插插值值多多项项式式，满满足足：由由对对称称性性，知知( )2010100112xxxxxxxxx ( )2011011012xxxxxxxxx 36( )x03 3）求求，满满足足：( )( )xxxxx 01000010( )xxx010、 分分别别是是的的单单根根和和二二重重根根解

23、解可可设设( )()()xa xxxx 2001 ()x 001由由，得得()axx 2011，( )()()()xxxxxxx 20012011 xxxxxx 21001( )x14 4）同同理理：( )( )xxxxx 01110001 ( )xxxxxxx 201110 37( )( )xxxxx 01110001( )2010100112xxxxxxxxx ( )2011011012xxxxxxxxx ( )210001xxxxxxx ( )201110 xxxxxxx ( )( )xxxxx 01110100( )( )xxxxx 01001000( )( )xxxxx 010000

24、10Hermite插插值基函数值基函数! !300110011( )()( )( )( )()( )( )( )H xf xxf xxf xxf xx38方法方法2： 基于带重节点的差商计算，构造差商表，给出带重节点的牛顿插值多项式。00000110100 111101 100 11( )( )( )( )( ) , , , ( )( ) , , , , , iixf xxf xxf xf xxf xf x xf x x xxf xf xf x x xf x x x x1阶2阶3阶39 插值多项式为：0000102300201011( )( ) , , ( )()()(), , () ,N x

25、x xx xx xxf xf xf x x xf x x x xx40(4)223301( )( )( )( )() ()4!fR xf x H xx xx x插值余项41例.1)2(,0)1(21)(3)2(,2)1(21)(ffxfffxf处的导数值为，在节点处的函数值为，在节点已知.7 . 1 , 5 . 1)(,)(处的函数值在及的两点三次插值多项式求xxfxf解:2, 110 xx012,3ff010,1ff 300110011( )( )( )( )( )Hxfxfxfxfx110112xxfxx2010 xxxx00fxx2101xxxx2010 xxxx11fxx001012x

26、xfxx2101xxxx42)2(213x21x21x2 x)1(212x22x)(3xH91713323xxx)5 . 1(f)5 . 1(3H625. 2)7 . 1(f)7 . 1(3H931. 243解法解法2：解：构造差商表如下：( )12120231123-1-2-3iixf x1阶 差 商 2阶 差 商 3阶 差 商22332( )(1)(1) -4(21) (2)=-31417019N xxxxxxxx 44第四章 数值积分数值积分45定义定义：如果对于所有次数不超过：如果对于所有次数不超过 m 的多项式的多项式 f (x) ，公式，公式精确成立，但对某个次数为精确成立，但对某

27、个次数为 m +1 的多项式不精确成立，则称的多项式不精确成立，则称该求积公式具有该求积公式具有 m 次代数精度次代数精度0( )d()nbiiaif xxA f x l 将将 f (x) = 1, x, x2, , xm 依次代入，公式精确成立依次代入，公式精确成立;l 但对但对 f (x) = xm+1 不精确成立。即：不精确成立。即：22110 d2mmnbmmiiaibaA xxxm ( k = 0, 1, , m )代数精度的验证方法代数精度的验证方法110 d1kknbkkiiaibaA xxxk 一、求积公式的代数精度一、求积公式的代数精度46例：例：试确定系数试确定系数 Ai

28、，使得下面的求积公式具有尽可能高的，使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度，并求出此求积公式的代数精度。代数精度，并求出此求积公式的代数精度。10121( )d ( 1)(0)(1)f xxA fA fA f 解：解：将将 f (x)1, x, x2 代入求积公式，使其精确成立，可得代入求积公式，使其精确成立，可得 1101222023302() /12 () / 20 () / 32/ 3AAAbaAAbaAAba 解得解得 A0 =1/3, A1 =4/3, A2 =1/3。所以求积公式为。所以求积公式为3 )1()0(4)1( d)(11fffxxf 易验证该公式对易验证该公式对 f

29、(x)x3 也精确成立，但对也精确成立，但对 f (x)x4 不精不精确成立，所以此求积公式具有确成立，所以此求积公式具有 3 次代数精度。次代数精度。47q 任意任意具有具有 m ( 0 ) 次代数精度的次代数精度的求积公式一定满足求积公式一定满足：010 = niniAAAAba 48二、插值型求积公式二、插值型求积公式设求积节点为：设求积节点为：a x0 x1 xn b 若若 f (xi) 已知，则可做已知，则可做 n 次多项式插值：次多项式插值：0( ) ()nniiiLxl x f x 其中其中( ) dbiiaAl xx 插值型求积公式插值型求积公式00( )( ) d( )d d

30、()()bniiannbbiiaaiif xxxf xfxxxAxLl 误差：误差： ( )( ) d( ) dbbnnaaR ff xLxxRxx (1)01( )( )()()()(1)!nnnfRxxxxxxxn 其中其中49插值型求积公式插值型求积公式当当 f (x) 1, x, x2, , xn 时，有时，有即公式精确成立即公式精确成立( )0nRx 0R f ( )d d( )bbaanLxf xxx 性质性质：插值型求积公式具有至少：插值型求积公式具有至少 n 次代数精度次代数精度 定理定理：下面的求积公式具有：下面的求积公式具有至少至少 n 次代数精度次代数精度的的充要条件是该

31、充要条件是该公式是插值型公式是插值型的的0( )d()nbiiaif xxA f x 50例例 给定求积公式如下：给定求积公式如下： 4322141231)(10fffdxxf试证此求积公式是插值型的求积公式试证此求积公式是插值型的求积公式 证证: :设设 , ,则以这三点为插值节点的则以这三点为插值节点的 LagrangeLagrange插值基函数为插值基函数为 43,21,41210 xxx4321843412141/4321)(0 xxxxxl43411643214121/4341)(1xxxxxl2141821434143/2141)(2xxxxxl51dxxxdxxxdxxl1021

32、01008345843218)(3223882318832145318dxxxdxxxdxxl10210101163)16(4341)16()(3136161636116163213116）（）（dxxxdxxxdxxl102101028143821418)(3223881214331852由插值型求积公式的定义知，所给的求积公由插值型求积公式的定义知，所给的求积公式是插值型求积公式。式是插值型求积公式。 4322141231)(10fffdxxf插值型求积公式为插值型求积公式为53三、收敛性和稳定性三、收敛性和稳定性定义定义：如果求积公式：如果求积公式 满足满足则称该求积公式是则称该求积公式

33、是 收敛的收敛的。0( )d()nbiiaif xxA f x 设求积节点为：设求积节点为：a x0 x1 0，若存在，若存在 0，使得当，使得当 ( i = 0, 1, , n) 时，有时，有 则称该求积公式是则称该求积公式是 稳定的。稳定的。00()nniiiiiiA fA f x ()iiff x 定理定理：若：若 Ai 0, i = 0, 1, , n，则下面的求积公式是稳则下面的求积公式是稳定的定的0( )d()nbiiaif xxA f x 55( )00( 1)()!()!n knnnkjj kCtj dtk n k n其中 )()(0knknkbaxfCabdxxf .称为柯特

34、斯系数称为柯特斯系数式中式中nkC四、四、 牛顿柯特斯求积公式牛顿柯特斯求积公式56311( )( )( )( )()12bbaafR ff x dxL x dxb a 这时的求积公式为：这时的求积公式为：时时当当,21,11110 CCn)()(2)(bfafabdxxfba 梯形公式梯形公式误差项误差项.公式具有一次代数精度公式具有一次代数精度57 bfbafafabS246这时的求积公式为：这时的求积公式为：辛普森公式辛普森公式2,n 当时 这时柯特斯系数为 .61141,6422120222021 dtttCdtttC ,6121412020 dtttC5(4) ( )d( )4 ()

35、( )62()( ) , 2880bsabaabRff xxf aff bbafa b .公式具有三次代数精度58 432107321232790 xfxfxfxfxfabC 4n 而的牛顿柯特斯公式则特别称为柯特斯公式为： 定理定理: :当阶当阶n n为偶数时，牛顿为偶数时，牛顿- -科特斯求科特斯求积公式至少具有积公式至少具有n+1n+1次代数精确度。次代数精确度。.公式具有五次代数精度59解：由梯形公式解：由梯形公式85914. 1)(2110 eeI截断误差为：截断误差为：22652. 012)(1211 efR 由辛普森公式由辛普森公式71886. 1)4(611210 eeeI截断

36、误差为：截断误差为：00095. 02880)(28801)4(2 efR 例例 分别用梯形公式与辛普森公式计算积分分别用梯形公式与辛普森公式计算积分 10dxeIx的近似值并估计误差。的近似值并估计误差。60定义：定义：01, , , nx xxa b如果一组节点能使求积公式0( ) ( )()bnkkkax f x dxA f x 21( )knxGaussxGauss具有次代数精度，则称这组节点为点，而此公式称为带权函数的型求积公式。五、高斯求积公式61 其中高斯点为Legendre多项式的零点110( )()nkkkf x dxA f x1)(,)1(!21)(2 xdxxdnxLnn

37、nnn 对于一般有限区间a,b，用线性变换x=(a+b)/2+(b-a)t/2使它变成为-1,1。Gauss - Legendre 求积公式62具有一次代数精度。具有一次代数精度。个节点时，个节点时，),0(2)(111fdxxf ),31()31()(211ffdxxf 个节点时，个节点时，具有三次代数精度),1551(95)0(98)1551(95)(311fffdxxf 个节点时，个节点时，具有五次代数精度高斯求积公式63第四章第四章 解线性方程组的直接解法解线性方程组的直接解法64(1, 2,.,1)kn( )( )(1)( )( )(1)( )( )/(1,., ),( ,1,.,

38、),(1,., ).kkikikkkkkkijijikkjkkkiiikkmaaiknaam ai jknbbm bikn( )( )( )( )( )1/,()/(1,2,.,2,1).nnnnnnnkkkkkkjjkkj kxbbxba xaknn 第一步先进行消元计算第一步先进行消元计算第二步进行回代计算第二步进行回代计算 一、高斯消元法解方程组一、高斯消元法解方程组65二、高斯消去法实现的条件二、高斯消去法实现的条件( )11111110(1,2, )A0(1,2, ),=0,0(1,2, )iiiiiiiiiikikaaaikaa定理：约化主元a的充要条件是矩阵 的顺序主子式D即DD

39、AAx=bn阶矩阵 的所有顺序主子式均不为零，则可通过高斯消去法求解方程组。66三、列主元素法三、列主元素法11121121222212( , ) (5-3)nnnnnnnaaabaaabAbaaab 1111(1)(1)1:(53)1,max(53)1,(,),iii naaiAb ，第一步 首先在矩阵的第 列中选取绝对值最大的元素作为主元素 即：将中第 行与第 行列换 记行交换后的增广矩阵为然后进行第一次消元 得矩阵：67列主元素法列主元素法。得矩阵再进行第二次消元行列换行与第的第将矩阵使比如列中选主元的第在矩阵第二步),(,2),(max,2),(:)3()3(2)2()2()2(22)

40、2(2)2(2)2()2(22bAibAaaabAiniii.,),(max,),(:)()()()()()()(次消元进行第行列换行与第的第将矩阵使比如列中选主元的第在矩阵步第kiKbAaaakbAKkkkkiknikkkikkikkkk) 2 () 2 () 2 (2) 2 (2) 2 (2) 2 (22) 1 (1) 1 (1) 1 (12) 1 (11) 2 () 2 (),(nnnnnnbaabaabaaabA68153181533126321321321xxxxxxxxx程组：用主元素法求解线性方计算过程保留三位小数。00. 100. 2001. 3428. 9142. 30016

41、7. 5944. 0167. 10151318 5333. 210167. 5944. 0167. 10151318 ,167. 5944. 0167. 105333. 210151318 6111153312151318 15131815331261111123xxx，由回代过程求解得：第二次消元三行互换第二第一次消元第一与第三行互换因其增广矩阵为：程如下：（列主元法）：求解过解法69二、二、LU分解分解11121311112121222322122231323333132123123111 (5-11)1nnnnnnnnnnnnnnnaaaauuuaaaaluuaaaalluaaaalll

42、 ALU701111111111 (1,2, )/ (2,3, ) (5-13) (2, ,1, )() / (2,3, ,1, )jjiiiijijikkjkjijijikkjjjkuajnlauinual uin ji inlal uujn ijn71nnnnnbbbyyyllllLy:10010001212132121111 (1) (5-14)(2, )kkkkjjjbkybl y kn可求出：nnnnnnyyyxxxuuuuuuUx：2121222112111/ () (5-15)()/(1,1)nnnnkkkjjkkky uknxyu xukn 7273LU分解的紧凑格式分解的紧凑

43、格式 74三角分解的紧凑格式75紧凑格式解线性方程组举例 314324)4(145314/)321()1(314353)3(335353)3(725)5(232251)1(135346523321321321xxxxxxxxx组：用紧凑格式解线性方程763003143140523 2/376 114/53/1013/1001UyL2/3763003/143/140523321xxxUx解方程组：21, 1,21123xxx得原方程组的解：77三、向量范数三、向量范数ininnTnxxxxxxxxxxxxxx121122221221max:,),(；常用的向量范数有设78)( max) 1 (1

44、1称为最大行和njijniaA)( max)2(111称为最大列和niijnjaA的最大特征值为，AAAT112)3(ninjijFaA112)4(四、矩阵范数四、矩阵范数79第五章第五章 解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法80一、雅可比迭代法一、雅可比迭代法1211(1)( )( )( )1221331111(1)( )( )( )212332222(1)( )( )( )122,111()1()1()nnnkkkknkkkknkkkknnn nnnnnxa xa xa xbaxa xa xaxbaxa xaxaxba(i = 1,2,n; k=1,2,) nijkjijijkjiji

45、iikixaxabax1)(11)()1(18181迭代法迭代法111212122212nnnnnnaaaaaaAaaannaaa2112000000nnaaa1122nnaaa1212000000D L UA=D-L-U8282迭代格式的矩阵表示：迭代格式的矩阵表示：kkxDLU xD b(1)1( )1()fJB831211(1)( )( )( )1221331111(1)(1)( )( )212332222(1)(1)(1)(1)122,111()1()1()nnnkkkknkkkknkkkknnn nnnnnxa xa xa xbaxa xa xaxbaxa xaxaxba nijkj

46、ijijkjijiiikixaxabax1)(11)1()1(184 二、高斯赛德尔二、高斯赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法迭代法84(D-L) x(k+1)=Ux(k)+bkkxDLUxDLb(1)1( )1()()f其矩阵形式：其矩阵形式：x(k+1)=D-1(b+Lx(k+1)+Ux(k) )Dx(k+1)= Lx(k+1)+Ux(k)+b85GB85 例例 用用Jacobi迭代法和迭代法和Gauss-Seidel迭代法解下列迭代法解下列方程组方程组,已知方程组得精确解为已知方程组得精确解为 x*=(1，1，1)T 。 141035310214310321321321xxxxxx

47、xxx解：先改写方程如下解：先改写方程如下 123213312114 31015 2310114310 xxxxxxxxx 86再写出再写出Jacobi迭代格式迭代格式0,1,2,k = =L L取初值为取初值为: x(0)=(0，0，0)T , 求得求得:x(1)=(1.4，0.5，1.4)Tx(6)=(1.00025，1.00580，1.00251)T误差为由误差为由x*=(1，1，1)T 得到得到 |x(6)-x*|=0.00580 。 (1)( )( )123(1)( )( )213(1)( )( )312114310152310114310kkkkkkkkkxxxxxxxxx 87初值也取为初值也取为: x(0)=(0，0，0)T , 求得近似解：求得近似解：0,1,2,k = =L LGauss-Seidel迭代格式为迭代格式为误差为由误差为由x*=(1，1，1)T 得到得到 |x(4)-x*|=0.00846 。x(1)=(1.4，0.78，1.026)Tx(4)=(0.99154，0.99578，1.00210)T (1)( )( )123(1)(1)( )213(1)(1)(1)312114310152310114310kkkkkkkkkxxxxxxxxx 88三、三、Jacobi迭代法及迭代法及Seidel迭代法收敛性的判别迭代法收敛性的判别1.() 1 ()